Number Series Questions in Hindi

(D) पहली पंक्ति में तर्क इस प्रकार है:
$1 \times 8 + 1 = 9$
$9 \times 7 + 2 = 65$
$65 \times 6 + 3 = 393$
उसी तर्क को दूसरी पंक्ति में $2$ से शुरू करते हुए लागू करने पर:
$(a) = 2 \times 8 + 1 = 17$
$(b) = 17 \times 7 + 2 = 119 + 2 = 121$
$(c) = 121 \times 6 + 3 = 726 + 3 = 729$

(A) पहली पंक्ति के लिए पैटर्न इस प्रकार है: $8 \times 1 = 8$,$8 \times 1.5 = 12$,$12 \times 2 = 24$। गुणक हर बार $0.5$ से बढ़ता है।
इसी तर्क का पालन करते हुए दूसरी पंक्ति के लिए $36$ से शुरुआत करते हैं:
$(a) = 36 \times 1 = 36$
$(b) = 36 \times 1.5 = 54$
$(c) = 54 \times 2 = 108$
$(d) = 108 \times 2.5 = 270$
$(e) = 270 \times 3 = 810$
अतः,$(e)$ के स्थान पर $810$ संख्या आएगी।

(C) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है:
$424 \div 2 - 4 = 212 - 4 = 208$
$208 \div 2 - 4 = 104 - 4 = 100$
$100 \div 2 - 4 = 50 - 4 = 46$
उसी पैटर्न को दूसरी पंक्ति में लागू करने पर:
$(a) = 888 \div 2 - 4 = 444 - 4 = 440$
$(b) = 440 \div 2 - 4 = 220 - 4 = 216$
अतः,$(b)$ के स्थान पर $216$ संख्या आएगी।

(D) पहली पंक्ति में तर्क इस प्रकार है:
$4 \times 1 + 1 = 5$
$5 \times 1.5 + 2.25 = 9.75$
$9.75 \times 2 + 4 = 23.5$
उसी तर्क का पालन करते हुए दूसरी पंक्ति के लिए,जो $7$ से शुरू होती है:
$(a) = 7 \times 1 + 1 = 8$
$(b) = 8 \times 1.5 + 2.25 = 14.25$
$(c) = 14.25 \times 2 + 4 = 32.5$
$(d) = 32.5 \times 2.5 + 6.25 = 81.25 + 6.25 = 87.5$

(B) पहली पंक्ति में तर्क इस प्रकार है: $5 + 17^2 = 5 + 289 = 294$,$294 - 15^2 = 294 - 225 = 69$,$69 + 13^2 = 69 + 169 = 238$।
इसी तर्क का पालन करते हुए दूसरी पंक्ति के लिए,जो $13$ से शुरू होती है:
$(a) = 13 + 17^2 = 13 + 289 = 302$
$(b) = 302 - 15^2 = 302 - 225 = 77$
$(c) = 77 + 13^2 = 77 + 169 = 246$
$(d) = 246 - 11^2 = 246 - 121 = 125$
$(e) = 125 + 9^2 = 125 + 81 = 206$
अतः,$(e)$ के स्थान पर $206$ आएगा।

(A) पहली पंक्ति में पैटर्न क्रमिक विषम संख्याओं के वर्गों का योग है: $15 + 1^2 = 16$,$16 + 3^2 = 25$,$25 + 5^2 = 50$. इस तर्क का पालन करते हुए,अगले पद $50 + 7^2 = 99$ और $99 + 9^2 = 180$ होंगे।
इसी तर्क को $189$ से शुरू होने वाली दूसरी पंक्ति में लागू करने पर:
$(a) = 189 + 1^2 = 189 + 1 = 190$
$(b) = 190 + 3^2 = 190 + 9 = 199$
$(c) = 199 + 5^2 = 199 + 25 = 224$
$(d) = 224 + 7^2 = 224 + 49 = 273$
$(e) = 273 + 9^2 = 273 + 81 = 354$
अतः,$(e)$ के स्थान पर $354$ संख्या आएगी।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है: $\times 0.5 + 0.5, \times 1 + 1, \times 1.5 + 1.5, \times 2 + 2, \dots$
चरण $1$: $(a) = 40 \times 0.5 + 0.5 = 20 + 0.5 = 20.5$
चरण $2$: $(b) = 20.5 \times 1 + 1 = 20.5 + 1 = 21.5$
चरण $3$: $(c) = 21.5 \times 1.5 + 1.5 = 32.25 + 1.5 = 33.75$
अतः,$(c)$ के स्थान पर $33.75$ संख्या आएगी।

(C) पहली पंक्ति में दी गई श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$9 \times 1 + 1 = 10$
$10 \times 2 + 2 = 22$
$22 \times 3 + 3 = 69$
इसी पैटर्न का पालन करते हुए दूसरी पंक्ति के लिए,जहाँ शुरुआत $5$ से होती है:
$(a) = 5 \times 1 + 1 = 6$
$(b) = 6 \times 2 + 2 = 14$
अतः,$(b)$ के स्थान पर $14$ आएगा।

(A) पहली पंक्ति में दिए गए पैटर्न का अवलोकन करें:
$2 \times 2 + 6 = 10$
$10 \times 2 + 7 = 27$
$27 \times 2 + 6 = 60$
इसी तर्क को दूसरी पंक्ति पर लागू करने पर:
$(a) = 5 \times 2 + 6 = 16$
$(b) = 16 \times 2 + 7 = 39$
अतः,$(b)$ के स्थान पर $39$ संख्या आएगी।

(D) दी गई श्रृंखला $5, 149, 49, 113, 146, \dots$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$(a) = 146 + 12^2 = 146 + 144 = 290$
$(b) = 290 - 10^2 = 290 - 100 = 190$
$(c) = 190 + 8^2 = 190 + 64 = 254$
$(d) = 254 - 6^2 = 254 - 36 = 218$
अतः,$(d)$ के स्थान पर आने वाली संख्या $218$ है।

(D) पहली पंक्ति में पैटर्न का अवलोकन करें: $6 \div 2 = 3.0$,$3.0 \times 1.5 = 4.5$,$4.5 \div 2 = 2.25$। पैटर्न $\div 2, \times 1.5, \div 2, \times 1.5, \dots$ है।
उसी पैटर्न को दूसरी पंक्ति में $40$ से शुरू करते हुए लागू करने पर:
$(a) = 40 \div 2 = 20$
$(b) = 20 \times 1.5 = 30$
$(c) = 30 \div 2 = 15$
$(d) = 15 \times 1.5 = 22.5$
$(e) = 22.5 \div 2 = 11.25$
यहाँ दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि श्रृंखला में कोई त्रुटि है,तो $15$ एक संभावित उत्तर हो सकता है।

(D) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है:
$5 \times 1 + 4 = 9$
$9 \times 2 + 8 = 26$
$26 \times 3 + 12 = 90$
उसी तर्क का पालन करते हुए दूसरी पंक्ति के लिए:
$(a) = 13 \times 1 + 4 = 17$
$(b) = 17 \times 2 + 8 = 42$
$(c) = 42 \times 3 + 12 = 138$
$(d) = 138 \times 4 + 16 = 568$
$(e) = 568 \times 5 + 20 = 2860$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2860$ है।

(D) ऊपरी पंक्ति में तर्क इस प्रकार है: $4 \times 2 + 1 = 9$,$9 \times 3 - 2 = 25$,$25 \times 4 + 3 = 103$.
उसी तर्क का पालन करते हुए निचली पंक्ति में $3$ से शुरू करने पर:
$(a) = 3 \times 2 + 1 = 7$
$(b) = 7 \times 3 - 2 = 19$
$(c) = 19 \times 4 + 3 = 79$
अतः,$(c)$ के स्थान पर $79$ आएगा।

(C) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है:
$6 \times 2 - 2 = 10$
$10 \times 3 + 2 = 32$
$32 \times 4 - 2 = 126$
उसी तर्क का पालन करते हुए दूसरी पंक्ति के लिए,जो $2$ से शुरू होती है:
$2 \times 2 - 2 = 2$
अतः,$(a)$ के स्थान पर आने वाली संख्या $2$ है.

(B) पहली पंक्ति में तर्क है: $1260 \div 2 - 2 = 628$,$628 \div 2 - 2 = 312$,$312 \div 2 - 2 = 154$।
इसी तर्क को दूसरी पंक्ति में लागू करने पर:
$(a) = 788 \div 2 - 2 = 394 - 2 = 392$।
$(b) = 392 \div 2 - 2 = 196 - 2 = 194$।
$(c) = 194 \div 2 - 2 = 97 - 2 = 95$।
$(d) = 95 \div 2 - 2 = 47.5 - 2 = 45.5$।

(B) श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$8 - 5 = 3$
$12 - 8 = 4$
$17 - 12 = 5$
$23 - 17 = 6$
अंतर हर बार $1$ से बढ़ रहा है $(3, 4, 5, 6, ...)$।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $7$ होना चाहिए।
इसलिए,$? - 23 = 7$,जिससे $? = 23 + 7 = 30$ प्राप्त होता है।
सत्यापन के लिए,अगला अंतर $8$ होना चाहिए: $38 - 30 = 8$,जो पैटर्न से मेल खाता है।
अतः,लुप्त संख्या $30$ है।

(A) इस श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न $x_{n+1} = 2 \times x_n + n$ है,जहाँ $n$ $1$ से शुरू होने वाला पद क्रमांक है।
$9 = 2 \times 4 + 1$
$20 = 2 \times 9 + 2$
$43 = 2 \times 20 + 3$
$90 = 2 \times 43 + 4$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद है:
$? = 2 \times 90 + 5 = 180 + 5 = 185$

(D) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है।
पहली वैकल्पिक श्रृंखला $1, 4, 9, 16, \dots$ है,जो वर्गों के पैटर्न का पालन करती है: $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, \dots$
दूसरी वैकल्पिक श्रृंखला $1, 8, 27, ?$ है,जो घनों के पैटर्न का पालन करती है: $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$।
अतः,लुप्त पद $4^{3} = 64$ है।

(B) यह श्रृंखला तीन-तीन संख्याओं के समूह (triplets) के पैटर्न का पालन करती है,जिसमें पहली और तीसरी संख्या का गुणनफल दूसरी संख्या के बराबर होता है।
चरण $1$: पहले समूह $(2, 6, 3)$ के लिए,$2 \times 3 = 6$ होता है।
चरण $2$: दूसरे समूह $(4, 20, 5)$ के लिए,$4 \times 5 = 20$ होता है।
चरण $3$: तीसरे समूह $(6, ?, 7)$ के लिए,उसी तर्क के अनुसार: $6 \times 7 = 42$ होता है।
अतः,लुप्त संख्या $42$ है।

(B) अनुक्रम $1, 5, 11, 19, 29, ?$ में अगला पद ज्ञात करने के लिए,हम क्रमिक पदों के बीच के अंतर को देखते हैं:
$5 - 1 = 4$
$11 - 5 = 6$
$19 - 11 = 8$
$29 - 19 = 10$
यहाँ अंतर $4, 6, 8, 10$ है,जो $2$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाता है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $10 + 2 = 12$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $29 + 12 = 41$ है।

(C) माना कि दी गई श्रृंखला $3, 6, 21, 28, 55, 66, x, 120$ है।
श्रृंखला को दो वैकल्पिक उप-श्रृंखलाओं में विभाजित करके पैटर्न का अवलोकन करें:
उप-श्रृंखला $1$ (विषम स्थान): $3, 21, 55, x$
अंतर: $21-3 = 18$,$55-21 = 34$,$x-55 = ?$
उप-श्रृंखला $2$ (सम स्थान): $6, 28, 66, 120$
अंतर: $28-6 = 22$,$66-28 = 38$,$120-66 = 54$
दूसरी उप-श्रृंखला के अंतरों का विश्लेषण करने पर: $22, 38, 54$। ये $16$ के सार्व अंतर के साथ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
पहली उप-श्रृंखला के अंतरों का विश्लेषण करने पर: $18, 34, ?$। ये भी $16$ के सार्व अंतर के साथ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,पहली उप-श्रृंखला में अगला अंतर $34 + 16 = 50$ होगा।
अतः,$x = 55 + 50 = 105$।

(D) क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$13 - 5 = 8$
$25 - 13 = 12$
$41 - 25 = 16$
अंतर $8, 12, 16, \dots$ हैं,जो $4$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $16 + 4 = 20$ होना चाहिए।
इसलिए,लुप्त पद $41 + 20 = 61$ है।
सत्यापित करने के लिए,अगला अंतर $20 + 4 = 24$ होना चाहिए,और $61 + 24 = 85$,जो श्रृंखला के अगले पद से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) यह श्रृंखला पिछले पद में क्रमिक वर्गों को जोड़ने के पैटर्न का पालन करती है:
$5 = 4 + 1^2$
$9 = 5 + 2^2$
$18 = 9 + 3^2$
$34 = 18 + 4^2$
इस तर्क के अनुसार,अगला पद है:
$? = 34 + 5^2 = 34 + 25 = 59$

(D) दी गई श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है:
$1799 - 899 = 900$
$899 - 449 = 450$,जो $\frac{1}{2} \times 900$ है।
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला अंतर $\frac{1}{2} \times 450 = 225$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $449 - 225 = 224$ है।

(A) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का मिश्रण है।
श्रृंखला $1$ (विषम स्थानों पर: $1st, 3rd, 5th, 7th, 9th, 11th$): $2, 2, 4, 6, 8, 11$
श्रृंखला $2$ (सम स्थानों पर: $2nd, 4th, 6th, 8th, 10th, 12th$): $1, 4, 5, 8, 10, ?$
सम स्थानों वाली श्रृंखला का पैटर्न देखने पर:
$1 (+3) = 4$
$4 (+1) = 5$
$5 (+3) = 8$
$8 (+2) = 10$
$10 (+3) = 13$
अतः,अगला पद $13$ है।

(C) क्रमागत पदों के बीच का अंतर इस प्रकार है:
$11 - 5 = 6$
$19 - 11 = 8$
$29 - 19 = 10$
यह सम संख्याओं के बढ़ते हुए क्रम को दर्शाता है: $6, 8, 10, ...$
अगला अंतर $12$ होना चाहिए।
अतः,$? - 29 = 12$,जिससे $? = 29 + 12 = 41$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रृंखला $0, 3, 12, 30, ?, 105, 168$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$3 - 0 = 3$
$12 - 3 = 9$
$30 - 12 = 18$
मान लीजिए लुप्त पद $x$ है। अंतर $3, 9, 18, (x - 30), (105 - x), (168 - 105 = 63)$ हैं।
अब,द्वितीय-क्रम के अंतरों को देखते हैं:
$9 - 3 = 6$
$18 - 9 = 9$
यदि द्वितीय-क्रम के अंतर $3$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी में हैं,तो अगले अंतर $12, 15, 18$ होने चाहिए।
अतः,$(x - 30) - 18 = 12 \implies x - 30 = 30 \implies x = 60$.
अगले पद की जाँच करने पर: $(105 - 60) = 45$। $45$ और $30$ के बीच का अंतर $15$ है,जो पैटर्न के अनुरूप है।
अंतिम पद की जाँच करने पर: $(168 - 105) = 63$। $63$ और $45$ के बीच का अंतर $18$ है,जो पैटर्न के अनुरूप है।
इसलिए,लुप्त संख्या $60$ है।

(A) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$20 = 15 + (5 \times 1)$
$30 = 20 + (5 \times 2)$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$? = 30 + (5 \times 3) = 30 + 15 = 45$
अतः,लुप्त संख्या $45$ है।

(C) यह श्रृंखला दो वैकल्पिक उप-श्रृंखलाओं से बनी है।
$1st, 3rd, 5th, 7th$ पद हैं: $11, ?, 1001, 10001$।
$2nd, 4th, 6th$ पद हैं: $10, 100, 1000$।
पहली उप-श्रृंखला $(11, ?, 1001, 10001)$ का विश्लेषण करने पर:
- $1st$ पद $11$ है (दो $1$ के बीच शून्य नहीं है)।
- $3rd$ पद को $1$ के बीच शून्य की संख्या बढ़ाने के पैटर्न का पालन करना चाहिए।
- $5th$ पद $1001$ है (दो $1$ के बीच दो शून्य हैं)।
- $7th$ पद $10001$ है (दो $1$ के बीच तीन शून्य हैं)।
इस पैटर्न के अनुसार,$3rd$ पद $(?)$ में दो $1$ के बीच एक शून्य होना चाहिए,जो कि $101$ है।
अतः,लुप्त संख्या $101$ है।

(A) इस श्रृंखला का तर्क क्रमिक पूर्णांकों के वर्गों को घटाने पर आधारित है।
$99 - 95 = 4 = 2^{2}$
$95 - 86 = 9 = 3^{2}$
$86 - 70 = 16 = 4^{2}$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $5^{2} = 25$ होना चाहिए।
इसलिए,$70 - ? = 25$।
$70 - 25 = 45$।
अतः,लुप्त संख्या $45$ है।

(C) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक उप-श्रृंखलाओं से बनी है।
सम स्थानों पर स्थित संख्याएँ यह श्रृंखला बनाती हैं: $18, 12, ?$।
विषम स्थानों पर स्थित संख्याएँ यह श्रृंखला बनाती हैं: $5, 10, 15$।
सम स्थान वाली श्रृंखला का विश्लेषण करने पर: $18, 12, ?$। क्रमिक पदों के बीच का अंतर $18 - 6 = 12$ है। इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $12 - 6 = 6$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $6$ है।

(B) दी गई श्रृंखला दो अलग-अलग उप-श्रृंखलाओं से बनी एक वैकल्पिक श्रृंखला है।
प्रथम श्रृंखला: $12, 14, 16, \dots$ (प्रत्येक पद में $2$ की वृद्धि होती है)।
द्वितीय श्रृंखला: $8, 6, ? \dots$ (प्रत्येक पद में $2$ की कमी होती है)।
लुप्त पद द्वितीय श्रृंखला का है।
द्वितीय श्रृंखला के तर्क का पालन करते हुए,अगला पद $6 - 2 = 4$ होगा।

(B) श्रृंखला में सिरों से केंद्र की ओर संख्याओं की जोड़ी बनाकर अवलोकन करें।
संख्याओं की जोड़ी: $(13, ?), (21, 12), (29, 92), (34, 43)$।
प्रत्येक जोड़ी में,संख्याओं के अंकों को उलट दिया गया है।
जोड़ी $(21, 12)$ के लिए,$21$ को उलटने पर $12$ प्राप्त होता है।
जोड़ी $(29, 92)$ के लिए,$29$ को उलटने पर $92$ प्राप्त होता है।
जोड़ी $(34, 43)$ के लिए,$34$ को उलटने पर $43$ प्राप्त होता है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,जोड़ी $(13, ?)$ के लिए,$13$ को उलटने पर $31$ प्राप्त होता है।
अतः,लुप्त संख्या $31$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $n = 2$ से शुरू होने वाली सम संख्याओं के लिए $(n^{2} - 1)$ के पैटर्न का पालन करती है।
$3 = 2^{2} - 1$
$15 = 4^{2} - 1$
$35 = 6^{2} - 1$
$99 = 10^{2} - 1$
$143 = 12^{2} - 1$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,लुप्त पद $8^{2} - 1 = 64 - 1 = 63$ है।

(D) दी गई श्रृंखला एक फिबोनाची जैसी श्रृंखला है जहाँ प्रत्येक पद पिछले दो पदों का योग है।
$4 + 7 = 11$
$7 + 11 = 18$
$11 + 18 = 29$
$18 + 29 = 47$
$29 + 47 = 76$
$47 + 76 = 123$
$76 + 123 = 199$
अतः,लुप्त पद $76$ है।

(A) दी गई श्रृंखला को उनके स्थानों के आधार पर दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं में विभाजित किया जा सकता है:
श्रृंखला $1$ (विषम स्थान): $455, 465, 485, 475$
श्रृंखला $2$ (सम स्थान): $445, 435, 415$
श्रृंखला $1$ में अंतर का विश्लेषण:
$465 - 455 = 10$
$485 - 465 = 20$
$475 - 485 = -10$
श्रृंखला $2$ में अंतर का विश्लेषण:
$435 - 445 = -10$
$415 - 435 = -20$
श्रृंखला $1$ में,अंतर का पैटर्न $+10, +20, +30$ होना चाहिए।
इसलिए,पद $475$ गलत है क्योंकि $485 + 30 = 515$ होना चाहिए।
अतः,$475$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(D) इस श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न $x_{n+1} = 2 \times x_n + 4$ है।
आइए पदों की जाँच करें:
$10 = 2 \times 3 + 4$
$24 = 2 \times 10 + 4$
$52 = 2 \times 24 + 4$ ($54$ के स्थान पर)
$108 = 2 \times 52 + 4$
$220 = 2 \times 108 + 4$
$444 = 2 \times 220 + 4$
दी गई श्रृंखला $3, 10, 24, 54, 108, 220, 444$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $54$ विषम संख्या है क्योंकि यह $2x + 4$ के पैटर्न में फिट नहीं बैठती है।

(B) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न है: $a_{n+1} = a_n \times 2 + 2 \times n$,जहाँ $n$ $1$ से शुरू होने वाला स्थान सूचकांक है।
$n=1$ के लिए: $8 \times 2 + 2 \times 1 = 16 + 2 = 18$.
$n=2$ के लिए: $18 \times 2 + 2 \times 2 = 36 + 4 = 40$.
$n=3$ के लिए: $40 \times 2 + 2 \times 3 = 80 + 6 = 86$.
$n=4$ के लिए: $86 \times 2 + 2 \times 4 = 172 + 8 = 180$ (दी गई संख्या $178$ है,जो गलत है)।
$n=5$ के लिए: $180 \times 2 + 2 \times 5 = 360 + 10 = 370$.
$n=6$ के लिए: $370 \times 2 + 2 \times 6 = 740 + 12 = 752$.
अतः,$178$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(D) श्रृंखला का पैटर्न $x_{n} = x_{n-1} \times (n-1) + (n-1)$ है,जहाँ $n$ पद का स्थान है।
$n=2$ के लिए: $1 \times 1 + 1 = 2$
$n=3$ के लिए: $2 \times 2 + 2 = 6$
$n=4$ के लिए: $6 \times 3 + 3 = 21$
$n=5$ के लिए: $21 \times 4 + 4 = 88$ (लेकिन दिया गया पद $84$ है)
$n=6$ के लिए: $88 \times 5 + 5 = 445$
$n=7$ के लिए: $445 \times 6 + 6 = 2676$
चूँकि $5$वें स्थान के लिए सही संख्या $88$ होनी चाहिए,इसलिए $84$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(C) यह श्रृंखला दो वैकल्पिक पैटर्न से बनी है।
विषम स्थानों ($1, 3, 5, 7$ वें स्थान) पर स्थित संख्याएँ विषम संख्याओं के वर्ग हैं: $1 = 1^2, 9 = 3^2, 25 = 5^2, 49 = 7^2$.
सम स्थानों ($2, 4, 6$ वें स्थान) पर स्थित संख्याएँ सम संख्याओं के घन हैं: $16 = 2^4, 64 = 4^3, 216 = 6^3$.
यहाँ $16$ का मान $2^4$ है,जबकि अन्य सम स्थानों वाली संख्याएँ ($64$ और $216$) क्रमशः $4^3$ और $6^3$ हैं। अतः,$16$ विषम संख्या है।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न $x_{n} = 2 \times x_{n+1} + 4 \times k$ है,जहाँ $k$ एक घटता हुआ पूर्णांक है जो $6$ से शुरू होता है।
चरण $1$: $864 = 2 \times 420 + 4 \times 6 = 840 + 24 = 864$ (सही)
चरण $2$: $420 = 2 \times 200 + 4 \times 5 = 400 + 20 = 420$ (सही)
चरण $3$: $200 = 2 \times 92 + 4 \times 4 = 184 + 16 = 200$ (यहाँ $96$ गलत है,इसके स्थान पर $92$ होना चाहिए)
चरण $4$: $92 = 2 \times 40 + 4 \times 3 = 80 + 12 = 92$ (सही)
चरण $5$: $40 = 2 \times 16 + 4 \times 2 = 32 + 8 = 40$ (सही)
चरण $6$: $16 = 2 \times 6 + 4 \times 1 = 12 + 4 = 16$ (सही)
अतः,$96$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(D) क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए:
$13 - 9 = 4$
$21 - 13 = 8$
$37 - 21 = 16$
$69 - 37 = 32$
अंतर का पैटर्न $4, 8, 16, 32, ...$ है,जो $2^n$ के नियम का पालन करता है या पिछले अंतर को $2$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
इस पैटर्न के अनुसार,अगला अंतर $32 \times 2 = 64$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $69 + 64 = 133$ होना चाहिए।
हालाँकि,दिया गया पद $132$ है।
अगले चरण की जाँच करने पर: $261 - 133 = 128$,जो $64 \times 2 = 128$ है।
अतः,$132$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(B) आइए श्रृंखला को दो वैकल्पिक उप-श्रृंखलाओं में विभाजित करके उसका विश्लेषण करें:
उप-श्रृंखला $1$ (विषम स्थान): $2, 18, 24, 34$
उप-श्रृंखला $2$ (सम स्थान): $5, 19, 29$
उप-श्रृंखला $2$ में अंतर देखने पर: $19 - 5 = 14$ और $29 - 19 = 10$ है। यह पैटर्न $4$ के घटते अंतर $(14, 10, 6, ...)$ का सुझाव देता है।
उप-श्रृंखला $1$ को देखने पर: अंतर $18 - 2 = 16$,$24 - 18 = 6$,और $34 - 24 = 10$ हैं।
यदि हम यह मान लें कि उप-श्रृंखला $1$ के लिए पैटर्न उप-श्रृंखला $2$ में पाए गए अंतर $(14, 10, 6)$ के अनुरूप होना चाहिए,तो पहला पद $2$ गलत है। यदि हम $2$ को $16$ से बदल दें,तो श्रृंखला $16, 5, 18, 19, 24, 29, 34$ हो जाती है। विषम-स्थान के पद $16, 18, 24, 34$ हो जाते हैं जिनमें अंतर $2, 6, 10$ है,जो अंतरों की एक समांतर श्रेणी का पालन करता है। अतः,$2$ गलत संख्या है।

(B) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$5 - 1 = 4$
$11 - 5 = 6$
$19 - 11 = 8$
$29 - 19 = 10$
$55 - 29 = 26$
अंतर क्रमिक सम संख्याओं के पैटर्न का पालन करता है: $4, 6, 8, 10, 12, \dots$
इस पैटर्न के अनुसार,$10$ के बाद का अंतर $12$ होना चाहिए।
इसलिए,$29$ के बाद का पद $29 + 12 = 41$ होना चाहिए।
चूंकि $55$ इस पैटर्न में फिट नहीं बैठता है,इसलिए यह श्रृंखला में विषम संख्या है।

(C) यह श्रृंखला विषम और सम स्थानों पर आधारित दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं से बनी है।
श्रृंखला $1$ (विषम स्थान): $2, 4, 8, 64$। ये $2^1, 2^2, 2^3, 2^6$ हैं। घातांक का पैटर्न $1, 2, 3, 4$ होना चाहिए। अतः,$2^6$ $(64)$ गलत है और इसके स्थान पर $2^4 = 16$ होना चाहिए।
श्रृंखला $2$ (सम स्थान): $4, 16, 256$। ये $2^2, 2^4, 2^8$ हैं। घातांक का पैटर्न $2, 4, 8$ है। यह श्रृंखला सुसंगत है।
अतः,$64$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(B) दी गई श्रृंखला $2, 9, 28, 65, 126, 216, 344$ है।
पैटर्न का अवलोकन करें:
$1^3 + 1 = 2$
$2^3 + 1 = 9$
$3^3 + 1 = 28$
$4^3 + 1 = 65$
$5^3 + 1 = 126$
$6^3 + 1 = 217$
$7^3 + 1 = 344$
दी गई श्रृंखला में $217$ के स्थान पर $216$ मौजूद है। अतः,$216$ श्रृंखला में विषम संख्या है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें: $58, 57, 54, 50, 42, 33, 22$.
$58 - 57 = 1$
$57 - 54 = 3$
$54 - 50 = 4$
$50 - 42 = 8$
$42 - 33 = 9$
$33 - 22 = 11$
यदि हम अंतर के पैटर्न को देखें,तो इसे विषम संख्याओं के क्रम में होना चाहिए: $1, 3, 5, 7, 9, 11$.
इस पैटर्न के साथ श्रृंखला की जाँच करने पर:
$58 - 1 = 57$
$57 - 3 = 54$
$54 - 5 = 49$
$49 - 7 = 42$
$42 - 9 = 33$
$33 - 11 = 22$
दी गई श्रृंखला $58, 57, 54, 50, 42, 33, 22$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $50$ गलत पद है,क्योंकि यहाँ $49$ होना चाहिए था।
अतः,$50$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(A) आइए दी गई श्रृंखला का विश्लेषण करें: $0, 9, 64, 169, 576, 1225$।
इन संख्याओं को $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ के लिए $(n^2 - 1)^2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$n=1$ के लिए: $(1^2 - 1)^2 = 0^2 = 0$
$n=2$ के लिए: $(2^2 - 1)^2 = 3^2 = 9$
$n=3$ के लिए: $(3^2 - 1)^2 = 8^2 = 64$
$n=4$ के लिए: $(4^2 - 1)^2 = 15^2 = 225$
$n=5$ के लिए: $(5^2 - 1)^2 = 24^2 = 576$
$n=6$ के लिए: $(6^2 - 1)^2 = 35^2 = 1225$
सही श्रृंखला $0, 9, 64, 225, 576, 1225$ होनी चाहिए। संख्या $169$ गलत है क्योंकि यह $(n^2 - 1)^2$ के पैटर्न में फिट नहीं बैठती है। $169$ को $225$ से बदलने पर श्रृंखला सुसंगत हो जाती है। अतः,$169$ विषम संख्या है और $225$ वह सही पद है जो वहां होना चाहिए था। इसलिए,विकल्प $(A)$ सही उत्तर है।

(A) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें: $1, 3, 7, 19, 42, 89, 184$.
पैटर्न के अनुसार: $x_{n+1} = x_n \times 2 + k$,जहाँ $k$ का मान प्रत्येक चरण में $1$ से बढ़ता है $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$:
$1 \times 2 + 1 = 3$
$3 \times 2 + 2 = 8$ (यहाँ $7$ दिया गया है)
$8 \times 2 + 3 = 19$
$19 \times 2 + 4 = 42$
$42 \times 2 + 5 = 89$
$89 \times 2 + 6 = 184$
चूँकि $7$ वह संख्या है जो इस पैटर्न को तोड़ती है,इसलिए यह श्रृंखला में विषम संख्या है। अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) श्रृंखला का सावधानीपूर्वक अवलोकन करने पर पता चलता है कि ये संख्याएँ अवरोही क्रम में विषम पूर्णांकों के वर्ग हैं।
यह श्रृंखला इस प्रकार है: $13^2, 11^2, 9^2, 7^2, 5^2, 3^2, 1^2$.
इन मानों की गणना करने पर: $169, 121, 81, 49, 25, 9, 1$.
इसकी तुलना दी गई श्रृंखला $169, 121, 80, 49, 25, 9, 1$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $80$ श्रृंखला में विषम संख्या है क्योंकि वहाँ $81$ होना चाहिए।
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।