Number Series Questions in Hindi

(A) आइए क्रमिक पदों को विभाजित करके श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$157.5 \div 45 = 3.5$
$45 \div 15 = 3$
$15 \div 6 = 2.5$
$6 \div 3 = 2$
$3 \div 2 = 1.5$
$2 \div 1 = 2$
भाजकों का पैटर्न $3.5, 3, 2.5, 2, 1.5, 1$ है।
$157.5$ से शुरू करके इस पैटर्न को लागू करने पर:
$157.5 \div 3.5 = 45$
$45 \div 3 = 15$
$15 \div 2.5 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$3 \div 1.5 = 2$
$2 \div 1 = 2$
दी गई श्रृंखला में,अंतिम पद $1$ है,लेकिन पैटर्न के अनुसार यह $2$ होना चाहिए। इसलिए,$1$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(C) क्रमागत पदों के बीच के अंतर के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$9 - 6 = 3$
$15 - 9 = 6$
$22 - 15 = 7$
$51 - 22 = 29$
$99 - 51 = 48$
अंतर के पैटर्न को देखने पर: $3, 6, 12, 24, 48$ (प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है)।
यदि हम $6$ से इस पैटर्न का पालन करें:
$6 + 3 = 9$
$9 + 6 = 15$
$15 + 12 = 27$
$27 + 24 = 51$
$51 + 48 = 99$
चूंकि $22$ इस पैटर्न में फिट नहीं बैठता है ($22$ के स्थान पर $27$ होना चाहिए),इसलिए $22$ विषम संख्या है।

(C) इस श्रृंखला का तर्क क्रमिक पदों के बीच के अंतर पर आधारित है:
$15 - 8 = 7$
$36 - 15 = 21$
$99 - 36 = 63$
$288 - 99 = 189$
यहाँ अंतर $7, 21, 63, 189, \ldots$ है।
प्रत्येक अंतर पिछले अंतर को $3$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है:
$7 \times 3 = 21$
$21 \times 3 = 63$
$63 \times 3 = 189$
इस तर्क के अनुसार,अगला अंतर:
$189 \times 3 = 567$ होगा।
अतः,श्रृंखला का अगला पद:
$288 + 567 = 855$ होगा।

(C) यह श्रृंखला दो वैकल्पिक अनुक्रमों का मिश्रण है।
अनुक्रम $1$ (विषम स्थानों पर): $4, 16, ?, 64$
ये सम संख्याओं के वर्ग हैं: $2^2 = 4, 4^2 = 16, 6^2 = 36, 8^2 = 64$।
अनुक्रम $2$ (सम स्थानों पर): $196, 169, 144$
ये घटते हुए पूर्णांकों के वर्ग हैं: $14^2 = 196, 13^2 = 169, 12^2 = 144$।
दोनों अनुक्रमों की तुलना करने पर,लुप्त पद पहले अनुक्रम में आता है,जो $6^2 = 36$ है।

(C) दिया गया समानुपात $6 : 5 :: 8 : x$ है।
इसे अनुपात के रूप में $\frac{6}{5} = \frac{8}{x}$ लिखा जा सकता है।
तिर्यक गुणा करने पर $6x = 5 \times 8$ प्राप्त होता है।
$6x = 40$.
$x = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67$.
हालाँकि,अंतर के पैटर्न को देखने पर: $6 - 5 = 1$ है।
दूसरे युग्म के लिए भी इसी तर्क का पालन करते हुए,यदि अंतर $2$ हो,तो $8 - x = 2$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $6$ है।

(B) श्रृंखला के क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें: $5, 21, 69, 213, 645$।
$21 - 5 = 16$
$69 - 21 = 48$
$213 - 69 = 144$
$645 - 213 = 432$
अंतर में पैटर्न का अवलोकन करें: $16, 48, 144, 432$।
प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का $3$ गुना है:
$16 \times 3 = 48$
$48 \times 3 = 144$
$144 \times 3 = 432$
अतः, अगला अंतर $432 \times 3 = 1296$ होना चाहिए।
इसलिए, श्रृंखला का अगला पद $645 + 1296 = 1941$ होगा।

(B) यह श्रृंखला एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करने वाली संख्याओं के वर्गों से बनी है:
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$17^2 = 289$
$18^2 = 324$
$23^2 = 529$
$24^2 = 576$
आधार संख्याओं का अवलोकन करें: $11, 12, 17, 18, 23, 24, ...$
आधार संख्याओं का पैटर्न इस प्रकार है: $(11, 12), (17, 18), (23, 24), ...$
यहाँ,$17 - 11 = 6$ और $23 - 17 = 6$ है।
अतः,अगली आधार संख्या $23 + 6 = 29$ होनी चाहिए।
श्रृंखला में अगली संख्या $29^2 = 841$ होगी।

(D) क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$19 - 14 = 5$
$29 - 19 = 10$
$49 - 29 = 20$
$89 - 49 = 40$
अंतर के पैटर्न को देखें: $5, 10, 20, 40$। प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है।
अतः,अगला अंतर $40 \times 2 = 80$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $89 + 80 = 169$ होगा।

(D) दी गई श्रृंखला $34, 18, 10, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$34 - 18 = 16$
$18 - 10 = 8$
हम देखते हैं कि अंतर $16$ और $8$ हैं। ध्यान दें कि $16 \div 2 = 8$ है। इस तर्क का पालन करते हुए,अगला अंतर $8 \div 2 = 4$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $10 - 4 = 6$ होगा।
अतः,लुप्त संख्या $6$ है।

(D) दी गई श्रृंखला दो अलग-अलग पैटर्न वाली एक एकांतर श्रृंखला है।
पैटर्न $1$ (विषम स्थान): $9, 10, 11, 12$. प्रत्येक पद में $1$ की वृद्धि होती है $(9+1=10, 10+1=11, 11+1=12)$।
पैटर्न $2$ (सम स्थान): $8, 16, ?, 64$. प्रत्येक पद को $2$ से गुणा किया जाता है $(8 \times 2 = 16, 16 \times 2 = 32, 32 \times 2 = 64)$।
अतः,लुप्त संख्या $32$ है।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है: $(n_i + k) \times k = n_{i+1}$,जहाँ प्रत्येक चरण पर $k$ का मान $1$ कम हो जाता है।
चरण $1$: $(6 + 7) \times 7 = 13 \times 7 = 91$
चरण $2$: $(91 + 6) \times 6 = 97 \times 6 = 582$
चरण $3$: $(582 + 5) \times 5 = 587 \times 5 = 2935$
चरण $4$: $(2935 + 4) \times 4 = 2939 \times 4 = 11756$
चरण $5$: $(11756 + 3) \times 3 = 11759 \times 3 = 35277$
चरण $6$: $(35277 + 2) \times 2 = 35279 \times 2 = 70558$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,$584$ गलत संख्या है क्योंकि यहाँ $582$ होना चाहिए।

(D) दी गई श्रृंखला $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के लिए $n^n$ के पैटर्न का पालन करती है।
$1^1 = 1$
$2^2 = 4$
$3^3 = 27$
$4^4 = 256$
$5^5 = 3125$
$6^6 = 46656$
$7^7 = 823543$
दी गई श्रृंखला में,$27$ के स्थान पर $25$ दिया गया है। अतः,$25$ विषम (गलत) संख्या है।

(B) इस श्रृंखला में प्रत्येक पद पिछले पद को $2$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$8424 \div 2 = 4212$
$4212 \div 2 = 2106$
$2106 \div 2 = 1053$
$1053 \div 2 = 526.5$
$526.5 \div 2 = 263.25$
$263.25 \div 2 = 131.625$
दी गई श्रृंखला में,$1051$ गलत संख्या है क्योंकि सही पद $1053$ होना चाहिए।

(D) यह श्रृंखला एक ऐसे पैटर्न का पालन करती है जहाँ क्रमिक पदों के बीच का अंतर प्रत्येक चरण में आधा हो जाता है।
$389 - 117 = 272$
$525 - 389 = 136$
$593 - 525 = 68$
$627 - 593 = 34$
इस पैटर्न के अनुसार,अगला अंतर $34 / 2 = 17$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $627 + 17 = 644$ होगा।

(D) दी गई श्रृंखला $7, 11, 23, 51, 103, (?)$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$11 - 7 = 4 = 4 \times 1$
$23 - 11 = 12 = 4 \times 3$
$51 - 23 = 28 = 4 \times 7$
$103 - 51 = 52 = 4 \times 13$
अंतर $4, 12, 28, 52, \dots$ हैं।
$4$ के गुणकों को देखें: $1, 3, 7, 13, \dots$
इन गुणकों के बीच का अंतर $2, 4, 6, 8, \dots$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,गुणकों में अगला अंतर $13 + 8 = 21$ होना चाहिए।
इसलिए,श्रृंखला में अगला अंतर $4 \times 21 = 84$ होना चाहिए।
अंतिम पद में इसे जोड़ने पर: $103 + 84 = 187$।
अतः,लुप्त संख्या $187$ है।

(D) दी गई श्रृंखला $18, 27, 49, 84, 132, (?)$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$27 - 18 = 9$
$49 - 27 = 22$
$84 - 49 = 35$
$132 - 84 = 48$
अब,इन अंतरों का भी अंतर ज्ञात करते हैं:
$22 - 9 = 13$
$35 - 22 = 13$
$48 - 35 = 13$
दूसरा अंतर $13$ स्थिर है। इसलिए,पहले स्तर में अगला अंतर $48 + 13 = 61$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $132 + 61 = 193$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $33, 43, 65, 99, 145, (?)$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$43 - 33 = 10$
$65 - 43 = 22$
$99 - 65 = 34$
$145 - 99 = 46$
अंतर $10, 22, 34, 46, ...$ हैं।
अब,इन अंतरों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$22 - 10 = 12$
$34 - 22 = 12$
$46 - 34 = 12$
चूंकि दूसरा अंतर स्थिर $(12)$ है,इसलिए पहली श्रृंखला में अगला अंतर $46 + 12 = 58$ होगा।
अतः,श्रृंखला का अगला पद $145 + 58 = 203$ होगा।

(D) दी गई श्रृंखला $655, 439, 314, 250, 223, (?)$ है।
आइए क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$655 - 439 = 216 = 6^3$
$439 - 314 = 125 = 5^3$
$314 - 250 = 64 = 4^3$
$250 - 223 = 27 = 3^3$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $2^3 = 8$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $223 - 8 = 215$ है।

(D) श्रृंखला $15, 21, 39, 77, 143, (?)$ में लुप्त संख्या ज्ञात करने के लिए,हम क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$21 - 15 = 6$
$39 - 21 = 18$
$77 - 39 = 38$
$143 - 77 = 66$
अब,इन अंतरों के अंतर का विश्लेषण करें:
$18 - 6 = 12$
$38 - 18 = 20$
$66 - 38 = 28$
इसके बाद,दूसरे स्तर के अंतरों के अंतर का विश्लेषण करें:
$20 - 12 = 8$
$28 - 20 = 8$
चूंकि तीसरे स्तर का अंतर स्थिर $(8)$ है,हम इस पैटर्न को जारी रख सकते हैं:
अगला दूसरे स्तर का अंतर $28 + 8 = 36$ होगा।
अगला प्रथम स्तर का अंतर $66 + 36 = 102$ होगा।
अतः,लुप्त संख्या $143 + 102 = 245$ है।

(A) दी गई श्रृंखला $33, 39, 57, 87, 129, (?)$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$39 - 33 = 6$
$57 - 39 = 18$
$87 - 57 = 30$
$129 - 87 = 42$
अब,अंतरों में पैटर्न देखें: $6, 18, 30, 42$। इन अंतरों में प्रत्येक बार $12$ की वृद्धि हो रही है (या $6 \times 1, 6 \times 3, 6 \times 5, 6 \times 7$)।
अतः,अगला अंतर $42 + 12 = 54$ (जो $6 \times 9$ है) होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $129 + 54 = 183$ होगा।

(A) दी गई श्रृंखला $15, 19, 83, 119, 631, (?)$ है।
क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$19 - 15 = 4 = (2)^2$
$83 - 19 = 64 = (4)^3$
$119 - 83 = 36 = (6)^2$
$631 - 119 = 512 = (8)^3$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला अंतर $(10)^2 = 100$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $631 + 100 = 731$ होगा।

(C) दी गई श्रृंखला $19, 26, 40, 68, 124, (?)$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$26 - 19 = 7$
$40 - 26 = 14$
$68 - 40 = 28$
$124 - 68 = 56$
हम देखते हैं कि अंतर $7, 14, 28, 56$ है,जो एक ऐसी श्रृंखला बनाते हैं जहाँ प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है $(7 \times 2 = 14, 14 \times 2 = 28, 28 \times 2 = 56)$।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $56 \times 2 = 112$ होना चाहिए।
अतः,श्रृंखला का अगला पद $124 + 112 = 236$ होगा।

(D) दी गई श्रृंखला दो एकांतर अनुक्रमों का मिश्रण है।
अनुक्रम $1$: $43, 58, 73, ...$
यहाँ,तर्क $+15$ है:
$43 + 15 = 58$
$58 + 15 = 73$
अनुक्रम $2$: $69, 84, (?)$
यहाँ भी तर्क $+15$ है:
$69 + 15 = 84$
$84 + 15 = 99$
अतः,लुप्त संख्या $99$ है।

(D) क्रमागत पदों के बीच के अंतर के पैटर्न का निरीक्षण करें:
$4 - 2.5 = 1.5$
$10 - ? = x$
$14.5 - 10 = 4.5$
$20 - 14.5 = 5.5$
$26.5 - 20 = 6.5$
अंतर प्रत्येक बार $1$ से बढ़ रहा है: $1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5$।
अतः,लुप्त पद $4 + 2.5 = 6.5$ है।
अगले चरण की जाँच करने पर: $6.5 + 3.5 = 10$,जो श्रृंखला से मेल खाता है।

(A) इस श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$4 \times 1 + 1 = 5$
$5 \times 2 + 2 = 12$
$12 \times 3 + 3 = 39$
$39 \times 4 + 4 = 160$
$160 \times 5 + 5 = 805$
$805 \times 6 + 6 = 4836$
अतः,श्रृंखला में अगली संख्या $4836$ है।

(C) इस श्रृंखला का पैटर्न $10^2$ से शुरू होने वाले क्रमिक घटते पूर्णांकों के वर्गों को जोड़ने पर आधारित है:
$8 + 10^2 = 8 + 100 = 108$
$108 + 9^2 = 108 + 81 = 189$
$189 + 8^2 = 189 + 64 = 253$
$253 + 7^2 = 253 + 49 = 302$
$302 + 6^2 = 302 + 36 = 338$
$338 + 5^2 = 338 + 25 = 363$
अतः,लुप्त संख्या $338$ है।

(D) इस श्रृंखला का तर्क क्रमिक अभाज्य संख्याओं को घटते क्रम में घटाने पर आधारित है:
$248 - 31 = 217$
$217 - 29 = 188$
$188 - 23 = 165$
$165 - 19 = 146$
$146 - 17 = 129$
$129 - 13 = 116$
अतः,लुप्त संख्या $146$ है।

(A) अगला पद ज्ञात करने के लिए,क्रमागत पदों के बीच के अंतर का अवलोकन करें:
$15 - 3 = 12$
$39 - 15 = 24$
$75 - 39 = 36$
$123 - 75 = 48$
$183 - 123 = 60$
अंतर $12$ के गुणज हैं $(12, 24, 36, 48, 60)$।
अगला अंतर $12 \times 6 = 72$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $183 + 72 = 255$ है।

(D) दी गई श्रृंखला एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रत्येक पद को पिछले पद में $7$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$1 \times 7 = 7$
$7 \times 7 = 49$
$49 \times 7 = 343$
$343 \times 7 = 2401$
अतः,श्रृंखला का अगला पद $2401$ है।

(D) श्रृंखला का पैटर्न क्रमिक पदों के बीच के अंतर पर आधारित है:
$20 - 13 = 7$
$39 - 20 = 19$
$78 - 39 = 39$
$145 - 78 = 67$
अब,इन अंतरों के अंतर को देखें:
$19 - 7 = 12$
$39 - 19 = 20$
$67 - 39 = 28$
अंतरों का अंतर $8$ की दर से बढ़ रहा है $(12+8=20, 20+8=28)$.
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अंतर का अगला अंतर $28 + 8 = 36$ होना चाहिए।
इसलिए,पदों के बीच का अगला अंतर $67 + 36 = 103$ होगा।
अंत में,श्रृंखला का अगला पद $145 + 103 = 248$ है।

(A) इस श्रृंखला में अंतर इस प्रकार है कि प्रत्येक बार वह दोगुना हो जाता है।
$12 + 23 = 35$
$35 + 46 = 81$
$81 + 92 = 173$
$173 + 184 = 357$
यहाँ अंतर $23, 46, 92, 184, ...$ हैं,जो $2$ से गुणा करने के नियम का पालन करते हैं $(23 \times 2 = 46, 46 \times 2 = 92, 92 \times 2 = 184)$।
इसलिए,अगला अंतर $184 \times 2 = 368$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $357 + 368 = 725$ होगा।

(D) क्रमागत पदों के बीच के अंतर के पैटर्न का अवलोकन करें:
$100 - 3 = 97$
$297 - 100 = 197$
$594 - 297 = 297$
$991 - 594 = 397$
अंतर $97, 197, 297, 397$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें सार्व अंतर $100$ है।
अगला अंतर $397 + 100 = 497$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $991 + 497 = 1488$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $112, 119, 140, 175, 224, (?)$ है।
हम क्रमिक पदों के बीच का अंतर देखते हैं:
$119 - 112 = 7 = 7 \times 1$
$140 - 119 = 21 = 7 \times 3$
$175 - 140 = 35 = 7 \times 5$
$224 - 175 = 49 = 7 \times 7$
यहाँ अंतर $7$ के विषम संख्याओं $(1, 3, 5, 7)$ के साथ गुणज हैं।
अगला अंतर $7 \times 9 = 63$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $224 + 63 = 287$ होगा।

(D) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$7 \times 2 - 2 = 12$
$12 \times 4 - 8 = 40$
$40 \times 6 - 18 = 222$
$222 \times 8 - 32 = 1744$
$1744 \times 10 - 50 = 17390$
$17390 \times 12 - 72 = 208608$
दी गई श्रृंखला में,$1742$ पद गलत है क्योंकि पैटर्न के अनुसार उस स्थान पर $1744$ होना चाहिए।

(C) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$6 \times 7 + 7^2 = 42 + 49 = 91$
$91 \times 6 + 6^2 = 546 + 36 = 582$ (जो $584$ नहीं है)
$582 \times 5 + 5^2 = 2910 + 25 = 2935$
$2935 \times 4 + 4^2 = 11740 + 16 = 11756$
$11756 \times 3 + 3^2 = 35268 + 9 = 35277$
$35277 \times 2 + 2^2 = 70554 + 4 = 70558$
चूंकि $584$ के स्थान पर $582$ होना चाहिए,इसलिए श्रृंखला में विषम संख्या $584$ है।

(D) संख्या श्रृंखला का पैटर्न $15$ से शुरू होने वाली क्रमिक विषम संख्याओं के घन को घटाने पर आधारित है:
$9050 - 15^3 = 9050 - 3375 = 5675$
$5675 - 13^3 = 5675 - 2197 = 3478$
$3478 - 11^3 = 3478 - 1331 = 2147$
$2147 - 9^3 = 2147 - 729 = 1418$
$1418 - 7^3 = 1418 - 343 = 1075$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,पद $1077$ गलत है क्योंकि यहाँ $1075$ होना चाहिए। अतः,$1077$ विषम संख्या है।

(D) संख्या श्रृंखला का पैटर्न $n^n$ पर आधारित है,जहाँ $n$ श्रृंखला में पद का क्रम है।
$n=1$ के लिए: $1^1 = 1$
$n=2$ के लिए: $2^2 = 4$
$n=3$ के लिए: $3^3 = 27$ (हालाँकि,दिया गया पद $25$ है)
$n=4$ के लिए: $4^4 = 256$
$n=5$ के लिए: $5^5 = 3125$
$n=6$ के लिए: $6^6 = 46656$
$n=7$ के लिए: $7^7 = 823543$
चूँकि $25$ इस $n^n$ पैटर्न का पालन नहीं करता है (यह $27$ होना चाहिए),इसलिए $25$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(B) संख्या श्रृंखला का पैटर्न यह है कि प्रत्येक पद को पिछले पद को $2$ से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
$8424 \div 2 = 4212$
$4212 \div 2 = 2106$
$2106 \div 2 = 1053$
हालाँकि,दिया गया पद $1051$ है,जो गलत है।
$1053 \div 2 = 526.5$
$526.5 \div 2 = 263.25$
$263.25 \div 2 = 131.625$
चूंकि $1051$ के स्थान पर $1053$ होना चाहिए,इसलिए श्रृंखला में विषम संख्या $1051$ है।

(D) इस श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$3601 \div 1 + 1 = 3602$
$3602 \div 2 + 2 = 1801 + 2 = 1803$
$1803 \div 3 + 3 = 601 + 3 = 604$
$604 \div 4 + 4 = 151 + 4 = 155$
$155 \div 5 + 5 = 31 + 5 = 36$
$36 \div 6 + 6 = 6 + 6 = 12$
दी गई श्रृंखला से तुलना करने पर,$154$ गलत है और इसके स्थान पर $155$ होना चाहिए।

(B) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न है: $n_{i+1} = n_i \times (i+1) + (i+1)^2$,जहाँ $i$ चरण संख्या है जो $1$ से शुरू होती है।
चरण $1$: $4 \times 2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
चरण $2$: $12 \times 3 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
चरण $3$: $45 \times 4 + 4^2 = 180 + 16 = 196$
चरण $4$: $196 \times 5 + 5^2 = 980 + 25 = 1005$
चरण $5$: $1005 \times 6 + 6^2 = 6030 + 36 = 6066$
चरण $6$: $6066 \times 7 + 7^2 = 42462 + 49 = 42511$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,$42$ गलत संख्या है और इसके स्थान पर $45$ होना चाहिए।

(A) आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$8 - 2 = 6$
$12 - 8 = 4$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
$42 - 30 = 12$
$56 - 42 = 14$
यदि हम दूसरे पद से शुरू होने वाले अंतर को देखें,तो वे सम संख्याओं की श्रृंखला का पालन करते हैं: $4, 6, 8, 10, 12, 14$।
यदि पहला पद $2$ होता और अंतर $4$ होता,तो दूसरा पद $2 + 4 = 6$ होना चाहिए था।
चूंकि दी गई श्रृंखला में $6$ के स्थान पर $8$ है,इसलिए $8$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(D) श्रृंखला में पैटर्न इस प्रकार है:
$32 \times 0.5 = 16$
$16 \times 1.5 = 24$
$24 \times 2.5 = 60$
$60 \times 3.5 = 210$
$210 \times 4.5 = 945$
$945 \times 5.5 = 5197.5$
दी गई श्रृंखला $32, 16, 24, 65, 210, 945, 5197.5$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $65$ गलत है और इसके स्थान पर $60$ होना चाहिए।

(D) श्रृंखला में पैटर्न $x_{n+1} = 2x_n - 1$ के तर्क पर आधारित है।
आइए श्रृंखला की जाँच करें:
$7 \times 2 - 1 = 13$
$13 \times 2 - 1 = 25$
$25 \times 2 - 1 = 49$
$49 \times 2 - 1 = 97$
$97 \times 2 - 1 = 193$
$193 \times 2 - 1 = 385$
इसे दी गई श्रृंखला $7, 13, 25, 49, 97, 194, 385$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $194$ गलत है और इसके स्थान पर $193$ होना चाहिए।

(B) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$10 - 8 = 2$
$18 - 10 = 8$
$44 - 18 = 26$
$124 - 44 = 80$
क्रमागत पदों के बीच के अंतर को देखने पर:
$8 = 3 \times 2 + 2$
$26 = 3 \times 8 + 2$
$80 = 3 \times 26 + 2$
अगला अंतर $= 3 \times 80 + 2 = 242$
अतः,अगला पद $= 124 + 242 = 366$.

(D) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$13 + (1 \times 12) = 13 + 12 = 25$
$25 + (3 \times 12) = 25 + 36 = 61$
$61 + (5 \times 12) = 61 + 60 = 121$
$121 + (7 \times 12) = 121 + 84 = 205$
$205 + (9 \times 12) = 205 + 108 = 313$
अतः,श्रृंखला में अगली संख्या $313$ है।

(A) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$\frac{656}{2} + 24 = 328 + 24 = 352$
$\frac{352}{2} + 24 = 176 + 24 = 200$
$\frac{200}{2} + 24 = 100 + 24 = 124$
$\frac{124}{2} + 24 = 62 + 24 = 86$
$\frac{86}{2} + 24 = 43 + 24 = 67$
अतः,लुप्त संख्या $67$ है।

(C) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$454 + 18 = 472$
$472 - 27 = 445$
$445 + 18 = 463$
$463 - 27 = 436$
$18$ जोड़ने और $27$ घटाने के वैकल्पिक पैटर्न का पालन करते हुए,अगला चरण है:
$436 + 18 = 454$
अतः,लुप्त संख्या $454$ है।

(B) संख्या श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$12 \times 4 - 30 = 48 - 30 = 18$
$18 \times 4 - 36 = 72 - 36 = 36$
$36 \times 4 - 42 = 144 - 42 = 102$
$102 \times 4 - 48 = 408 - 48 = 360$
$360 \times 4 - 54 = 1440 - 54 = 1386$
अतः,श्रृंखला में अगली संख्या $1386$ है।

(C) श्रृंखला में अंतर इस प्रकार है:
$49 - 32 = 17$
$83 - 49 = 34 = 17 \times 2$
$151 - 83 = 68 = 34 \times 2$
$287 - 151 = 136 = 68 \times 2$
$559 - 287 = 272 = 136 \times 2$
इस तर्क के अनुसार,अगला अंतर $272 \times 2 = 544$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $559 + 544 = 1103$ होगा।

(B) इस श्रृंखला में पैटर्न बढ़ती हुई संख्याओं के योग पर आधारित है:
$462 + 90 = 552$
$552 + 98 = 650$
$650 + 106 = 756$
$756 + 114 = 870$
$870 + 122 = 992$
प्रत्येक चरण में,अंतर $8$ से बढ़ रहा है $(90, 98, 106, 114, 122)$।
इसलिए,अगला अंतर $122 + 8 = 130$ होना चाहिए।
$992 + 130 = 1122$।
अतः,अगली संख्या $1122$ है।