Series completion Questions in Gujarati

(D) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$647 - 563 = +84$
$479 - 647 = -168$ (જે $-(84 \times 2)$ છે)
$815 - 479 = +336$ (જે $+(84 \times 4)$ અથવા $+(84 \times 2^2)$ છે)
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગામી પદમાં $84 \times 2^3 = 84 \times 8 = 672$ બાદ કરવા જોઈએ.
ખૂટતી સંખ્યા $= 815 - 672 = 143$.

(B) આપેલી શ્રેણી બે શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
$I.$ $11, 17, 23, (\ldots)$
$II.$ $12, 18, 24$
બંને શ્રેણી $I$ અને $II$ માં પેટર્ન અગાઉના પદમાં $6$ ઉમેરવાની છે.
શ્રેણી $I$ માટે: $11 + 6 = 17$,$17 + 6 = 23$,$23 + 6 = 29$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $29$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરો: $225, 336, 447, (...), 669, 7710$.
$1$. દરેક સંખ્યાના પ્રથમ બે અંકોનું અવલોકન કરો: $22, 33, 44, 55, 66, 77$. આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં દરેક પદ $11$ જેટલું વધે છે.
$2$. દરેક સંખ્યાના ત્રીજા અંક (અથવા બાકીના ભાગ) નું અવલોકન કરો: $5, 6, 7, 8, 9, 10$. આ એક સરળ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં દરેક પદ $1$ જેટલું વધે છે.
$3$. આ પેટર્નને જોડતા,ખૂટતી સંખ્યાના પ્રથમ બે અંકો $55$ અને ત્રીજો અંક $8$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $558$ છે.

(B) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સંબંધ તપાસો:
$840 \div 5 = 168$
$168 \div 4 = 42$
$42 \div 3 = 14$
$14 \div 2 = 7$
ઘટતા પૂર્ણાંકો $(5, 4, 3, 2)$ વડે ભાગાકાર કરવાની પેટર્ન મુજબ,હવે પછીની ક્રિયા $1$ વડે ભાગાકાર કરવાની છે.
ખોવાયેલ સંખ્યા $= 7 \div 1 = 7$.

(A) આપેલ શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $5, 7, 10, 14, \ldots$
તર્ક: $+2, +3, +4, \ldots$
શ્રેણી $II$: $6, 8, 11, (\ldots)$
તર્ક: $+2, +3, +4, \ldots$
શ્રેણી $II$ ના તર્કને અનુસરતા,પછીનું પદ $11 + 4 = 15$ થશે.

(A) આપેલ શ્રેણી બે એકાંતર શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $0, 3, 8, 15, 24, (\ldots)$
શ્રેણી $I$ માટેની પેટર્ન: તફાવત $+3, +5, +7, +9$ છે. આગળનો તફાવત $+11$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $24 + 11 = 35$ છે.
શ્રેણી $II$: $2, 5, 10, 17, 26$
શ્રેણી $II$ માટેની પેટર્ન: તફાવત $+3, +5, +7, +9$ છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $35$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી ત્રણ અલગ-અલગ શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $0, 3, 6, \dots$ (તર્ક: $+3$)
શ્રેણી $II$: $4, 7, (\dots)$ (તર્ક: $+3$)
શ્રેણી $III$: $6, 9, 12$ (તર્ક: $+3$)
શ્રેણી $II$ ને જોતા,પદો $4, 7, x$ છે. સામાન્ય તફાવત $+3$ હોવાથી,ખૂટતી સંખ્યા $7 + 3 = 10$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $1, 3, 6, 10, (\ldots)$
તર્ક: $+2, +3, +4, +5, \ldots$
તેથી,આગામી પદ $10 + 5 = 15$ છે.
શ્રેણી $II$: $1, 9, 36, 100, 225$
તર્ક: $1^2, 3^2, 6^2, 10^2, 15^2$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $15$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી ત્રણ અલગ-અલગ શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
$I.$ $1^{st}, 4^{th}, 7^{th}, 10^{th}, 13^{th}$ પદો: $2, 4, 6, 8, (\ldots)$
$II.$ $2^{nd}, 5^{th}, 8^{th}, 11^{th}$ પદો: $1, 4, 7, 10$
$III.$ $3^{rd}, 6^{th}, 9^{th}, 12^{th}$ પદો: $2, 5, 8, 11$
શ્રેણી $I$ માં,તફાવત $2$ છે. તેથી,$8$ પછીનું પદ $8 + 2 = 10$ થશે.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $10$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $4, 23, 60, 121, \ldots$ છે.
પદોની પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$2^{3} - 4 = 8 - 4 = 4$
$3^{3} - 4 = 27 - 4 = 23$
$4^{3} - 4 = 64 - 4 = 60$
$5^{3} - 4 = 125 - 4 = 121$
આ પેટર્ન $n^{3} - 4$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $n$ ની શરૂઆત $2$ થી થાય છે.
તેથી,પછીનું પદ $6^{3} - 4 = 216 - 4 = 212$ થશે.

(A) આપેલી શ્રેણી $1, 4, 2, 8, 6, 24, 22, 88, (\ldots)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેની પેટર્ન તપાસો:
$1 \times 4 = 4$
$4 - 2 = 2$
$2 \times 4 = 8$
$8 - 2 = 6$
$6 \times 4 = 24$
$24 - 2 = 22$
$22 \times 4 = 88$
આ પેટર્ન $\times 4, -2, \times 4, -2, \times 4, -2, \times 4, \ldots$ ના ક્રમનું પાલન કરે છે.
આ પેટર્ન મુજબ,હવે પછીની ક્રિયા $-2$ હોવી જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $88 - 2 = 86$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I: 13, 24, 35, 46, 57$
તર્ક: દરેક પદમાં $11$ નો વધારો થાય છે $(13+11=24, 24+11=35, 35+11=46, 46+11=57)$.
શ્રેણી $II: 32, 43, (\ldots), 65, 76$
તર્ક: દરેક પદમાં $11$ નો વધારો થાય છે $(32+11=43, 43+11=54, 54+11=65, 65+11=76)$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $43+11=54$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
$I.$ એકી ક્રમના પદો: $3, 7, 13, 21, 31, \ldots$
તફાવત આ મુજબ છે: $(7-3)=4, (13-7)=6, (21-13)=8, (31-21)=10$. હવે પછીનો તફાવત $12$ હોવો જોઈએ. તેથી,આ શ્રેણીનું આગામી પદ $31+12=43$ થશે.
$II.$ બેકી ક્રમના પદો: $4, 7, 13, 22, 44, \ldots$
તફાવત આ મુજબ છે: $(7-4)=3, (13-7)=6, (22-13)=9, (44-22)=22$.
ખાલી જગ્યા $11$મું પદ (એકી ક્રમ) હોવાથી,તે શ્રેણી $I$ ના તર્કને અનુસરે છે. તેથી,ખૂટતું પદ $31+12=43$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, \dots$ છે.
આપણે નીચે મુજબની પેટર્ન જોઈ શકીએ છીએ:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$3 \times 4 = 12$
$4 \times 5 = 20$
$5 \times 6 = 30$
$6 \times 7 = 42$
$7 \times 8 = 56$
આ પેટર્નને અનુસરીને,પછીનું પદ $8 \times 9 = 72$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી ત્રણ અલગ-અલગ શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
$I.$ $1^{st}, 4^{th}, 7^{th}, 10^{th}$ પદો: $8, 7, 6, (\dots)$
$II.$ $2^{nd}, 5^{th}, 8^{th}, 11^{th}$ પદો: $9, 10, 11, 12$
$III.$ $3^{rd}, 6^{th}, 9^{th}$ પદો: $8, 9, 10$
શ્રેણી $I$ માં,દરેક પગલે $1$ નો ઘટાડો થાય છે $(8-1=7, 7-1=6)$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $6-1 = 5$ છે.

(A) આ શ્રેણી ત્રણના જૂથમાં ગુણાકારની પેટર્ન અનુસરે છે: $(a, b, c)$ જ્યાં $c \times a = b$.
$1$. જૂથ $1$: $(30, 3, 90) \rightarrow 30 \times 3 = 90$
$2$. જૂથ $2$: $(6, 30, 180) \rightarrow 6 \times 30 = 180$
$3$. જૂથ $3$: $(2, 6, 12) \rightarrow 2 \times 6 = 12$
$4$. જૂથ $4$: $(25, 2, 50) \rightarrow 25 \times 2 = 50$
$5$. જૂથ $5$: $(4, 25, 100) \rightarrow 4 \times 25 = 100$
$6$. જૂથ $6$: $(50, 4, 200) \rightarrow 50 \times 4 = 200$
$7$. જૂથ $7$: $(x, 50, 3)$ જ્યાં $x = 3 \times 50 = 150$.

(A) આપેલી શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $11, (...), 1001, 10001$
શ્રેણી $II$: $10, 100, 1000$
શ્રેણી $I$ માં,પેટર્ન મુજબ બે $1$ ની વચ્ચે એક વધારાનું શૂન્ય ઉમેરવામાં આવે છે $(11 \rightarrow 101 \rightarrow 1001 \rightarrow 10001)$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $101$ છે.

(D) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. પ્રથમ પદ $123456147$ છે.
$2$. બીજું પદ $12345614$ છે (છેલ્લો અંક '$7$' દૂર કરવામાં આવ્યો છે).
$3$. ત્રીજું પદ $2345614$ છે (બીજા પદમાંથી પ્રથમ અંક '$1$' દૂર કરવામાં આવ્યો છે).
$4$. ચોથું પદ $234561$ છે (ત્રીજા પદમાંથી છેલ્લો અંક '$4$' દૂર કરવામાં આવ્યો છે).
$5$. છેલ્લો અંક અને પ્રથમ અંક દૂર કરવાની આ વૈકલ્પિક પેટર્નને અનુસરીને,હવે ચોથા પદમાંથી પ્રથમ અંક '$2$' દૂર કરવાનો વારો છે.
તેથી,આગામી પદ $34561$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $2, 6, 12, 20, 30, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
તફાવત $4, 6, 8, 10$ છે,જે $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આગળનો તફાવત $10 + 2 = 12$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $30 + 12 = 42$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,શ્રેણી $n^2 + n$ (અથવા $n(n+1)$) ના પેટર્નને અનુસરે છે:
$1^2 + 1 = 2$
$2^2 + 2 = 6$
$3^2 + 3 = 12$
$4^2 + 4 = 20$
$5^2 + 5 = 30$
$6^2 + 6 = 42$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $2, 6, 12, 20, 30, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
અહીં તફાવત $4, 6, 8, 10$ છે,જે $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
તેથી,હવે પછીનો તફાવત $10 + 2 = 12$ હોવો જોઈએ.
આમ,પછીનું પદ $30 + 12 = 42$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,આ શ્રેણી $n^2 + n$ ના પેટર્નને અનુસરે છે:
$1^2 + 1 = 2$
$2^2 + 2 = 6$
$3^2 + 3 = 12$
$4^2 + 4 = 20$
$5^2 + 5 = 30$
$6^2 + 6 = 42$.

(B) આપેલી શ્રેણી $2, 6, 12, 20, 30, ?$ છે.
આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીને તર્ક સમજી શકીએ છીએ:
$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
અહીં તફાવત $4, 6, 8, 10$ છે,જે $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આથી,પછીનો તફાવત $10 + 2 = 12$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનું પદ $30 + 12 = 42$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,આ શ્રેણી $n^2 + n$ અથવા $n(n+1)$ ના નિયમનું પાલન કરે છે:
$1^2 + 1 = 2$
$2^2 + 2 = 6$
$3^2 + 3 = 12$
$4^2 + 4 = 20$
$5^2 + 5 = 30$
$6^2 + 6 = 42$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડી ધરાવે છે.
- પ્રથમ જોડી $(2, 3)$ છે.
- બીજી જોડી $(3, 5)$ છે.
- ત્રીજી જોડી $(5, 7)$ છે.
- ચોથી જોડી $(7, 11)$ છે.
- પાંચમી જોડી $(11, 13)$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ,$13$ પછીની ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડી $(13, 17)$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 10$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે.
શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = a + (n - 1)d = 10 + (n - 1)7 = 7n + 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે શ્રેણીની કોઈપણ સંખ્યા $7n + 3$ ના સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સંખ્યાને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $3$ વધવી જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) 48 = 7 \times 6 + 6$ (શેષ $6$)
$B) 346 = 7 \times 49 + 3$ (શેષ $3$)
$C) 574 = 7 \times 82 + 0$ (શેષ $0$)
$D) 1003 = 7 \times 143 + 2$ (શેષ $2$)
આમ,$346$ એ એકમાત્ર સંખ્યા છે જે આ શ્રેણીમાં આવે છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, \ldots$ છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘન દર્શાવે છે.
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 256 = 16^2$ (પૂર્ણ ઘન નથી)
$B) 512 = 8^3$
$C) 729 = 9^3$
$D) 1000 = 10^3$
તેથી,$256$ એ શ્રેણીની સંખ્યા નથી.

(C) આપેલી શ્રેણી $3, 9, 15, . . .$ છે.
અહીં,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે: $9 - 3 = 6$ અને $15 - 9 = 6$.
આમ,આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$21$ માં પદ માટે $(n = 21)$:
$a_{21} = 3 + (21 - 1) \times 6$
$a_{21} = 3 + 20 \times 6$
$a_{21} = 3 + 120 = 123$.

(B) આપેલી શ્રેણી $2, 6, 18, 54, \ldots$ છે.
અહીં,દરેક પદ અગાઉના પદને $3$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $T_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
$8$ મા પદ $(n = 8)$ માટે:
$T_8 = 2 \cdot 3^{8-1} = 2 \cdot 3^7$.
$3^7 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2187$ ની ગણતરી કરતા.
તેથી,$T_8 = 2 \times 2187 = 4374$.

(C) આપેલ શ્રેણી $5, 8, 11, 14, \ldots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 5 = 3$ છે.
આપણે એવું પદ $n$ શોધવાનું છે કે જેનું $n^{th}$ પદ $a_n = 320$ થાય.
સમાંતર શ્રેણીના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $320 = 5 + (n - 1) \times 3$.
$320 - 5 = (n - 1) \times 3$.
$315 = (n - 1) \times 3$.
$n - 1 = \frac{315}{3} = 105$.
$n = 105 + 1 = 106$.
તેથી,શ્રેણીનું $106^{th}$ પદ $320$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $5, 10, 20, 40, \ldots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{10}{5} = 2$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
આપણે $n$ શોધવાનું છે જેથી $a_n = 1280$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$5 \cdot 2^{n-1} = 1280$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,$2^{n-1} = \frac{1280}{5} = 256$ મળે છે.
કારણ કે $256 = 2^8$,તેથી $2^{n-1} = 2^8$ થાય.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$n - 1 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 9$.
તેથી,$1280$ એ શ્રેણીનું $9$ મું પદ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $(n^{3} - 1)$ ના પેટર્નને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે.
પદોની ગણતરી:
$2^{3} - 1 = 8 - 1 = 7$
$3^{3} - 1 = 27 - 1 = 26$
$4^{3} - 1 = 64 - 1 = 63$
$5^{3} - 1 = 125 - 1 = 124$
$6^{3} - 1 = 216 - 1 = 215$
$7^{3} - 1 = 343 - 1 = 342$
$8^{3} - 1 = 512 - 1 = 511$
$9^{3} - 1 = 729 - 1 = 728$
આપેલ શ્રેણી $7, 28, 63, 124, 215, 342, 611$ સાથે સરખાવતા,$28$ ખોટું છે ($26$ હોવું જોઈએ) અને $611$ પણ ખોટું છે ($511$ હોવું જોઈએ). જોકે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$611$ એ શ્રેણીની પેટર્નમાં સૌથી મોટો તફાવત દર્શાવે છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $3, 8, 15, 24, 34, 48, 63$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતની પેટર્ન તપાસીએ:
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$35 - 24 = 11$
$48 - 35 = 13$
$63 - 48 = 15$
તફાવત ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ: $5, 7, 9, 11, 13, 15$.
આપેલી શ્રેણીમાં,$24$ અને $34$ વચ્ચેનો તફાવત $10$ છે અને $34$ અને $48$ વચ્ચેનો તફાવત $14$ છે.
તેથી,$34$ એ ખોટી સંખ્યા છે અને એકી સંખ્યાઓની પેટર્ન જાળવવા માટે તેને $35$ દ્વારા બદલવી જોઈએ.

(C) શ્રેણીની પેટર્ન તપાસો:
$24 + 3 = 27$
$27 + 3 = 30$
$30 + 3 = 33$
$33 + 3 = 36$
આપેલી શ્રેણીમાં,પદ $31$ ખોટું છે કારણ કે પેટર્ન મુજબ દરેક અગાઉના પદમાં $3$ ઉમેરવા જરૂરી છે. $31$ ના સ્થાને $30$ મૂકવાથી શ્રેણી સુસંગત બને છે $(24, 27, 30, 33, 36)$. તેથી,$31$ એ ખોટું પદ છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $196, 169, 144, 121, 80$ છે.
પદોની પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$196 = (14)^2$
$169 = (13)^2$
$144 = (12)^2$
$121 = (11)^2$
આ શ્રેણીનું પછીનું પદ $(10)^2 = 100$ હોવું જોઈએ.
જોકે,આપેલું પદ $80$ છે.
તેથી,$80$ એ શ્રેણીનું ખોટું પદ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $3, 5, 7, 9, 11, 13$ છે.
આ સંખ્યાઓ ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ.
અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ અવયવ નથી.
$3$ થી શરૂ થતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$ છે.
આપેલી શ્રેણીમાં,$9$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે કારણ કે $9 = 3 \times 3$.
તેથી,શ્રેણીમાં $9$ એ ખોટું પદ છે.

(C) આ શ્રેણીમાં દરેક પદ અગાઉના પદમાં $22$ ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.
$121 + 22 = 143$
$143 + 22 = 165$
$165 + 22 = 187$
$187 + 22 = 209$
આ તર્કને આપેલી શ્રેણી $(121, 143, 165, 186, 209)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $186$ એ ખોટું પદ છે. તેની જગ્યાએ $187$ હોવું જોઈએ.

(D) આપેલી શ્રેણી એક એવા તર્કને અનુસરે છે જેમાં દરેક પદ તેના અગાઉના પદને $2$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 = 8$
$8 \times 2 = 16$
$16 \times 2 = 32$
$32 \times 2 = 64$
$64 \times 2 = 128$
આપેલી શ્રેણીમાં,છેલ્લું પદ $96$ છે,જે આ તર્કને અનુસરતું નથી. તેથી,$96$ એ ખોટું પદ છે અને તેના સ્થાને $128$ હોવું જોઈએ.

(D) આ શ્રેણીમાં દરેક પદ તેના અગાઉના પદના બમણા કરતા $2$ ઓછું છે.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$8 \times 2 - 2 = 14$
$14 \times 2 - 2 = 26$
$26 \times 2 - 2 = 50$ (પરંતુ આપેલ પદ $48$ છે)
$50 \times 2 - 2 = 98$
$98 \times 2 - 2 = 194$
$194 \times 2 - 2 = 386$
તેથી,પદ $48$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $50$ હોવું જોઈએ.

(D) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$13 - 8 = 5$
$21 - 13 = 8$
$32 - 21 = 11$
$47 - 32 = 15$
$63 - 47 = 16$
$83 - 63 = 20$
તફાવતની પેટર્ન $5, 8, 11, 14, 17, 20$ છે ($3$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી).
આ પેટર્ન મુજબ સાચા પદોની ગણતરી કરતા:
$8 + 5 = 13$
$13 + 8 = 21$
$21 + 11 = 32$
$32 + 14 = 46$
$46 + 17 = 63$
$63 + 20 = 83$
આમ,$47$ એ ખોટું પદ છે કારણ કે ત્યાં $46$ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલી શ્રેણી ત્રણના જૂથોની પેટર્ન અનુસરે છે: $(n, n^2, n^3)$.
જૂથ $1$: $3, 3^2, 3^3$ એટલે કે $3, 9, 27$.
જૂથ $2$: $4, 4^2, 4^3$ એટલે કે $4, 16, 64$.
જૂથ $3$: $5, 5^2, 5^3$ એટલે કે $5, 25, 125$.
આને આપેલી શ્રેણી $3, 10, 27, 4, 16, 64, 5, 25, 125$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $10$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $9$ હોવું જોઈએ.

(C) ચાલો શ્રેણીની પેટર્ન જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ તપાસીએ:
$2 \times 2 + 4 = 8$
$8 \times 2 + 4 = 20$
$20 \times 2 + 4 = 44$
$44 \times 2 + 4 = 92$
$92 \times 2 + 4 = 188$
$188 \times 2 + 4 = 380$
આપેલ શ્રેણી $380, 188, 92, 48, 20, 8, 2$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $48$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $44$ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલી શ્રેણી $1, 3, 7, 15, 27, 63, 127$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$3 - 1 = 2 = 2^1$
$7 - 3 = 4 = 2^2$
$15 - 7 = 8 = 2^3$
$27 - 15 = 12$
$63 - 27 = 36$
$127 - 63 = 64 = 2^6$
તફાવતની પેટર્ન $2$ ની ઘાત $(2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6)$ મુજબ હોવી જોઈએ.
આ પેટર્ન મુજબ,$15$ પછીનો તફાવત $2^4 = 16$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનું પદ $15 + 16 = 31$ હોવું જોઈએ.
ત્યારબાદ,પછીનો તફાવત $2^5 = 32$ હોવો જોઈએ,અને $31 + 32 = 63$ થાય છે,જે પછીના પદ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,શ્રેણીમાં $27$ એ ખોટું પદ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $5, 10, 17, 24, 37$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$10 - 5 = 5$
$17 - 10 = 7$
$24 - 17 = 7$
$37 - 24 = 13$
તફાવતની પેટર્ન જોતા: $5, 7, 9, 11, \dots$
તફાવત $5$ થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ.
જો આપણે $24$ ને $26$ વડે બદલીએ,તો શ્રેણી $5, 10, 17, 26, 37$ બને છે.
ત્યારે તફાવત નીચે મુજબ થશે:
$10 - 5 = 5$
$17 - 10 = 7$
$26 - 17 = 9$
$37 - 26 = 11$
આ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓની પેટર્નનું પાલન કરે છે.
તેથી,$24$ એ ખોટું પદ છે.

(D) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1 \times 2 + 1 = 3$
$3 \times 3 + 1 = 10$
$10 \times 2 + 1 = 21$
$21 \times 3 + 1 = 64$
$64 \times 2 + 1 = 129$
$129 \times 3 + 1 = 388$
$388 \times 2 + 1 = 777$ (નોંધ: શ્રેણી $\times 2+1, \times 3+1$ ના ક્રમમાં ચાલે છે).
આપેલ શ્રેણી $1, 3, 10, 21, 64, 129, 256, 778$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $256$ ખોટું પદ છે કારણ કે $129$ પછી આવતું પદ $388$ હોવું જોઈએ.

(B) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$16 - 15 = 1 = 1^2$
$22 - 16 = 6 \neq 2^2$
$29 - 22 = 7 \neq 3^2$
ચાલો અગાઉના પદમાં વર્ગ ઉમેરવાની પેટર્ન જોઈએ:
$15 + 1^2 = 16$
$16 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
$20 + 3^2 = 20 + 9 = 29$
$29 + 4^2 = 29 + 16 = 45$
$45 + 5^2 = 45 + 25 = 70$
આપેલ શ્રેણી $15, 16, 22, 29, 45, 70$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $22$ એ ખોટું પદ છે અને તેની જગ્યાએ $20$ હોવું જોઈએ.

(C) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$6 \times 2 + 2 = 14$
$14 \times 2 + 2 = 30$
$30 \times 2 + 2 = 62$
$62 \times 2 + 2 = 126$
આ પેટર્નને આપેલી શ્રેણી $6, 14, 30, 64, 126$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $64$ એ ખોટું પદ છે અને તેના સ્થાને $62$ હોવું જોઈએ.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન એવી છે કે દરેક પદ તેના અગાઉના પદના $3$ ગણા કરતા $4$ ઓછું છે.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$10 \times 3 - 4 = 26$
$26 \times 3 - 4 = 74$
$74 \times 3 - 4 = 218$
$218 \times 3 - 4 = 650$
$650 \times 3 - 4 = 1946$
$1946 \times 3 - 4 = 5834$
આપેલી શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$654$ પદ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $650$ હોવું જોઈએ.

(B) શ્રેણીની પેટર્ન એવી છે કે દરેક પદ અગાઉના પદને $2$ વડે ગુણીને $1$ ઉમેરવાથી મળે છે $(x_{n+1} = 2x_n + 1)$.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$3 \times 2 + 1 = 7$
$7 \times 2 + 1 = 15$
$15 \times 2 + 1 = 31$ ($39$ નથી)
$31 \times 2 + 1 = 63$
$63 \times 2 + 1 = 127$
$127 \times 2 + 1 = 255$
$255 \times 2 + 1 = 511$
તેથી,$39$ એ શ્રેણીનું ખોટું પદ છે અને તેના સ્થાને $31$ હોવું જોઈએ.

(B) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન આ મુજબ છે: વર્તમાન પદમાંથી $3$ બાદ કરો અને પછી તેને $2$ વડે ભાગો જેથી આગળનું પદ મળે.
$1.$ $(445 - 3) / 2 = 442 / 2 = 221$
$2.$ $(221 - 3) / 2 = 218 / 2 = 109$
$3.$ $(109 - 3) / 2 = 106 / 2 = 53$
$4.$ $(53 - 3) / 2 = 50 / 2 = 25$
$5.$ $(25 - 3) / 2 = 22 / 2 = 11$
$6.$ $(11 - 3) / 2 = 8 / 2 = 4$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,પદ $46$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $53$ હોવું જોઈએ.

(D) ચાલો દરેક સંખ્યામાં અંકોની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. પ્રથમ અંકો $1, 2, 3, 4, 5$ છે. આ $1$ ના વધારા સાથેની સુસંગત પેટર્ન અનુસરે છે.
$2$. બીજા અંકો $2, 3, 4, 5, 6$ છે. આ પણ $1$ ના વધારા સાથેની સુસંગત પેટર્ન અનુસરે છે.
$3$. ત્રીજા અંકો $3, 4, 5, 6, 7$ છે. આ પેટર્ન મુજબ,પાંચમી સંખ્યાનો ત્રીજો અંક $7$ હોવો જોઈએ.
$4$. દરેક સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $6$ છે.
તેથી,પાંચમી સંખ્યા $5686$ ને બદલે $5676$ હોવી જોઈએ. આમ,$5686$ એ ખોટું પદ છે.

(C) શ્રેણીમાં રહેલી પેટર્ન $2$ અને $4$ વડે વારાફરતી ગુણાકાર કરવાની છે:
$5 \times 2 = 10$
$10 \times 4 = 40$
$40 \times 2 = 80$
$80 \times 4 = 320$
$320 \times 2 = 640$
$640 \times 4 = 2560$
આ શ્રેણીને આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$550$ પદ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $640$ હોવું જોઈએ.

(B) આપેલી શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $3, 8, 13, 18, 23$ (તર્ક: $+5$)
શ્રેણી $II$: $2, 9, 22, 32, 42$ (તર્ક: $+10$)
શ્રેણી $I$ માં,પદો $a_n = 3 + (n-1)5$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જે સાચું છે.
શ્રેણી $II$ માં,પદો $2, 12, 22, 32, 42$ હોવા જોઈએ (દરેક અગાઉના પદમાં $10$ ઉમેરતા).
આપેલી શ્રેણી $II$ $(2, 9, 22, 32, 42)$ ની સરખામણી સાચી શ્રેણી $(2, 12, 22, 32, 42)$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $9$ એ ખોટું પદ છે અને તેના સ્થાને $12$ હોવું જોઈએ.