Series completion Questions in Gujarati

(D) આપેલ શ્રેણી $7, 14, 28, \ldots$ છે.
ભાતનું અવલોકન કરતા: $14/7 = 2$,$28/14 = 2$.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 7$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$મા પદનું સૂત્ર $T_n = a \times r^{(n-1)}$ છે.
$10$મા પદ $(n = 10)$ માટે:
$T_{10} = 7 \times 2^{(10-1)} = 7 \times 2^9$.
કારણ કે $2^9 = 512$,તેથી $T_{10} = 7 \times 512 = 3584$.

(B) આપેલી શ્રેણી $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ છે.
આ સંખ્યાઓ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગ દર્શાવે છે:
$1^{2} = 1$
$2^{2} = 4$
$3^{2} = 9$
$4^{2} = 16$
$5^{2} = 25$
શ્રેણીમાં પછીની સંખ્યા $6$ નો વર્ગ હોવી જોઈએ,જે $6^{2} = 36$ છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $36$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $20, 19, 17, (\ldots), 10, 5$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$20 - 19 = 1$
$19 - 17 = 2$
આ ક્રમ મુજબ (ક્રમિક પૂર્ણાંકો $1, 2, 3, 4, 5$ બાદ કરતા),આગળનો તફાવત $3$ હોવો જોઈએ.
ખૂટતી સંખ્યા $= 17 - 3 = 14$.
ચકાસણી કરવા માટે,પછીના પદો તપાસો:
$14 - 4 = 10$
$10 - 5 = 5$
આ પેટર્ન સાચી છે. તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $14$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $2, 3, 5, 7, 11, (\dots), 17$ છે.
શ્રેણીનું અવલોકન કરતા,આ ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન ભાજક નથી.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$ છે.
તેથી,$11$ પછીની ખૂટતી સંખ્યા $13$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $6, 11, 21, 36, 56, \ldots$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$11 - 6 = 5$
$21 - 11 = 10$
$36 - 21 = 15$
$56 - 36 = 20$
તફાવત સમાંતર શ્રેણીમાં છે: $5, 10, 15, 20, \ldots$
આથી,પછીનો તફાવત $20 + 5 = 25$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $56 + 25 = 81$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $1, 6, 13, 22, 33, \dots$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$6 - 1 = 5$
$13 - 6 = 7$
$22 - 13 = 9$
$33 - 22 = 11$
તફાવતો $5$ થી શરૂ થતી એકી સંખ્યાઓની શ્રેણી બનાવે છે: $5, 7, 9, 11, \dots$
આથી,હવે પછીનો તફાવત $11 + 2 = 13$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $33 + 13 = 46$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં દરેક પદ તેના અગાઉના પદને $3$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$3 \times 3 = 9$
$9 \times 3 = 27$
$27 \times 3 = 81$
તે જ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ:
$81 \times 3 = 243$ થાય.

(A) આપેલ શ્રેણી $1, 9, 17, 33, 49, 73, ...$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$9 - 1 = 8$
$17 - 9 = 8$
$33 - 17 = 16$
$49 - 33 = 16$
$73 - 49 = 24$
તફાવતની પેટર્ન $8, 8, 16, 16, 24, ...$ છે.
આ દર્શાવે છે કે દરેક તફાવત બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે અને દર બે પગલા પછી તફાવતમાં $8$ નો વધારો થાય છે.
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $24$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $= 73 + 24 = 97$.

(A) આપેલ શ્રેણી $2, 5, 9, (\ldots), 20, 27$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$5 - 2 = 3$
$9 - 5 = 4$
તફાવતની પેટર્ન દરેક વખતે $1$ થી વધે છે $(+3, +4, +5, +6, \ldots)$.
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $+5$ હોવો જોઈએ:
$9 + 5 = 14$.
ચકાસણી કરવા માટે,આગળનો તફાવત $+6$ હોવો જોઈએ:
$14 + 6 = 20$ (જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે).
છેલ્લે,$20 + 7 = 27$ (જે પણ મેળ ખાય છે).
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $14$ છે.

(B) શ્રેણીમાં જોવા મળતી પેટર્ન $4$ ના ક્રમિક ગુણકોનો સરવાળો છે:
$9 - 5 = 4$
$17 - 9 = 8$
$29 - 17 = 12$
$45 - 29 = 16$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળનો તફાવત $16 + 4 = 20$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $45 + 20 = 65$ છે.

(C) શ્રેણીની દરેક સંખ્યા અગાઉની સંખ્યાને $2$ વડે ગુણીને તેમાં $1$ ઉમેરવાથી મળે છે.
આ તર્ક મુજબ:
$(3 \times 2) + 1 = 7$
$(7 \times 2) + 1 = 15$
$(15 \times 2) + 1 = 31$
$(31 \times 2) + 1 = 63$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા:
$(63 \times 2) + 1 = 126 + 1 = 127$ થાય.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$15 - 6 = 9$
$91 - 66 = 25$
$66 - 45 = 21$
તફાવતો $9, \ldots, \ldots, 21, 25$ છે.
આ દર્શાવે છે કે તફાવતોમાં $4$ નો વધારો થાય છે $(9, 13, 17, 21, 25)$.
તેથી,ખૂટતું પદ $15 + 13 = 28$ છે અને $28 + 17 = 45$ થાય છે,જે પેટર્ન સાથે બંધ બેસે છે.
સાચો વિકલ્પ $28$ છે.

(C) શ્રેણીમાં દરેક પદ તેના આગળના બે પદોનો સરવાળો છે.
આમ,$1 + 2 = 3$; $2 + 3 = 5$; $3 + 5 = 8$.
આ તર્ક મુજબ,ખૂટતી સંખ્યા $5 + 8 = 13$ થશે.

(D) શ્રેણીનું દરેક પદ તેના અગાઉના પદને $3$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$0.5 \times 3 = 1.5$
$1.5 \times 3 = 4.5$
$4.5 \times 3 = 13.5$
$13.5 \times 3 = 40.5$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $40.5$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $121, 225, 361, \ldots$ છે.
આ સંખ્યાઓ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના વર્ગ છે,જેના પાયામાં $4$ નો સામાન્ય તફાવત છે:
$11^{2} = 121$
$15^{2} = 225$
$19^{2} = 361$
અહીં પાયા $11, 15, 19, \ldots$ છે,જે $4$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આથી,પછીનો પાયો $19 + 4 = 23$ થશે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $23^{2} = 529$ છે.

(A) ચાલો આપેલ શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ: $0, 2, 8, 14, (. . .), 34$.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત:
$2 - 0 = 2$
$8 - 2 = 6$
$14 - 8 = 6$
આ એક સાદી સમાંતર શ્રેણી નથી. ચાલો પદોને ફરીથી જોઈએ:
$0 = 1^2 - 1$
$2 = 2^2 - 2$
$8 = 3^2 - 1$
$14 = 4^2 - 2$
આ પેટર્ન ક્રમિક પૂર્ણાંકોના વર્ગમાંથી $1$ અને $2$ ની વારાફરતી બાદબાકીને અનુસરે છે ($n$ એકી હોય ત્યારે $n^2 - 1$,$n$ બેકી હોય ત્યારે $n^2 - 2$).
આ પેટર્ન મુજબ,આગામી પદ $(n=5)$ $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$ હોવું જોઈએ.
આગામી પદ $(n=6)$ તપાસતા: $6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $24$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $19, 38, 114, \dots$
શ્રેણી $II$: $2, 3, 4, \dots$
શ્રેણી $I$ નું વિશ્લેષણ કરતા:
$19 \times 2 = 38$
$38 \times 3 = 114$
આ પેટર્ન મુજબ,આગામી પદ $114 \times 4 = 456$ હોવું જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $456$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 2, 3, 6, 9, 18, (...), 54$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક સમજો:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 1.5 = 3$
$3 \times 2 = 6$
$6 \times 1.5 = 9$
$9 \times 2 = 18$
આ શ્રેણીમાં વારાફરતી $2$ અને $1.5$ (એટલે કે $\frac{3}{2}$) વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
આ તર્ક મુજબ,$18$ ને $1.5$ વડે ગુણતા:
$18 \times 1.5 = 27$.
ચકાસણી માટે,આગળનું પદ $27 \times 2 = 54$ થાય છે,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતું પદ $27$ છે.

(D) આ શ્રેણીની પેટર્ન પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ક્રમિક વર્ગોના સરવાળા પર આધારિત છે:
$5 - 4 = 1 = 1^2$
$9 - 5 = 4 = 2^2$
$18 - 9 = 9 = 3^2$
$34 - 18 = 16 = 4^2$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળનો તફાવત $5^2 = 25$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $34 + 25 = 59$ છે.

(D) શ્રેણીમાં રહેલી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$3 \times 2 = 6$
$6 \times 3 = 18$
$18 \times 4 = 72$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળની ક્રિયા $5$ વડે ગુણાકારની હોવી જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $72 \times 5 = 360$ છે.

(C) શ્રેણીની દરેક સંખ્યા તેના અગાઉની સંખ્યાના અંકોનો ગુણાકાર છે.
આ તર્ક મુજબ:
$6 \times 6 = 36$
$3 \times 6 = 18$
$1 \times 8 = 8$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $8$ છે.

(A) શ્રેણીની પેટર્ન $2$ ના ઘાત ઉમેરવા પર આધારિત છે:
$25 - 21 = 4 = 2^2$
$33 - 25 = 8 = 2^3$
$49 - 33 = 16 = 2^4$
$81 - 49 = 32 = 2^5$
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $2^6 = 64$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $81 + 64 = 145$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $12, 32, 72, 152, \ldots$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$32 - 12 = 20$
$72 - 32 = 40$
$152 - 72 = 80$
તફાવત $20, 40, 80, \ldots$ છે,જે અગાઉના તફાવતને બમણા કરવાના તર્કને અનુસરે છે $(20 \times 2 = 40, 40 \times 2 = 80)$.
આથી,પછીનો તફાવત $80 \times 2 = 160$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $152 + 160 = 312$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $I$: $3, 5, 7, 9$ (જ્યાં દરેક પદમાં $2$ નો વધારો થાય છે)
શ્રેણી $II$: $6, 20, 42, (...)$
ચાલો શ્રેણી $II$ માં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$20 - 6 = 14$
$42 - 20 = 22$
તફાવતો વચ્ચેનો તફાવત $22 - 14 = 8$ છે. તેથી,આગળનો તફાવત $22 + 8 = 30$ હોવો જોઈએ.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $42 + 30 = 72$ છે.

(C) આ શ્રેણીની પેટર્ન એવી છે કે કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો કરવાથી પછીનું પદ મળે છે.
ચાલો આ પેટર્નને ચકાસીએ:
$1 + 3 + 4 = 8$
$3 + 4 + 8 = 15$
$4 + 8 + 15 = 27$
આ તર્કને અનુસરીને,પછીનું પદ તેના અગાઉના ત્રણ પદોનો સરવાળો થશે:
ખૂટતી સંખ્યા $= 8 + 15 + 27 = 50$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ શ્રેણી વધતા તફાવતની પેટર્ન અનુસરે છે.
$15 - 2 = 13$
$41 - 15 = 26$
$80 - 41 = 39$
તફાવત એ $13$ ના ગુણકો છે: $13 \times 1, 13 \times 2, 13 \times 3, \ldots$
આગળનો તફાવત $13 \times 4 = 52$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $80 + 52 = 132$ છે.

(C) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$10 - 8 = 2$
$14 - 10 = 4$
$18 - 14 = 4$
શ્રેણીના અંતિમ ભાગને જોતા:
$66 - 50 = 16$
$50 - 34 = 16$
આ સૂચવે છે કે તફાવતની પેટર્ન $2, 4, 4, 8, 8, 16, 16$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ ખૂટતી સંખ્યા:
$18 + 8 = 26$
ત્યારબાદ,$26 + 8 = 34$,જે શ્રેણીના પછીના પદ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $26$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $1, 2, 6, 24, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક સમજો:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$6 \times 4 = 24$
આ શ્રેણીમાં $2$ થી શરૂ થતી ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે (એટલે કે,$\times 2, \times 3, \times 4, \dots$).
આ તર્ક મુજબ,હવે પછીના પદ માટે $5$ વડે ગુણાકાર કરવો પડે:
$24 \times 5 = 120$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $120$ છે.

(D) શ્રેણીનું દરેક પદ તેના અગાઉના પદનો વર્ગ કરીને તેમાંથી $1$ બાદ કરવાથી મળે છે.
પગલું $1$: $(2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
પગલું $2$: $(3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
પગલું $3$: $(8)^2 - 1 = 64 - 1 = 63$
પગલું $4$: $(63)^2 - 1 = 3969 - 1 = 3968$
તેથી,ખૂટતું પદ $3968$ છે.

(B) શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$115.5 - 95 = 20.5$
$138 - 115.5 = 22.5$
તફાવત દરેક પગલે $2$ જેટલો વધે છે $(20.5, 22.5, 24.5, 26.5, \dots)$.
તેથી,આગળનો તફાવત $22.5 + 2 = 24.5$ હોવો જોઈએ.
આ તફાવતને છેલ્લા પદમાં ઉમેરતા: $138 + 24.5 = 162.5$.
ચકાસણી માટે,આગળનું પદ $162.5 + 26.5 = 189$ થવું જોઈએ,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,ખૂટતું પદ $162.5$ છે.

(B) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$4 \times 3 - 2 = 10$
$10 \times 3 - 2 = 28$
$28 \times 3 - 2 = 82$
$82 \times 3 - 2 = 244$
$244 \times 3 - 2 = 730$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $28$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $4, 32, 128, (\ldots)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સંબંધ તપાસો:
$4 \times 8 = 32$
$32 \times 4 = 128$
અહીં ગુણકો $8$ અને $4$ છે,જે $2$ ના અવયવથી ઘટી રહ્યા છે $(8/2 = 4)$.
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળનો ગુણક $4/2 = 2$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતું પદ $128 \times 2 = 256$ છે.

(B) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન $\times 2 + 1$ અને $\times 2 - 1$ વચ્ચે બદલાય છે.
પગલું $1$: $2 \times 2 + 1 = 5$
પગલું $2$: $5 \times 2 - 1 = 9$
પગલું $3$: $9 \times 2 + 1 = 19$
પગલું $4$: $19 \times 2 - 1 = 37$
પગલું $5$: પેટર્ન મુજબ,હવે પછીની ક્રિયા $\times 2 + 1$ છે.
ખૂટતી સંખ્યા $= 37 \times 2 + 1 = 74 + 1 = 75$.

(B) આપેલ શ્રેણી $24, 60, 120, 210, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$60 - 24 = 36$
$120 - 60 = 60$
$210 - 120 = 90$
તફાવતો $36, 60, 90, \dots$ છે.
હવે,આ તફાવતો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$60 - 36 = 24$
$90 - 60 = 30$
બીજા ક્રમનો તફાવત $24, 30, \dots$ છે,જે $6$ ના વધારા સાથે વધે છે.
તેથી,પછીનો બીજા ક્રમનો તફાવત $30 + 6 = 36$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનો પ્રથમ ક્રમનો તફાવત $90 + 36 = 126$ હોવો જોઈએ.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $210 + 126 = 336$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $165, 195, 255, 285, 345, (...)$ છે.
દરેક પદને $15$ અને અવિભાજ્ય સંખ્યાના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$165 = 15 \times 11$
$195 = 15 \times 13$
$255 = 15 \times 17$
$285 = 15 \times 19$
$345 = 15 \times 23$
અહીં વપરાયેલ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી $11, 13, 17, 19, 23$ છે. $23$ પછીની ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યા $29$ છે.
તેથી,ખૂટતું પદ $15 \times 29 = 435$ થશે.

(D) આપેલ શ્રેણી $5, 17, 37, 65, (\ldots), 145$ છે.
આપણે નીચે મુજબની પેટર્ન જોઈ શકીએ છીએ:
$5 = 2^{2} + 1$
$17 = 4^{2} + 1$
$37 = 6^{2} + 1$
$65 = 8^{2} + 1$
આ પેટર્ન $n^{2} + 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n$ એ $2$ થી શરૂ થતી બેકી સંખ્યા છે.
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગામી પદ $10^{2} + 1$ હોવું જોઈએ.
$10^{2} + 1 = 100 + 1 = 101$.
ત્યાર પછીનું પદ $12^{2} + 1 = 144 + 1 = 145$ છે,જે શ્રેણીના છેલ્લા પદ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $101$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણીમાં દરેક પદ તેના આગળના બે પદોનો સરવાળો છે (ફિબોનાકી જેવી શ્રેણી).
$9 + 11 = 20$
$11 + 20 = 31$
$20 + 31 = 51$
$31 + 51 = 82$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $51$ છે.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$16 - 5 = 11$
$49 - 16 = 33$
$104 - 49 = 55$
તફાવતની પેટર્ન $11, 33, 55, \dots$ છે.
આ $11$ ના ગુણકો છે: $(11 \times 1), (11 \times 3), (11 \times 5), \dots$
આગળનો તફાવત $(11 \times 7) = 77$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $104 + 77 = 181$ છે.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$34 \div 2 + 1 = 17 + 1 = 18$
$18 \div 2 + 1 = 9 + 1 = 10$
$10 \div 2 + 1 = 5 + 1 = 6$
$6 \div 2 + 1 = 3 + 1 = 4$
$4 \div 2 + 1 = 2 + 1 = 3$
તેથી,ખૂટતું પદ $3$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $462, 420, 380, (...), 306$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$462 - 420 = 42$
$420 - 380 = 40$
તફાવતની પેટર્ન દરેક વખતે $2$ જેટલી ઘટે છે (એટલે કે,$-42, -40, -38, -36, \dots$).
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $-38$ હોવો જોઈએ:
$380 - 38 = 342$
ચકાસણી કરવા માટે,આગળનો તફાવત $-36$ હોવો જોઈએ:
$342 - 36 = 306$
આ છેલ્લી સંખ્યા સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,ખૂટતી સંખ્યા $342$ છે.

(A) આ શ્રેણીમાં તર્ક આ મુજબ છે: અગાઉના પદને $3$ વડે ગુણીને $1$ થી શરૂ થતી વધતી જતી સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે છે.
પગલું $1$: $3 \times 3 - 1 = 8$
પગલું $2$: $8 \times 3 - 2 = 22$
પગલું $3$: $22 \times 3 - 3 = 63$
પગલું $4$: $63 \times 3 - 4 = 185$
પગલું $5$: $185 \times 3 - 5 = 550$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $550$ છે.

(C) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$1 \times 2 + 0 = 2$
$2 \times 2 + 1 = 5$
$5 \times 2 + 2 = 12$
$12 \times 2 + 3 = 27$
$27 \times 2 + 4 = 58$
$58 \times 2 + 5 = 121$
આ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ છે:
$121 \times 2 + 6 = 242 + 6 = 248$.

(C) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$0.5 + 0.05 = 0.55$
$0.55 + 0.10 = 0.65$
$0.65 + 0.15 = 0.80$
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો વધારો $0.20$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $0.8 + 0.20 = 1$ છે.

(A) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$1$લું પદ: $3$
$2$જું પદ: $8$
$3$જું પદ: $13$
$4$થું પદ: $24$
$5$મું પદ: $41$
પદો વચ્ચેનો સંબંધ તપાસીએ:
$3 + 8 + 2 = 13$ ($3$જું પદ)
$8 + 13 + 3 = 24$ ($4$થું પદ)
$13 + 24 + 4 = 41$ ($5$મું પદ)
પેટર્ન આ મુજબ છે: $(\text{પદ}_{n} + \text{પદ}_{n+1} + n) = \text{પદ}_{n+2}$,જ્યાં $n$ એ સરવાળામાં પ્રથમ પદનો ક્રમાંક છે.
$6$ઠ્ઠું પદ શોધવા માટે:
$24 + 41 + 5 = 70$
તેથી,ખૂટતું પદ $70$ છે.

(A) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$97 - 86 = 11$
$86 - 73 = 13$
$73 - 58 = 15$
$58 - 45 = 13$
તફાવતની પેટર્ન $-11, -13, -15, -13, \ldots$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ,હવે પછીનો તફાવત $-11$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $= 45 - 11 = 34$.

(A) આપેલ શ્રેણી $17$ થી શરૂ થતી ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એટલે એવી સંખ્યાઓ કે જે $1$ કરતા મોટી હોય અને જેને માત્ર બે જ અવયવો હોય: $1$ અને તે સંખ્યા પોતે.
શ્રેણી આ મુજબ છે: $17, 19, 23, 29, \dots, 37$.
$29$ પછીની તરતની અવિભાજ્ય સંખ્યા $31$ છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $31$ છે.

(B) આ શ્રેણીનો તર્ક ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સરવાળા પર આધારિત છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$6 - 5 = 1$
$9 - 6 = 3$
$15 - 9 = 6$
તફાવત $1, 3, 6, \ldots$ છે,જે ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ અથવા ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સરવાળાના તર્કને અનુસરે છે: $1, (1+2), (1+2+3), \ldots$
આ તર્ક મુજબ,આગળનો તફાવત $(1+2+3+4) = 10$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $15 + 10 = 25$ છે.
ચકાસણી માટે,આગળનો તફાવત $(1+2+3+4+5) = 15$ હોવો જોઈએ,અને $25 + 15 = 40$,જે શ્રેણીના અંતિમ પદ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $3, 12, 27, 48, 75, 108, \dots$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દરેક પદ $3 \times n^{2}$ ના પેટર્નને અનુસરે છે,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે:
$3 \times 1^{2} = 3 \times 1 = 3$
$3 \times 2^{2} = 3 \times 4 = 12$
$3 \times 3^{2} = 3 \times 9 = 27$
$3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = 48$
$3 \times 5^{2} = 3 \times 25 = 75$
$3 \times 6^{2} = 3 \times 36 = 108$
શ્રેણીનું પછીનું પદ $n = 7$ માટે છે:
ખૂટતી સંખ્યા $= 3 \times 7^{2} = 3 \times 49 = 147$.

(B) દરેક પદ અગાઉના પદમાં $111$ ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.
$134 + 111 = 245$
$245 + 111 = 356$
$356 + 111 = 467$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા છે:
$467 + 111 = 578$

(D) આ શ્રેણીમાં તર્ક આ મુજબ છે: $\text{પદ}_{n+1} = \text{પદ}_n \times 2 + n$,જ્યાં $n$ એ $1$ થી શરૂ થતી વધતી જતી સંખ્યા છે.
પગલું $1$: $6 \times 2 + 1 = 13$
પગલું $2$: $13 \times 2 + 2 = 28$
પગલું $3$: $28 \times 2 + 3 = 59$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $59$ છે.