Number Series Questions in Hindi

(D) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें: $7, 9, 17, 42, 91, 172, 293$.
$9 - 7 = 2$
$17 - 9 = 8$
$42 - 17 = 25$
$91 - 42 = 49$
$172 - 91 = 81$
$293 - 172 = 121$
अंतर $2, 8, 25, 49, 81, 121$ हैं। हम देखते हैं कि $49 = 7^2$,$81 = 9^2$,और $121 = 11^2$ है। अंतर का पैटर्न विषम संख्याओं के वर्ग होने चाहिए: $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2$,जो $1, 9, 25, 49, 81, 121$ हैं। यदि पहला पद $7$ के स्थान पर $8$ हो,तो अंतर का पैटर्न सही हो जाता है। अतः,$9$ विषम संख्या है।

(B) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें: $8, 14, 26, 48, 98, 194, 386$.
$14 = (8 \times 2) - 2 = 16 - 2 = 14$.
$26 = (14 \times 2) - 2 = 28 - 2 = 26$.
$50 = (26 \times 2) - 2 = 52 - 2 = 50$.
$98 = (50 \times 2) - 2 = 100 - 2 = 98$.
$194 = (98 \times 2) - 2 = 196 - 2 = 194$.
$386 = (194 \times 2) - 2 = 388 - 2 = 386$.
दी गई श्रृंखला में,$48$ पैटर्न $(x_{n} = 2x_{n-1} - 2)$ का पालन नहीं करता है। यदि हम $48$ को $50$ से बदल दें,तो श्रृंखला सुसंगत हो जाती है। अतः,$48$ श्रृंखला में विषम संख्या है। चूंकि प्रश्न में विषम संख्या की पहचान करने के लिए कहा गया है और इसे बदलने के लिए विकल्प में $50$ दिया गया है,इसलिए विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(B) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$95 - 86 = 9$
$86 - 73 = 13$
$73 - 62 = 11$
$62 - 47 = 15$
$47 - 30 = 17$
$30 - 11 = 19$
अंतर के पैटर्न को देखने पर: $9, 13, 11, 15, 17, 19$ प्राप्त होता है।
यदि हम $73$ को $75$ से बदल दें,तो श्रृंखला $95, 86, 75, 62, 47, 30, 11$ हो जाती है।
नए अंतर इस प्रकार हैं:
$95 - 86 = 9$
$86 - 75 = 11$
$75 - 62 = 13$
$62 - 47 = 15$
$47 - 30 = 17$
$30 - 11 = 19$
अब अंतर $9, 11, 13, 15, 17, 19$ के क्रम में हैं,जो एक सुसंगत पैटर्न का पालन करते हैं।
अतः,$73$ श्रृंखला में विषम संख्या है।
इसलिए,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(C) आइए दी गई श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$7 \times 2 = 14$
$14 \times 4 = 56$
$56 \times 3 = 168$
$168 \times 2 = 336$
$336 \times 4 = 1344$
$1344 \times 3 = 4032$
$4032 \times 2 = 8064$
यह पैटर्न $\times 2, \times 4, \times 3, \times 2, \times 4, \times 3, \times 2$ के गुणन क्रम का पालन करता है।
दी गई श्रृंखला में,पद $2688$ गलत है और इसके स्थान पर $4032$ होना चाहिए।
अतः,श्रृंखला में विषम संख्या $2688$ है और इसके स्थान पर आने वाली सही संख्या $4032$ है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही विकल्प है।

(B) दी गई श्रृंखला $11, 15, 17, 19, 23, 25$ है।
अभाज्य संख्याओं का अवलोकन करने पर,हम देखते हैं कि $11, 13, 17, 19, 23$ क्रमिक अभाज्य संख्याएँ हैं।
दी गई श्रृंखला में,$15$ और $25$ भाज्य संख्याएँ हैं,जबकि $11, 17, 19, 23$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
यदि हम $11$ से शुरू होने वाली अभाज्य संख्याओं के पैटर्न को देखें,तो श्रृंखला $11, 13, 17, 19, 23, 29$ होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$15$ सबसे अलग संख्या है क्योंकि यह क्रमिक अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला को तोड़ती है।
अतः,$15$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(B) दी गई श्रृंखला की संख्याओं द्वारा अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$9 = 8 \times 1 + 1$
$65 = 7 \times 9 + 2$
$393 = 6 \times 65 + 3$
दूसरी पंक्ति के लिए भी समान तर्क का पालन करते हुए:
$(a) = 8 \times 2 + 1 = 17$
$(b) = 7 \times 17 + 2 = 121$
$(c) = 6 \times 121 + 3 = 729$
$(d) = 5 \times 729 + 4 = 3649$
$(e) = 4 \times 3649 + 5 = 14601$
अतः,$(c)$ के स्थान पर $729$ आएगा।

(A) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है:
$616 - 496 = 120 = 12 \times 10$
$496 - 397 = 99 = 11 \times 9$
$397 - 317 = 80 = 10 \times 8$
$317 - 254 = 63 = 9 \times 7$
दूसरी पंक्ति के लिए समान पैटर्न का पालन करते हुए:
$(A) = 838 - 120 = 718$
$(B) = 718 - 99 = 619$
$(C) = 619 - 80 = 539$
$(D) = 539 - 63 = 476$
$(E) = 476 - (8 \times 6) = 476 - 48 = 428$

(D) यह श्रृंखला ऊपर की पंक्ति के क्रमिक पदों के बीच के अंतर का पालन करती है:
$434 - 353 = 81 = 9^2$
$353 - 417 = -64 = -8^2$
$417 - 368 = 49 = 7^2$
$368 - 404 = -36 = -6^2$
$404 - 379 = 25 = 5^2$
यही तर्क नीचे की पंक्ति में लागू करने पर:
$108 - (A) = 9^2 = 81 \Rightarrow (A) = 108 - 81 = 27$
$27 - (B) = -8^2 = -64 \Rightarrow (B) = 27 + 64 = 91$
$91 - (C) = 7^2 = 49 \Rightarrow (C) = 91 - 49 = 42$
$42 - (D) = -6^2 = -36 \Rightarrow (D) = 42 + 36 = 78$
$78 - (E) = 5^2 = 25 \Rightarrow (E) = 78 - 25 = 53$
अतः,$(E)$ का मान $53$ है।

(D) पहली पंक्ति में पालन किया गया तर्क है: $x_{n} = 2 \times x_{n-1} + 8 \times (n-1)$,जहाँ $n$ स्थान सूचक है जो $2$ से शुरू होता है।
दूसरी पंक्ति के लिए,हम $124$ से शुरू करते हैं और समान तर्क लागू करते हैं:
$(A) = 2 \times 124 + 8 \times 1 = 248 + 8 = 256$
$(B) = 2 \times 256 + 8 \times 2 = 512 + 16 = 528$
$(C) = 2 \times 528 + 8 \times 3 = 1056 + 24 = 1080$
$(D) = 2 \times 1080 + 8 \times 4 = 2160 + 32 = 2192$
$(E) = 2 \times 2192 + 8 \times 5 = 4384 + 40 = 4424$
अतः,$(C)$ पर मान $1080$ है।

(B) पहली पंक्ति में दी गई संख्याओं द्वारा अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$9 = (8 \times 1) + 1$
$65 = (7 \times 9) + 2$
$393 = (6 \times 65) + 3$
उसी पैटर्न को दूसरी पंक्ति में लागू करने पर:
$(A) = (8 \times 2) + 1 = 17$
$(B) = (7 \times 17) + 2 = 119 + 2 = 121$
$(C) = (6 \times 121) + 3 = 726 + 3 = 729$
अतः,$(C)$ के स्थान पर $729$ संख्या आएगी।

(B) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है: $x_{n+1} = \frac{x_n - 8}{2}$।
पहली पंक्ति की जाँच करने पर:
$420 = (848 - 8) / 2$
$206 = (420 - 8) / 2$
$99 = (206 - 8) / 2$
$45.5 = (99 - 8) / 2$
इसी तर्क का उपयोग दूसरी पंक्ति में $664$ से शुरू करते हुए करने पर:
$(A) = (664 - 8) / 2 = 328$
$(B) = (328 - 8) / 2 = 160$
$(C) = (160 - 8) / 2 = 76$
$(D) = (76 - 8) / 2 = 34$
अतः,$(D)$ का मान $34$ है।

(C) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है:
$8 \times 1 = 8$
$8 \times 1.5 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$24 \times 2.5 = 60$
$60 \times 3 = 180$
इसी तर्क को दूसरी पंक्ति में $36$ से शुरू करते हुए लागू करने पर:
$(A) = 36 \times 1 = 36$
$(B) = 36 \times 1.5 = 54$
$(C) = 54 \times 2 = 108$
$(D) = 108 \times 2.5 = 270$
$(E) = 270 \times 3 = 810$

(D) पहली पंक्ति में पैटर्न का अवलोकन करें:
$14 = 1 \times 6 + 8$
$35 = 2 \times 14 + 7$
$111 = 3 \times 35 + 6$
$449 = 4 \times 111 + 5$
इसी तर्क का उपयोग दूसरी पंक्ति के लिए करने पर:
$(A) = 1 \times 3 + 8 = 11$
$(B) = 2 \times 11 + 7 = 29$
$(C) = 3 \times 29 + 6 = 93$
$(D) = 4 \times 93 + 5 = 377$
$(E) = 5 \times 377 + 4 = 1889$
अतः,$(B)$ के स्थान पर $29$ आएगा।

(C) पहली पंक्ति में पैटर्न इस प्रकार है:
$49 = (8 \times 7) - 7$
$288 = (49 \times 6) - 6$
$1435 = (288 \times 5) - 5$
$5736 = (1435 \times 4) - 4$
इसी तर्क का उपयोग करते हुए दूसरी पंक्ति में $5$ से शुरू करने पर:
$(A) = (5 \times 7) - 7 = 35 - 7 = 28$
$(B) = (28 \times 6) - 6 = 168 - 6 = 162$
$(C) = (162 \times 5) - 5 = 810 - 5 = 805$
$(D) = (805 \times 4) - 4 = 3220 - 4 = 3216$
$(E) = (3216 \times 3) - 3 = 9648 - 3 = 9645$

(C) दी गई श्रेणी $A = \frac{1}{0.4} + \frac{1}{0.04} + \frac{1}{0.004} + \dots$ $8$ पदों तक है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$A = 2.5 + 25 + 250 + 2500 + \dots$ $8$ पदों तक।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 2.5$ और सार्व अनुपात $r = 10$ है।
$GP$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 8$,$a = 2.5$,और $r = 10$ है।
$A = \frac{2.5(10^8 - 1)}{10 - 1} = \frac{2.5(100000000 - 1)}{9} = \frac{2.5 \times 99999999}{9}$.
$A = 2.5 \times 11111111 = 27777777.5$.

(C) प्रथम $111$ पूर्ण संख्याएँ $0, 1, 2, \dots, 110$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 0$,अंतिम पद $l = 110$ और पदों की संख्या $n = 111$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
मान रखने पर: $S_{111} = \frac{111}{2}(0 + 110)$.
$S_{111} = \frac{111}{2} \times 110$.
$S_{111} = 111 \times 55$.
$S_{111} = 6105$.
$6105$ का इकाई अंक $5$ है।

(B) इस श्रेणी में $20$ पद हैं,जिन्हें दो अलग-अलग श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में $10$ पद हैं।
मान लीजिए $S = S_1 + S_2$,जहाँ $S_1 = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$ और $S_2 = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$.
$S_1$ के लिए,सामान्य पद $a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{4} [\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}]$ है।
$S_1$ का $n=1$ से $10$ तक योग: $S_1 = \frac{1}{4} [(\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{3 \times 5}) + (\frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{5 \times 7}) + \dots + (\frac{1}{19 \times 21} - \frac{1}{21 \times 23})] = \frac{1}{4} [\frac{1}{3} - \frac{1}{483}] = \frac{1}{4} [\frac{161-1}{483}] = \frac{160}{4 \times 483} = \frac{40}{483}$.
$S_2$ के लिए,सामान्य पद $b_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} [\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}]$ है।
$S_2$ का $n=1$ से $10$ तक योग: $S_2 = \frac{1}{3} [(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{28} - \frac{1}{31})] = \frac{1}{3} [1 - \frac{1}{31}] = \frac{1}{3} [\frac{30}{31}] = \frac{10}{31}$.
कुल योग $S = S_1 + S_2 = \frac{40}{483} + \frac{10}{31} = \frac{40 \times 31 + 10 \times 483}{483 \times 31} = \frac{1240 + 4830}{14973} = \frac{6070}{14973}$.

(D) दी गई श्रेणी $14^{3} + 16^{3} + 18^{3} + \ldots + 30^{3}$ है।
इसे $\sum_{k=7}^{15} (2k)^{3} = 8 \sum_{k=7}^{15} k^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
घनों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}$ है।
हमें $8 [(\sum_{k=1}^{15} k^{3}) - (\sum_{k=1}^{6} k^{3})]$ की गणना करनी है।
$\sum_{k=1}^{15} k^{3} = [\frac{15 \times 16}{2}]^{2} = (120)^{2} = 14400$.
$\sum_{k=1}^{6} k^{3} = [\frac{6 \times 7}{2}]^{2} = (21)^{2} = 441$.
योग $= 8 \times (14400 - 441) = 8 \times 13959 = 111672$.

(NONE) दिया गया है:
प्रथम पद $(a)$ = $20$
अंतिम पद $(l)$ = $28$
पदों की संख्या $(n)$ = $17$
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों,तो समांतर श्रेणी के योग का सूत्र है:
$S_n = \frac{n}{2} (a + l)$
मान रखने पर:
$S_{17} = \frac{17}{2} (20 + 28)$
$S_{17} = \frac{17}{2} (48)$
$S_{17} = 17 \times 24$
$S_{17} = 408$

(D) दिया गया है:
प्रथम पद $(a)$ = $7$
अंतिम पद $(l)$ = $55$
पदों की संख्या $(n)$ = $9$
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों,तो समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र है:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
मान रखने पर:
$S_9 = \frac{9}{2}(7 + 55)$
$S_9 = \frac{9}{2}(62)$
$S_9 = 9 \times 31$
$S_9 = 279$

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = -10$,अंतिम पद $l = 26$,और पदों की संख्या $n = 13$ है।
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों,तो समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$S_{13} = \frac{13}{2}(-10 + 26)$
$S_{13} = \frac{13}{2}(16)$
$S_{13} = 13 \times 8$
$S_{13} = 104$.
अतः,प्रथम $13$ पदों का योग $104$ है।

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। समांतर श्रेणी का $n^{th}$ पद $t_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$t_3 = a + 2d = -9$ --- (समीकरण $1$)
$t_7 = a + 6d = 11$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 11 - (-9)$
$4d = 20$
$d = 5$
$d = 5$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 2(5) = -9$
$a + 10 = -9$
$a = -19$
अब,$15^{th}$ पद $(t_{15})$ ज्ञात करते हैं:
$t_{15} = a + 14d$
$t_{15} = -19 + 14(5)$
$t_{15} = -19 + 70$
$t_{15} = 51$

(A) दी गई श्रृंखला $3, 7, 16, 35, 70, 153$ है।
आइए पैटर्न का विश्लेषण करें:
$3 \times 2 + 1 = 7$
$7 \times 2 + 2 = 16$
$16 \times 2 + 3 = 35$
$35 \times 2 + 4 = 74$
$74 \times 2 + 5 = 153$
इस पैटर्न की तुलना करने पर,पद $70$ गलत है क्योंकि पैटर्न के अनुसार उस स्थान पर $74$ होना चाहिए।
अतः,गलत संख्या $70$ है।

(D) दी गई श्रृंखला दो अलग-अलग श्रृंखलाओं का मिश्रण है।
श्रृंखला $1$: $123, 106, 89, \dots$
तर्क: $123 - 17 = 106$,$106 - 17 = 89$.
श्रृंखला $2$: $140, 157, ?$
तर्क: $140 + 17 = 157$,$157 + 17 = 174$.
अतः,लुप्त संख्या $174$ है।

(C) दी गई श्रृंखला में तर्क यह है कि प्रत्येक पद पिछले पद को $2$ से विभाजित करके और फिर $1$ घटाकर प्राप्त किया जाता है।
$190 \div 2 - 1 = 95 - 1 = 94$
$94 \div 2 - 1 = 47 - 1 = 46$
$46 \div 2 - 1 = 23 - 1 = 22$
$22 \div 2 - 1 = 11 - 1 = 10$
जाँच करने के लिए,$10 \div 2 - 1 = 5 - 1 = 4$,जो अंतिम पद है।
अतः,लुप्त संख्या $10$ है।

(B) यह श्रृंखला $6 \times n$ के घटाव का पालन करती है,जहाँ $n$ अंतरों की एक श्रृंखला है।
$320 - 6 \times 0 = 320$
$320 - 6 \times 1 = 314$
$314 - 6 \times 4 = 290$
$290 - 6 \times 10 = 230$
गुणकों की श्रृंखला $0, 1, 4, 10, 20$ है। इन गुणकों के बीच का अंतर $1, 3, 6, 10$ है,जो त्रिकोणीय संख्याएँ हैं।
गुणकों की श्रृंखला में अगला पद $10 + 10 = 20$ है।
इसलिए,अगला पद $230 - 6 \times 20 = 230 - 120 = 110$ होगा।

(D) इस श्रृंखला में अपनाई गई पद्धति इस प्रकार है:
$3 \times 1 + 1 = 4$
$4 \times 2 + 1 = 9$
$9 \times 3 + 1 = 28$
$28 \times 4 + 1 = 113$
इसी तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$113 \times 5 + 1 = 565 + 1 = 566$
अतः,लुप्त संख्या $566$ है।

(C) यह श्रृंखला क्रमिक विषम संख्याओं के गुणनफल को $2$ से विभाजित करने के पैटर्न का पालन करती है:
$8 \times 0.5 = 4$
$4 \times 1.5 = 6$
$6 \times 2.5 = 15$
$15 \times 3.5 = 52.5$
$52.5 \times 4.5 = 236.25$
अतः,लुप्त संख्या $52.5$ है।

(D) दी गई श्रृंखला $3, 5, 13, 49, 241, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न को देखें:
$3 \times 2 - 1 = 5$
$5 \times 3 - 2 = 13$
$13 \times 4 - 3 = 49$
$49 \times 5 - 4 = 241$
यह श्रृंखला इस नियम का पालन करती है: $(\text{पिछला पद} \times n) - (n - 1)$,जहाँ $n$ का मान $2$ से शुरू होता है और प्रत्येक चरण में $1$ बढ़ता है।
इसी तर्क के अनुसार अगला पद:
$241 \times 6 - 5 = 1446 - 5 = 1441$.
अतः,लुप्त संख्या $1441$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $7, 13, 31, 85, 247, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न का अवलोकन करें:
$7 \times 3 - 8 = 13$
$13 \times 3 - 8 = 31$
$31 \times 3 - 8 = 85$
$85 \times 3 - 8 = 247$
इसी पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद है:
$247 \times 3 - 8 = 741 - 8 = 733$
अतः,लुप्त संख्या $733$ है।

(B) माना दी गई श्रृंखला $5, 7, 17, 47, 115, x$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$7 - 5 = 2$
$17 - 7 = 10$
$47 - 17 = 30$
$115 - 47 = 68$
अब,अंतर का दूसरा स्तर ज्ञात करें:
$10 - 2 = 8$
$30 - 10 = 20$
$68 - 30 = 38$
अब,अंतर का तीसरा स्तर ज्ञात करें:
$20 - 8 = 12$
$38 - 20 = 18$
तीसरे स्तर के अंतर में पैटर्न देखें: $12, 18$। अंतर हर बार $6$ बढ़ रहा है। इसलिए,तीसरे स्तर में अगला अंतर $18 + 6 = 24$ होना चाहिए।
अब,$x$ ज्ञात करने के लिए पीछे की ओर गणना करें:
अगला दूसरे स्तर का अंतर $= 38 + 24 = 62$।
अगला प्रथम स्तर का अंतर $= 68 + 62 = 130$।
अतः,$x = 115 + 130 = 245$।

(B) दी गई श्रृंखला $508, 256, 130, 67, 35.5, ?$ है।
पैटर्न का अवलोकन करें:
$508 \div 2 + 2 = 254 + 2 = 256$
$256 \div 2 + 2 = 128 + 2 = 130$
$130 \div 2 + 2 = 65 + 2 = 67$
$67 \div 2 + 2 = 33.5 + 2 = 35.5$
अगले पद के लिए इसी तर्क का पालन करते हुए:
$35.5 \div 2 + 2 = 17.75 + 2 = 19.75$
अतः,लुप्त संख्या $19.75$ है।

(C) यह श्रृंखला $(n + 1) \times \frac{k}{2}$ के नियम का पालन करती है,जहाँ $k$ विषम संख्याओं की बढ़ती हुई श्रृंखला $(1, 3, 5, 7, 9, \dots)$ है।
चरण $1$: $(17 + 1) \times \frac{1}{2} = 18 \times 0.5 = 9$
चरण $2$: $(9 + 1) \times \frac{3}{2} = 10 \times 1.5 = 15$
चरण $3$: $(15 + 1) \times \frac{5}{2} = 16 \times 2.5 = 40$
चरण $4$: $(40 + 1) \times \frac{7}{2} = 41 \times 3.5 = 143.5$
चरण $5$: $(143.5 + 1) \times \frac{9}{2} = 144.5 \times 4.5 = 650.25$

(B) दी गई श्रृंखला $40960, 10240, 2560, 640, 200, 40, 10$ है।
क्रमागत पदों के बीच के तर्क का अवलोकन करें:
$40960 \div 4 = 10240$
$10240 \div 4 = 2560$
$2560 \div 4 = 640$
$640 \div 4 = 160$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,$200$ गलत पद है,क्योंकि अपेक्षित मान $160$ है।
$160$ के साथ श्रृंखला को आगे बढ़ाने पर:
$160 \div 4 = 40$
$40 \div 4 = 10$
अतः,श्रृंखला में गलत संख्या $200$ है।

(A) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$45 - 41 = 4 = 2^2$
$61 - 45 = 16 = 4^2$
$97 - 61 = 36 = 6^2$
$181 - 97 = 84$ (यह $8^2 = 64$ नहीं है)
$261 - 181 = 80$
$405 - 261 = 144 = 12^2$
यदि हम सम संख्याओं के वर्गों $(2^2, 4^2, 6^2, 8^2, 10^2, 12^2)$ को जोड़ने के पैटर्न का पालन करें:
$41 + 4 = 45$
$45 + 16 = 61$
$61 + 36 = 97$
$97 + 64 = 161$
$161 + 100 = 261$
$261 + 144 = 405$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,$181$ गलत पद है और इसके स्थान पर $161$ होना चाहिए।

(D) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$30 - 16 = 14$
$58 - 30 = 28$
$114 - 58 = 56$
$226 - 114 = 112$
$496 - 226 = 270$
$898 - 496 = 402$
अंतर का पैटर्न $14, 28, 56, 112, 224, 448, \dots$ है (प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है)।
यदि हम $226$ से इस पैटर्न का पालन करें,तो अगला अंतर $224$ होना चाहिए।
$226 + 224 = 450$.
इसके बाद,अगला अंतर $448$ होना चाहिए।
$450 + 448 = 898$.
चूंकि $898$ सही है,इसलिए $496$ विषम संख्या है,क्योंकि इसके स्थान पर $450$ होना चाहिए।

(D) श्रृंखला का पैटर्न $\times 1 + 5.5, \times 2 + 5.5, \times 3 + 5.5, \times 4 + 5.5, \times 5 + 5.5, \times 6 + 5.5$ है।
पदों की गणना:
$15 \times 1 + 5.5 = 20.5$
$20.5 \times 2 + 5.5 = 46.5$
$46.5 \times 3 + 5.5 = 145$
$145 \times 4 + 5.5 = 585.5$
$585.5 \times 5 + 5.5 = 2933$
$2933 \times 6 + 5.5 = 17603.5$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,$21.5$ पद गलत है और इसके स्थान पर $20.5$ होना चाहिए।

(D) श्रृंखला का पैटर्न $\times 1 + 1^2, \times 2 + 2^2, \times 3 + 3^2, \times 4 + 4^2, \times 5 + 5^2, \times 6 + 6^2$ है।
गणना:
$5 \times 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6$
$6 \times 2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$
$16 \times 3 + 3^2 = 48 + 9 = 57$
$57 \times 4 + 4^2 = 228 + 16 = 244$
$244 \times 5 + 5^2 = 1220 + 25 = 1245$
$1245 \times 6 + 6^2 = 7470 + 36 = 7506$
अतः,दी गई श्रृंखला में $246$ गलत है और इसके स्थान पर $244$ होना चाहिए।

(B) श्रृंखला का पैटर्न पिछले अंतर में $3$ के गुणज जोड़ने पर आधारित है:
$13 - 2 = 11$
$46 - 13 = 33$ $(11 \times 3)$
$145 - 46 = 99$ $(33 \times 3)$
$442 - 145 = 297$ $(99 \times 3)$
$1333 - 442 = 891$ $(297 \times 3)$
$4006 - 1333 = 2673$ $(891 \times 3)$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,$452$ गलत है क्योंकि अंतर $452 - 145 = 307$ है,जो पैटर्न का पालन नहीं करता है। सही पद $442$ होना चाहिए।

(A) दी गई श्रृंखला $n^{3} - 1$ के पैटर्न का पालन करती है,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है जो $1$ से शुरू होती है।
$n=1$ के लिए: $1^{3} - 1 = 1 - 1 = 0$
$n=2$ के लिए: $2^{3} - 1 = 8 - 1 = 7$
$n=3$ के लिए: $3^{3} - 1 = 27 - 1 = 26$
$n=4$ के लिए: $4^{3} - 1 = 64 - 1 = 63$
$n=5$ के लिए: $5^{3} - 1 = 125 - 1 = 124$
$n=6$ के लिए: $6^{3} - 1 = 216 - 1 = 215$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,अंतिम पद $217$ है,लेकिन पैटर्न के अनुसार यह $215$ होना चाहिए। अतः,$217$ श्रृंखला में विषम संख्या है।

(A) श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है:
$7 \times 1 + 1 = 8$
$8 \times 2 + 2 = 18$
$18 \times 3 + 3 = 57$
इसी तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$57 \times 4 + 4 = 228 + 4 = 232$
अतः,लुप्त संख्या $232$ है।

(D) श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है:
$7 + 4 = 11$
$11 + 8 = 19$
$19 + 16 = 35$
$35 + 32 = 67$
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2$ की घात है $(4, 8, 16, 32)$।
अतः,अगला पद $35 + 32 = 67$ है।

(C) दी गई श्रृंखला इस पैटर्न का पालन करती है: $x_{n+1} = (x_n \times 2) + 1$.
चरण $1$: $5 \times 2 + 1 = 11$.
चरण $2$: $11 \times 2 + 1 = 23$.
चरण $3$: $23 \times 2 + 1 = 47$.
चरण $4$: $47 \times 2 + 1 = 95$.
अतः,लुप्त संख्या $47$ है।

(D) श्रृंखला $17, 22, 52, 165, ?$ में अगली संख्या ज्ञात करने के लिए,हम क्रमिक पदों के बीच के पैटर्न का विश्लेषण करते हैं:
$17 \times 1 + 5 = 22$
$22 \times 2 + 8 = 52$
$52 \times 3 + 9 = 165$
$165 \times 4 + 8 = 668$
वैकल्पिक रूप से,जोड़ी जाने वाली संख्याओं के पैटर्न $(5, 8, 9, 8)$ को देखने पर:
गुणक $1, 2, 3, 4$ हैं।
जोड़ी जाने वाली संख्याओं में एक पैटर्न है जहाँ दूसरा अंतर स्थिर $(-2)$ है:
$5 \xrightarrow{+3} 8 \xrightarrow{+1} 9 \xrightarrow{-1} 8$
अंतर: $3, 1, -1$। इनके बीच का अंतर $-2$ है।
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद $165 \times 4 + 8 = 660 + 8 = 668$ है।

(A) यह श्रृंखला क्रमिक अभाज्य संख्याओं के गुणनफल पर आधारित है:
$2 \times 3 = 6$
$6 \times 5 = 30$
$30 \times 7 = 210$
$210 \times 11 = 2310$
$2310 \times 13 = 30030$
अतः,लुप्त पद $x = 2310$ है।

(D) दी गई श्रृंखला गुणा और घटाव के एक विशिष्ट वैकल्पिक पैटर्न का पालन करती है:
$3 \times 6 = 18$
$18 - 6 = 12$
$12 \times 6 = 72$
$72 - 6 = 66$
$66 \times 6 = 396$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला चरण अंतिम संख्या में से $6$ घटाना है:
$396 - 6 = 390$
अतः,लुप्त संख्या $390$ है।

(A) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$5555 - 5506 = 49 = 7^2$
$5506 - 5425 = 81 = 9^2$
$5425 - 5304 = 121 = 11^2$
$5304 - 5135 = 169 = 13^2$
$5135 - 4910 = 225 = 15^2$
$4910 - 4621 = 289 = 17^2$
दी गई श्रृंखला $5531, 5506, 5425, 5344, 5135, 4910, 4621$ की तुलना पैटर्न से करने पर,$5531$ गलत पद है और इसके स्थान पर $5555$ होना चाहिए,साथ ही $534$ के स्थान पर $5344$ होना चाहिए। अतः,$5531$ विषम संख्या है।

(B) दी गई श्रृंखला $6, 7, 9, 13, 26, 37, 69$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$7 - 6 = 1$
$9 - 7 = 2$
$13 - 9 = 4$
$21 - 13 = 8$
$37 - 21 = 16$
$69 - 37 = 32$
अंतर का पैटर्न $1, 2, 4, 8, 16, 32$ है,जो $2$ की घात $(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5)$ के अनुरूप है।
मूल श्रृंखला में $21$ के स्थान पर $26$ मौजूद है। अतः,$26$ श्रृंखला की विषम संख्या है।

(D) आइए श्रृंखला में पैटर्न का विश्लेषण करें:
$1 \times 1 + 2 = 3$
$3 \times 2 + 4 = 10$
$10 \times 3 + 6 = 36$
$36 \times 4 + 8 = 152$
$152 \times 5 + 10 = 770$
$770 \times 6 + 12 = 4632$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,संख्या $760$ गलत है और इसके स्थान पर $770$ होना चाहिए।

(D) आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$3 - 4 = -1$
$9 - 3 = 6$
$34 - 9 = 25$
$96 - 34 = 62$
$219 - 96 = 123$
$435 - 219 = 216$
अब,अंतर का अंतर देखें:
$6 - (-1) = 7$
$25 - 6 = 19$
$62 - 25 = 37$
$123 - 62 = 61$
$216 - 123 = 93$
दूसरे अंतर हैं: $7, 19, 37, 61, 93$. तीसरे अंतर हैं:
$19 - 7 = 12$
$37 - 19 = 18$
$61 - 37 = 24$
$93 - 61 = 32$
तीसरे अंतर $12, 18, 24, 32$ हैं। पैटर्न $12, 18, 24, 30$ होना चाहिए। यदि अंतिम अंतर $32$ के बजाय $30$ होता,तो दूसरा अंतर $61 + 30 = 91$ होता और पहला अंतर $123 + 91 = 214$ होता। इस प्रकार,$219 + 214 = 433$। अतः,$435$ विषम संख्या है।