Percentage Questions in Gujarati

(B) $x \%$ ના $y + y \%$ ના $x = \left(\frac{x}{100} \times y\right) + \left(\frac{y}{100} \times x\right)$
$= \frac{xy}{100} + \frac{xy}{100}$
$= \frac{2xy}{100}$
$= 2 \%$ ના $xy$

(C) ટકાવારીને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,ટકાવારીના મૂલ્યને $100$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
$0.35 \% = \frac{0.35}{100} = 0.0035$.
તેથી,કોઈ સંખ્યાના $0.35 \%$ એ તે સંખ્યાને $0.0035$ વડે ગુણવા સમાન છે.

(B) આપેલ છે કે $x$ ના $8 \% = y$ ના $4 \%$.
આને $\frac{8}{100} \times x = \frac{4}{100} \times y$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા,આપણને $8x = 4y$ મળે છે.
$8$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{4y}{8} = \frac{y}{2}$ મળે છે.
હવે,આપણે $x$ ના $20 \%$ શોધવાના છે.
$x$ ના $20 \% = \frac{20}{100} \times x$.
$x = \frac{y}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{20}{100} \times \frac{y}{2} = \frac{10}{100} \times y$ મળે છે.
આમ,$x$ ના $20 \% = y$ ના $10 \%$ થાય.

(B) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $a$ છે.
આપેલ સમીકરણ છે: $\frac{x}{100} \times y + \frac{a}{100} \times x = \frac{x}{100} \times (x + y)$.
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા: $xy + ax = x(x + y)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $xy + ax = x^2 + xy$.
બંને બાજુથી $xy$ બાદ કરતા: $ax = x^2$.
$x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$): $a = x$.
તેથી,ખૂટતી ટકાવારી $x \%$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = y$ ના $125 \%$.
આને $x = \frac{125}{100} y$ તરીકે લખી શકાય.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x = \frac{5}{4} y$ મળે છે.
$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $\frac{4}{5}$ વડે ગુણીએ.
$y = \frac{4}{5} x$.
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં ફેરવતા,$\frac{4}{5} = 0.8$ થાય.
તેથી,$y = 0.8 x$.

(B) $25 \%$ ના $25 \%$ શોધવા માટે,આપણે ટકાવારીને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ:
$25 \% = \frac{25}{100} = 0.25$
હવે,બંને કિંમતોનો ગુણાકાર કરો:
$0.25 \times 0.25 = 0.0625$
વૈકલ્પિક રીતે,અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{25}{100} \times \frac{25}{100} = \frac{625}{10000} = 0.0625$

(C) $80$ કરતા $60 \%$ ઓછી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $80$ ના $60 \%$ ને $80$ માંથી બાદ કરીશું.
પગલું $1$: $80$ ના $60 \%$ ની ગણતરી કરો.
$80$ ના $60 \% = \frac{60}{100} \times 80 = 0.6 \times 80 = 48$.
પગલું $2$: આ કિંમતને $80$ માંથી બાદ કરો.
$80 - 48 = 32$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો કોઈ સંખ્યા $80$ કરતા $60 \%$ ઓછી હોય,તો તે $80$ ના $(100 \% - 60 \%) = 40 \%$ થાય.
$80$ ના $40 \% = \frac{40}{100} \times 80 = 0.4 \times 80 = 32$.

(B) $₹ 850$ ના $20 \%$ ના $30 \%$ ના $20 \%$ શોધવા માટે,આપણે ટકાવારીને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીશું:
$20 \% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
$30 \% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$20 \% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
હવે,આ અપૂર્ણાંકોનો આપેલી રકમ સાથે ગુણાકાર કરીએ:
$= \frac{20}{100} \times \frac{30}{100} \times \frac{20}{100} \times 850$
$= \frac{1}{5} \times \frac{3}{10} \times \frac{1}{5} \times 850$
$= \frac{3}{250} \times 850$
$= \frac{3 \times 85}{25} = \frac{3 \times 17}{5} = \frac{51}{5} = 10.20$
આમ,જવાબ $₹ 10.20$ છે.

(C) આ કિંમતોની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તે બધાને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$1$. $16 \frac{2}{3} \% = \frac{50}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$
$2$. $6 \frac{2}{3} \% = \frac{20}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$
$3$. $0.3 = 0.3000$
દશાંશ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.3000 > 0.1667 > 0.0667$.
તેથી,$0.3$ એ સૌથી મોટી કિંમત છે.

(A) સૌ પ્રથમ,દરેક ટકાવારી પદની ગણતરી કરો:
$40 \%$ ના $20 \% = \frac{40}{100} \times \frac{20}{100} = \frac{800}{10000} = \frac{8}{100} = 8 \%$
$30 \%$ ના $25 \% = \frac{30}{100} \times \frac{25}{100} = \frac{750}{10000} = \frac{7.5}{100} = 7.5 \%$
$50 \%$ ના $28 \% = \frac{50}{100} \times \frac{28}{100} = \frac{1400}{10000} = \frac{14}{100} = 14 \%$
હવે,આ કિંમતોનો સરવાળો કરો:
$8 \% + 7.5 \% + 14 \% = 29.5 \%$
તેથી,સાચો જવાબ $29.5 \%$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ ના $90 \% = B$ ના $30 \%$.
આને $\frac{90}{100} \times A = \frac{30}{100} \times B$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $90A = 30B$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $B = \frac{90}{30} A = 3A$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $B = A$ ના $x \%$,જેનો અર્થ છે કે $B = \frac{x}{100} \times A$.
$B$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $3A = \frac{x}{100} \times A$ મળે છે.
બંને બાજુ $A$ વડે ભાગતા ($A \neq 0$ ધારીને),આપણને $3 = \frac{x}{100}$ મળે છે.
તેથી,$x = 3 \times 100 = 300$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1$ મેટ્રિક ટન $= 1000$ $kg$.
વળી,$1$ ક્વિન્ટલ $= 100$ $kg$.
તેથી,$1$ ક્વિન્ટલ $25$ $kg = 100$ $kg + 25$ $kg = 125$ $kg$.
ટકાવારી શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ: $\frac{125 \text{ kg}}{1000 \text{ kg}} \times 100 \%$.
$= \frac{125}{10} \% = 12.5 \%$.
$12.5 \%$ ને $12 \frac{1}{2} \%$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ છે કે $x$ ના $12 \% = y$ ના $6 \%$.
આને $\frac{12}{100} x = \frac{6}{100} y$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $12x = 6y$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 2x$ અથવા $x = 0.5y$.
આપણે શોધવાનું છે કે $x$ ના $18 \%$ એ $y$ ના કેટલા ટકા થાય.
$x$ ના $18 \% = \frac{18}{100} x$.
આ પદમાં $x = 0.5y$ મૂકતા:
$\frac{18}{100} \times (0.5y) = \frac{9}{100} y$.
આમ,$x$ ના $18 \%$ એ $y$ ના $9 \%$ બરાબર છે.

(B) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $100$ છે.
પ્રથમ સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતાં $30 \%$ ઓછી હોવાથી,પ્રથમ સંખ્યા $= 100 - 30 = 70$ થાય.
બીજી સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતાં $37 \%$ ઓછી હોવાથી,બીજી સંખ્યા $= 100 - 37 = 63$ થાય.
આપણે શોધવાનું છે કે બીજી સંખ્યા પ્રથમ સંખ્યા કરતાં કેટલા ટકા ઓછી છે.
પ્રથમ અને બીજી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $= 70 - 63 = 7$ થાય.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $= \left( \frac{\text{તફાવત}}{\text{પ્રથમ સંખ્યા}} \times 100 \right) \% = \left( \frac{7}{70} \times 100 \right) \% = 10 \%$.

(A) ધારો કે બીજી સંખ્યા $100$ છે.
તો,પ્રથમ સંખ્યા $100 + 20 = 120$ થશે.
બંને સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત $120 - 100 = 20$ છે.
બીજી સંખ્યા પ્રથમ સંખ્યા કરતાં કેટલા ટકા ઓછી છે તે શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ સંખ્યાના સંદર્ભમાં ટકાવારી ઘટાડો શોધીએ છીએ:
જરૂરી ટકાવારી $= \left( \frac{\text{તફાવત}}{\text{પ્રથમ સંખ્યા}} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{20}{120} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{1}{6} \times 100 \right) \% = \frac{100}{6} \% = 16 \frac{2}{3} \%$.

(B) ધારો કે $B$ ની આવક $100$ છે.
$A$ ની આવક $B$ કરતા $25 \%$ ઓછી હોવાથી,$A$ ની આવક $= 100 - 25 = 75$ થાય.
હવે,આપણે શોધવાનું છે કે $B$ ની આવક $A$ કરતા કેટલા ટકા વધારે છે.
તફાવત $= 100 - 75 = 25$.
વધારે ટકાવારી $= (\text{તફાવત} / A\text{ ની આવક}) \times 100$.
વધારે ટકાવારી $= (25 / 75) \times 100 = (1 / 3) \times 100 = 33 \frac{1}{3} \%$.

(A) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $= 0.07x$ અને બીજી સંખ્યા $= 0.28x$ થાય.
આપણે શોધવાનું છે કે પ્રથમ સંખ્યા એ બીજી સંખ્યાના કેટલા ટકા છે.
જરૂરી ટકાવારી $= (\frac{\text{પ્રથમ સંખ્યા}}{\text{બીજી સંખ્યા}}) \times 100 \%$.
$= (\frac{0.07x}{0.28x}) \times 100 \%$.
$= (\frac{7}{28}) \times 100 \%$.
$= \frac{1}{4} \times 100 \% = 25 \%$.

(A) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $100$ છે.
પ્રથમ સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતા $60 \%$ વધારે હોવાથી,પ્રથમ સંખ્યા $= 100 + 60 = 160$ થાય.
બીજી સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતા $20 \%$ વધારે હોવાથી,બીજી સંખ્યા $= 100 + 20 = 120$ થાય.
આપણે બીજી સંખ્યાને પ્રથમ સંખ્યાની ટકાવારી તરીકે દર્શાવવાની છે.
જરૂરી ટકાવારી $= \left( \frac{\text{બીજી સંખ્યા}}{\text{પ્રથમ સંખ્યા}} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{120}{160} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{3}{4} \times 100 \right) \% = 75 \%$.

(A) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $100$ છે.
પ્રથમ સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતા $20 \%$ વધારે હોવાથી,પ્રથમ સંખ્યા $= 100 + 20 = 120$ થાય.
બીજી સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતા $10 \%$ વધારે હોવાથી,બીજી સંખ્યા $= 100 + 10 = 110$ થાય.
આપણે શોધવાનું છે કે પ્રથમ સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતા કેટલા ટકા વધારે છે.
તફાવત $= 120 - 110 = 10$.
વધારે ટકાવારી $= \left( \frac{\text{તફાવત}}{\text{બીજી સંખ્યા}} \times 100 \right) \%$.
વધારે ટકાવારી $= \left( \frac{10}{110} \times 100 \right) \% = \frac{100}{11} \% = 9 \frac{1}{11} \%$.
આમ,પ્રથમ સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતા $9 \frac{1}{11} \%$ વધારે છે.

(B) ધારો કે રસોઈના તેલની શરૂઆતની કિંમત $100$ એકમ છે અને શરૂઆતનો વપરાશ $100$ એકમ છે.
શરૂઆતનો ખર્ચ = $100 \times 100 = 10000$ એકમ.
$15 \%$ વધારા પછી નવી કિંમત = $115$ એકમ.
ખર્ચને $10000$ એકમ પર સ્થિર રાખવા માટે,ધારો કે નવો વપરાશ $x$ છે.
$115 \times x = 10000$
$x = \frac{10000}{115} = \frac{2000}{23} \approx 86.95$ એકમ.
વપરાશમાં ઘટાડો = $100 - 86.95 = 13.05$ એકમ.
ટકાવારી ઘટાડા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ઘટાડો} \% = \left( \frac{P}{100+P} \times 100 \right) \%$,જ્યાં $P = 15$.
$\text{ઘટાડો} \% = \left( \frac{15}{115} \times 100 \right) \% = \left( \frac{3}{23} \times 100 \right) \% = \frac{300}{23} \% = 13 \frac{1}{23} \%$.

(D) ધારો કે મૂળ સંખ્યા $100$ છે.
પગલું $1$: સંખ્યામાં $20 \%$ નો વધારો કરો.
નવી કિંમત $= 100 + (100 \text{ ના } 20 \%) = 100 + 20 = 120$.
પગલું $2$: નવી કિંમતમાં $20 \%$ નો ઘટાડો કરો.
અંતિમ કિંમત $= 120 - (120 \text{ ના } 20 \%) = 120 - 24 = 96$.
પગલું $3$: ચોખ્ખો ટકાવારી ફેરફાર શોધો.
ચોખ્ખો ફેરફાર $= \text{અંતિમ કિંમત} - \text{મૂળ કિંમત} = 96 - 100 = -4$.
ટકાવારી ફેરફાર $= \left( \frac{-4}{100} \right) \times 100 = -4 \%$.
ઋણ નિશાની $4 \%$ નો ઘટાડો સૂચવે છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતનું વેતન $100$ છે.
$50 \%$ ના ઘટાડા પછી,નવું વેતન $100 - (100 \text{ ના } 50 \%) = 100 - 50 = 50$ થાય છે.
હવે,ઘટાડેલા વેતનમાં $50 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ વેતન $50 + (50 \text{ ના } 50 \%) = 50 + 25 = 75$ થાય છે.
કુલ નુકસાન $100 - 75 = 25$ છે.
તેથી,ટકાવારી નુકસાન $\frac{25}{100} \times 100 = 25 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ચોખ્ખો ફેરફાર} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$,જ્યાં $x = -50$ અને $y = 50$.
$\text{ચોખ્ખો ફેરફાર} = -50 + 50 + \frac{(-50 \times 50)}{100} = 0 - 25 = -25 \%$.
ઋણ નિશાની $25 \%$ નું નુકસાન સૂચવે છે.

(B) ધારો કે શહેરની શરૂઆતની વસ્તી $100$ છે.
પ્રથમ વર્ષ પછી,વસ્તીમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી વસ્તી $100 - 20 = 80$ થાય છે.
બીજા વર્ષ પછી,બાકી રહેલી $80$ વસ્તીમાં $25 \%$ નો ઘટાડો થાય છે. ઘટાડો $\frac{25}{100} \times 80 = 20$ છે.
અંતિમ વસ્તી $80 - 20 = 60$ છે.
વસ્તીમાં કુલ ઘટાડો $100 - 60 = 40$ છે.
તેથી,ટકાવારી ઘટાડો $\frac{40}{100} \times 100 = 40 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમિક ટકાવારી ફેરફાર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Net } \% \text{ change} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$.
અહીં,$x = -20$ અને $y = -25$.
કુલ ફેરફાર $= -20 - 25 + \frac{(-20) \times (-25)}{100} = -45 + 5 = -40 \%$.
ઋણ નિશાની $40 \%$ નો ઘટાડો સૂચવે છે.

(B) ધારો કે બિલની રકમ $x$ છે.
$35 \%$ નું એક ડિસ્કાઉન્ટ એટલે ગ્રાહક $x$ ના $65 \%$ ચૂકવે છે,એટલે કે $0.65x$.
$20 \%$ અને $20 \%$ ના બે ક્રમિક ડિસ્કાઉન્ટ એ $D = \left(20 + 20 - \frac{20 \times 20}{100}\right) \% = (40 - 4) \% = 36 \%$ ના એક ડિસ્કાઉન્ટ જેટલા થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગ્રાહક $x$ ના $(100 - 36) \% = 64 \%$ ચૂકવે છે,એટલે કે $0.64x$.
બંને ડિસ્કાઉન્ટની રકમ વચ્ચેનો તફાવત ₹ $22$ આપેલ છે.
તેથી,$x$ ના $36 \% - x$ ના $35 \% = 22$.
$x$ ના $1 \% = 22$.
$x = 22 \times 100 = 2200$.
આમ,બિલની રકમ ₹ $2200$ છે.

(B) ધારો કે વસ્તુની મૂળ કિંમત $100$ છે.
દુકાનદાર કિંમત $25 \%$ વધારે અંકિત કરે છે,તેથી છાપેલી કિંમત $100 + 25 = 125$ થાય છે.
તે છાપેલી કિંમત પર $12 \%$ વળતર આપે છે.
વળતરની રકમ $= 12 \% \text{ of } 125 = \frac{12}{100} \times 125 = 15$.
વેચાણ કિંમત $= \text{છાપેલી કિંમત} - \text{વળતર} = 125 - 15 = 110$.
વેચાણ કિંમત $(110)$ એ મૂળ કિંમત $(100)$ કરતા વધારે હોવાથી,નફો થાય છે.
નફાની ટકાવારી $= \frac{\text{વેચાણ કિંમત} - \text{મૂળ કિંમત}}{\text{મૂળ કિંમત}} \times 100 = \frac{110 - 100}{100} \times 100 = 10 \%$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ચોખ્ખો ફેરફાર} = x + y + \frac{xy}{100}$,જ્યાં $x = 25$ અને $y = -12$.
ચોખ્ખો ફેરફાર $= 25 - 12 + \frac{25 \times (-12)}{100} = 13 - 3 = 10 \%$.
પરિણામ ધન હોવાથી,આ $10 \%$ નફો છે.

(A) $x \%$ અને $y \%$ ના બે ક્રમિક વળતર માટે સમતુલ્ય વળતર $\left(x + y - \frac{xy}{100}\right) \%$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ દુકાનદાર માટે,ક્રમિક વળતર $20 \%$ અને $10 \%$ છે.
સમતુલ્ય વળતર $= 20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} = 30 - 2 = 28 \%$.
વળતરની રકમ $= ₹ 1000$ ના $28 \% = \frac{28}{100} \times 1000 = ₹ 280$.
બીજા દુકાનદાર માટે,ક્રમિક વળતર $15 \%$ અને $15 \%$ છે.
સમતુલ્ય વળતર $= 15 + 15 - \frac{15 \times 15}{100} = 30 - 2.25 = 27.75 \%$.
વળતરની રકમ $= ₹ 1000$ ના $27.75 \% = \frac{27.75}{100} \times 1000 = ₹ 277.50$.
બંને દુકાનદારો દ્વારા આપવામાં આવેલા વળતર વચ્ચેનો તફાવત $= ₹ 280 - ₹ 277.50 = ₹ 2.50$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ટેક્સ $T$ છે અને પ્રારંભિક વપરાશ $C$ છે. પ્રારંભિક આવક $R_1 = T \times C$ છે.
ફેરફારો પછી:
નવો ટેક્સ $T' = T - 10\% \text{ of } T = 0.9T$.
નવો વપરાશ $C' = C + 10\% \text{ of } C = 1.1C$.
નવી આવક $R_2 = T' \times C' = (0.9T) \times (1.1C) = 0.99 \times (T \times C) = 0.99R_1$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
ચોખ્ખો $\% \text{ ફેરફાર} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$,જ્યાં $x = -10$ અને $y = 10$ છે.
ચોખ્ખો $\% \text{ ફેરફાર} = \left(-10 + 10 + \frac{(-10)(10)}{100}\right) \% = (0 - 1) \% = -1 \%$.
તેથી,આવકમાં $1 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(A) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S$ શોધવાનું સૂત્ર $S = 4 \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં $4$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(S \propto r^2)$.
જ્યારે કોઈ રાશિમાં $x \%$ અને ત્યારબાદ $y \%$ નો ફેરફાર થાય,ત્યારે કુલ ટકાવારી ફેરફાર $\left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$ ના સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં ત્રિજ્યામાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $x = 10$ અને $y = 10$ લેતા:
કુલ ટકાવારી ફેરફાર $= \left(10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100}\right) \% = (20 + 1) \% = 21 \%$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{આવક} = \text{કિંમત} \times \text{વેચાણ}$.
ધારો કે શરૂઆતની કિંમત $100$ છે અને શરૂઆતનું વેચાણ $100$ છે. શરૂઆતની કુલ આવક $= 100 \times 100 = 10000$.
નવી કિંમત $= 100 - 15 = 85$.
નવું વેચાણ $= 100 + 35 = 135$.
નવી આવક $= 85 \times 135 = 11475$.
આવકમાં ફેરફાર $= 11475 - 10000 = 1475$.
ટકાવારી ફેરફાર $= \frac{1475}{10000} \times 100 = 14.75 \% = 14 \frac{3}{4} \%$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$.
અહીં,$x = -15$ અને $y = 35$.
ચોખ્ખો ફેરફાર $= -15 + 35 + \frac{(-15 \times 35)}{100} = 20 - 5.25 = 14.75 \% = 14 \frac{3}{4} \%$ વધારો.

(B) ધારો કે ચોરસની મૂળ બાજુ $s$ છે.
મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = s^2$.
જો બાજુમાં $30 \%$ નો વધારો થાય,તો નવી બાજુ $s' = s + 0.30s = 1.3s$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (1.3s)^2 = 1.69s^2$.
ક્ષેત્રફળમાં વધારો $= A_2 - A_1 = 1.69s^2 - s^2 = 0.69s^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ટકાવારી વધારો $= \left( \frac{0.69s^2}{s^2} \right) \times 100 = 69 \%$.
વૈકલ્પિક રીતે,બે ક્રમિક ફેરફારો માટે ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x + y + \frac{xy}{100}$,જ્યાં $x = 30$ અને $y = 30$.
ચોખ્ખો ફેરફાર $= 30 + 30 + \frac{30 \times 30}{100} = 60 + 9 = 69 \%.$

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $s$ છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2$ છે.
જ્યારે લંબાઈમાં $30 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L = s(1 + 0.30) = 1.3s$ થાય.
જ્યારે પહોળાઈમાં $20 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી પહોળાઈ $B = s(1 + 0.20) = 1.2s$ થાય.
બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $L \times B = (1.3s) \times (1.2s) = 1.56s^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલો વધારો $1.56s^2 - s^2 = 0.56s^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલ ટકાવારી વધારો $\frac{0.56s^2}{s^2} \times 100 = 56 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Net } \% = x + y + \frac{xy}{100} = 30 + 20 + \frac{30 \times 20}{100} = 50 + 6 = 56 \%$.

(A) ધારો કે લંબચોરસની મૂળ બાજુઓ $L$ અને $W$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = L \times W$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી બાજુઓ $L' = L(1 + 0.10) = 1.1L$ અને $W' = W(1 - 0.20) = 0.8W$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = L' \times W' = (1.1L) \times (0.8W) = 0.88 \times (L \times W) = 0.88A$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $A' - A = 0.88A - A = -0.12A$ છે.
ભૂલની ટકાવારી $\left( \frac{-0.12A}{A} \right) \times 100 = -12 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમિક ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Net Change} = \left( x + y + \frac{xy}{100} \right) \%$.
અહીં,$x = 10$ અને $y = -20$. આ કિંમતો મૂકતા: $\text{Net Change} = \left( 10 - 20 + \frac{10 \times (-20)}{100} \right) \% = (-10 - 2) \% = -12 \%$.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. આમ,ભૂલ $12 \%$ ઘટાડો છે.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $B$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = L \times B$ છે.
વધારા પછી,નવી લંબાઈ $L' = L + 0.10L = 1.10L$ અને નવી પહોળાઈ $B' = B + 0.20B = 1.20B$ થાય છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = L' \times B' = (1.10L) \times (1.20B) = 1.32 \times (L \times B) = 1.32A$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{A' - A}{A} \times 100 = \frac{1.32A - A}{A} \times 100 = 0.32 \times 100 = 32 \%$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બે ક્રમિક ફેરફારો $x$ અને $y$ માટે ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
ચોખ્ખો $\%$ ફેરફાર $= (x + y + \frac{xy}{100}) \% = (10 + 20 + \frac{10 \times 20}{100}) \% = (30 + 2) \% = 32 \%$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે: $\text{ટેક્સ} \times \text{વપરાશ} = \text{ખર્ચ}$.
ધારો કે શરૂઆતનો ટેક્સ $T$ છે અને શરૂઆતનો વપરાશ $C$ છે. શરૂઆતનો ખર્ચ $= T \times C$.
નવો ટેક્સ $= T + 20\% \text{ of } T = 1.2T$.
નવો વપરાશ $= C - 20\% \text{ of } C = 0.8C$.
નવો ખર્ચ $= 1.2T \times 0.8C = 0.96(T \times C)$.
ખર્ચમાં ફેરફાર $= 0.96(T \times C) - (T \times C) = -0.04(T \times C)$.
ટકાવારીમાં ફેરફાર $= -0.04 \times 100 = -4\%$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોખ્ખા ટકાવારી ફેરફારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$.
અહીં,$x = 20$ અને $y = -20$.
ચોખ્ખો ફેરફાર $= \left(20 - 20 + \frac{20 \times (-20)}{100}\right) \% = (0 - 4) \% = -4 \%$.
તેથી,ખર્ચમાં $4 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(A) ધારો કે મૂળ કિંમત $P$ છે અને વેચાયેલા એકમોની મૂળ સંખ્યા $N$ છે. મૂળ આવક $R_1 = P \times N$ છે.
કિંમતમાં $30 \%$ ઘટાડો થયા પછી,નવી કિંમત $P' = P - 0.30P = 0.70P$ થાય છે.
વેચાણમાં $20 \%$ વધારો થયા પછી,વેચાયેલા એકમોની નવી સંખ્યા $N' = N + 0.20N = 1.20N$ થાય છે.
નવી આવક $R_2 = P' \times N' = (0.70P) \times (1.20N) = 0.84 \times (P \times N) = 0.84R_1$ થાય છે.
આવકમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે: $\text{Net } \% \text{ change} = (x + y + \frac{xy}{100}) \%$,જ્યાં $x = -30$ અને $y = +20$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(-30 + 20 + \frac{-30 \times 20}{100}) \% = (-10 - 6) \% = -16 \%$.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,આવકમાં $16 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(A) ધારો કે $3$ વર્ષ પહેલાંની વસ્તી $P_0$ હતી.
આપેલ છે કે,વર્તમાન વસ્તી $P = 90.51$ લાખ,દર $r = 10 \%$,અને સમય $n = 3$ વર્ષ.
વસ્તી વૃદ્ધિ માટેનું સૂત્ર $P = P_0 \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $90.51 = P_0 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^3$.
$90.51 = P_0 \left(1.1\right)^3$.
$90.51 = P_0 \times 1.331$.
$P_0 = \frac{90.51}{1.331} = 68$.
તેથી,$3$ વર્ષ પહેલાં વસ્તી $68$ લાખ હતી.

(B) ધારો કે મશીનની ખરીદ કિંમત $X$ છે.
અહીં ઘસારાનો દર $r = 10 \%$ પ્રતિ વર્ષ અને સમયગાળો $n = 3$ વર્ષ છે.
વર્તમાન કિંમત $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = X \times (1 - \frac{r}{100})^n$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $8748 = X \times (1 - \frac{10}{100})^3$.
$8748 = X \times (0.9)^3$.
$8748 = X \times 0.729$.
$X = \frac{8748}{0.729} = 12000$.
તેથી,મશીનની ખરીદ કિંમત $₹ 12000$ હતી.

(D) ધારો કે વર્ષ $1997$ માં આવક $X$ હતી.
આપેલ છે કે આવકમાં દર વર્ષે $20 \%$ નો વધારો થાય છે.
વર્ષ $1999$ માં આવક $= X \times (1 + \frac{20}{100})^2$.
$42664000 = X \times (1.2)^2$.
$42664000 = X \times 1.44$.
$X = \frac{42664000}{1.44}$.
$X = 29627777.78$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વસ્તી $P = 32000$,વધારાનો દર $r = 15\%$,અને સમય $n = 2$ વર્ષ.
વસ્તી વૃદ્ધિ માટેનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A = 32000 \times (1 + \frac{15}{100})^2$
$A = 32000 \times (1.15)^2$
$A = 32000 \times 1.3225$
$A = 42320$.
આમ,$2$ વર્ષ પછી વસ્તી $42320$ થશે.

(B) મશીનની શરૂઆતની કિંમત,$P = 6250$.
પ્રથમ વર્ષ માટે ઘસારાનો દર,$r_1 = 10 \%$.
બીજા વર્ષ માટે ઘસારાનો દર,$r_2 = 20 \%$.
ત્રીજા વર્ષ માટે ઘસારાનો દર,$r_3 = 30 \%$.
$3$ વર્ષ પછી મશીનની કિંમત નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V = P \times (1 - \frac{r_1}{100}) \times (1 - \frac{r_2}{100}) \times (1 - \frac{r_3}{100})$
$V = 6250 \times (1 - \frac{10}{100}) \times (1 - \frac{20}{100}) \times (1 - \frac{30}{100})$
$V = 6250 \times (\frac{90}{100}) \times (\frac{80}{100}) \times (\frac{70}{100})$
$V = 6250 \times 0.9 \times 0.8 \times 0.7$
$V = 6250 \times 0.504$
$V = 3150$.
તેથી,$3$ વર્ષ પછી મશીનની કિંમત $Rs$ $3150$ થશે.

(C) ધારો કે $2$ વર્ષ પહેલાંની વસ્તી $P$ છે.
આપેલ છે કે વસ્તી પ્રથમ વર્ષમાં $12 \%$ વધે છે અને બીજા વર્ષમાં $10 \%$ ઘટે છે.
વર્તમાન વસ્તી $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A = P \times (1 + \frac{12}{100}) \times (1 - \frac{10}{100})$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$50400 = P \times (1.12) \times (0.90)$
$50400 = P \times (1.12 \times 0.90)$
$50400 = P \times 1.008$
$P = \frac{50400}{1.008}$
$P = 50000$
તેથી,$2$ વર્ષ પહેલાં વસ્તી $50000$ હતી.

(C) ધારો કે કુલ પોકેટ મની $₹ A$ છે.
તેના $20 \%$ ગુમાવ્યા પછી,બાકી રહેલી રકમ $A \times (1 - 0.20) = 0.80A$ છે.
ત્યારબાદ તે આ બાકી રકમના $25 \%$ ખર્ચે છે. ખર્ચ્યા પછી બાકી રહેલી રકમ $0.80A \times (1 - 0.25) = 0.80A \times 0.75$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતિમ રકમ $₹ 480$ છે.
તેથી,$0.80A \times 0.75 = 480$.
$0.60A = 480$.
$A = \frac{480}{0.60} = 800$.
તેથી,કુલ પોકેટ મની $₹ 800$ હતા.

(B) ધારો કે સૈન્યની મૂળ સંખ્યા $A$ છે.
યુદ્ધમાં $10 \%$ ગુમાવ્યા પછી,બાકી રહેલી સંખ્યા $A \times (1 - 0.10) = 0.9A$ છે.
રોગને કારણે બાકીનામાંથી $10 \%$ ગુમાવ્યા પછી,સંખ્યા $0.9A \times (1 - 0.10) = 0.9A \times 0.9 = 0.81A$ થાય છે.
બાકીનામાંથી $10 \%$ ઘાયલ થયા પછી,અંતિમ સક્રિય સંખ્યા $0.81A \times (1 - 0.10) = 0.81A \times 0.9 = 0.729A$ થાય છે.
આપેલ છે કે અંતિમ સંખ્યા $729000$ છે,તેથી:
$0.729A = 729000$
$A = \frac{729000}{0.729}$
$A = 1000000$
આમ,મૂળ સંખ્યા $1000000$ સૈનિકો હતી.

(A) ધારો કે વધારા પહેલાનું દૈનિક વેતન $₹ A$ હતું.
પ્રશ્ન મુજબ,વેતનમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું વેતન $A + 0.25A = 1.25A$ થાય.
આપેલ છે કે નવું વેતન $₹ 25$ છે,તેથી આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$1.25A = 25$
$A$ માટે ઉકેલતા:
$A = \frac{25}{1.25}$
$A = \frac{2500}{125}$
$A = 20$
તેથી,વધારા પહેલાનું દૈનિક વેતન $₹ 20$ હતું.

(B) ધારો કે પરીક્ષાના મહત્તમ ગુણ $M$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાસ થવા માટેના ગુણ $M$ ના $15\%$ છે.
વિદ્યાર્થીએ $80$ ગુણ મેળવ્યા અને તે $70$ ગુણથી નાપાસ થયો,જેનો અર્થ છે કે પાસ થવા માટેના ગુણ $(80 + 70) = 150$ છે.
તેથી,આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ: $0.15 \times M = 150$.
$M$ માટે ઉકેલતા: $M = \frac{150}{0.15} = \frac{15000}{15} = 1000$.
આમ,પરીક્ષા માટેના મહત્તમ ગુણ $1000$ છે.

(B) ધારો કે $H$ એ ઇતિહાસમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $G$ એ ભૂગોળમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(H) = 30 \%$,$n(G) = 35 \%$,અને $n(H \cap G) = 27 \%$.
ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n(H \cup G) = n(H) + n(G) - n(H \cap G)$
$n(H \cup G) = 30 \% + 35 \% - 27 \% = 38 \%$.
પરીક્ષામાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી = $100 \% - n(H \cup G) = 100 \% - 38 \% = 62 \%$.
ધારો કે પરીક્ષામાં બેઠેલા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે કે $x$ ના $62 \% = 248$.
$\frac{62}{100} \times x = 248$
$x = \frac{248 \times 100}{62} = 4 \times 100 = 400$.
તેથી,પરીક્ષામાં બેઠેલા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $400$ છે.

(C) ધારો કે માસિક ભાડું $₹x$ છે.
વાર્ષિક ભાડું $12x$ થાય.
વર્ષ દીઠ જાળવણી અને સમારકામ = $12x$ ના $12.5 \% = 0.125 \times 12x = 1.5x$.
વાર્ષિક ટેક્સ = $₹325$.
ચોખ્ખી વાર્ષિક આવક = (કુલ વાર્ષિક ભાડું) - (જાળવણી અને સમારકામ) - (ટેક્સ) = $12x - 1.5x - 325 = 10.5x - 325$.
રોકાણ પર વાર્ષિક વળતર = $₹100000$ ના $5.5 \% = 0.055 \times 100000 = ₹5500$.
ચોખ્ખી વાર્ષિક આવકને વાર્ષિક વળતર સાથે સરખાવતા:
$10.5x - 325 = 5500$
$10.5x = 5825$
$x = \frac{5825}{10.5} \approx ₹554.76$.
આમ,માસિક ભાડું આશરે $₹554.76$ છે.

(B) કુલ ઉમેદવારો $= 2000$.
છોકરાઓની સંખ્યા $= 900$.
છોકરીઓની સંખ્યા $= 2000 - 900 = 1100$.
પાસ થયેલા છોકરાઓની સંખ્યા $= 900$ ના $32 \% = \frac{32}{100} \times 900 = 288$.
પાસ થયેલી છોકરીઓની સંખ્યા $= 1100$ ના $38 \% = \frac{38}{100} \times 1100 = 418$.
પાસ થયેલા કુલ ઉમેદવારો $= 288 + 418 = 706$.
નાપાસ થયેલા કુલ ઉમેદવારો $= 2000 - 706 = 1294$.
નાપાસ થયેલા ઉમેદવારોની ટકાવારી $= \left( \frac{1294}{2000} \times 100 \right) \% = \frac{1294}{20} \% = 64.7 \%$.

(B) ધારો કે તેનો પગાર $₹ x$ છે.
ઘરના ભાડા માટે $10\%$ કાપ્યા પછી,બાકી રહેલી રકમ $x \times (1 - 0.10) = 0.90x$ છે.
તે બાકી રહેલી રકમના $15\%$ શિક્ષણ પાછળ ખર્ચે છે,તેથી બાકી રહેલી રકમ $0.90x \times (1 - 0.15) = 0.90x \times 0.85 = 0.765x$ છે.
તે આ બાકી રકમના $10\%$ કપડાં પાછળ ખર્ચે છે,તેથી અંતે બાકી રહેલી રકમ $0.765x \times (1 - 0.10) = 0.765x \times 0.90 = 0.6885x$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ બાકી રકમ $₹ 1377$ છે,તેથી:
$0.6885x = 1377$
$x = \frac{1377}{0.6885}$
$x = 2000$
તેથી,તેનો પગાર $₹ 2000$ છે.

(A) ધારો કે સોનાની શરૂઆતની કિંમત $100$ છે અને શરૂઆતની માત્રા $100$ એકમ છે.
શરૂઆતનો ખર્ચ $= 100 \times 100 = 10000$.
સોનાની નવી કિંમત $= 100 + 30 = 130$.
ધારો કે નવી માત્રા $x$ એકમ છે.
ખર્ચ સમાન રહેતો હોવાથી,$130 \times x = 10000$.
$x = \frac{10000}{130} = \frac{1000}{13} = 76 \frac{12}{13}$ એકમ.
માત્રામાં ઘટાડો $= 100 - 76 \frac{12}{13} = 23 \frac{1}{13} \%$.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{ઘટાડો} = \frac{\text{ટકાવારી વધારો}}{100 + \text{ટકાવારી વધારો}} \times 100 \%$.
$\text{ઘટાડો} = \frac{30}{100 + 30} \times 100 \% = \frac{30}{130} \times 100 \% = \frac{300}{13} \% = 23 \frac{1}{13} \%$.