Number Series Questions in Hindi

(A) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$107 - 71 = 36 = 6^2$
$71 - 46 = 25 = 5^2$
$46 - 30 = 16 = 4^2$
$30 - 21 = 9 = 3^2$
$21 - 19 = 2 \neq 2^2$
$19 - 16 = 3 \neq 1^2$
वर्गों के पैटर्न $(6^2, 5^2, 4^2, 3^2)$ को देखते हुए,अगला अंतर $2^2 = 4$ और उसके बाद $1^2 = 1$ होना चाहिए।
यदि हम $19$ को $17$ से बदल दें,तो श्रृंखला $16, 17, 21, 30, 46, 71, 107$ हो जाती है।
अंतर इस प्रकार होंगे: $107-71=36 (6^2)$,$71-46=25 (5^2)$,$46-30=16 (4^2)$,$30-21=9 (3^2)$,$21-17=4 (2^2)$,और $17-16=1 (1^2)$।
अतः,श्रृंखला में गलत संख्या $19$ है।

(D) दी गई श्रृंखला फिबोनाची अनुक्रम के पैटर्न का पालन करती है,जहाँ प्रत्येक पद पिछले दो पदों का योग है।
$7 + 9 = 16$
$9 + 16 = 25$
$16 + 25 = 41$
$25 + 41 = 66$
$41 + 66 = 107$
$66 + 107 = 173$
दी गई श्रृंखला में,$68$ गलत संख्या है क्योंकि $25$ और $41$ का योग $66$ होता है,न कि $68$।

(C) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$4 \times 0.5 = 2$
$2 \times 1.5 = 3$
$3 \times 2.5 = 7.5$
$7.5 \times 3.5 = 26.25$
$26.25 \times 4.5 = 118.125$
दी गई श्रृंखला $4, 2, 3.5, 7.5, 26.25, 118.125$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि तीसरा पद $3.5$ गलत है। इसके स्थान पर $3$ होना चाहिए।

(B) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$16 \times 0.25 = 4$
$4 \times 0.5 = 2$
$2 \times 0.75 = 1.5$
$1.5 \times 1.0 = 1.5$
$1.5 \times 1.25 = 1.875$
दी गई श्रृंखला $16, 4, 2, 1.5, 1.75, 1.875$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि पद $1.75$ गलत है। सही पद $1.5$ होना चाहिए।

(C) क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न का अवलोकन करें:
$3 \times 3 + 1 = 10$
$10 \times 3 + 2 = 32$
$32 \times 3 + 4 = 100$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद होगा:
$100 \times 3 + 8 = 308$
अतः,अगला पद $308$ है।

(D) यह श्रृंखला निम्नलिखित नियम का पालन करती है: $\text{अगला पद} = (\text{पिछला पद} \times n) - 2$,जहाँ $n$ एक से शुरू होने वाला क्रम है।
चरण $1$: $5 \times 1 - 2 = 3$
चरण $2$: $3 \times 2 - 2 = 4$
चरण $3$: $4 \times 3 - 2 = 10$
चरण $4$: $10 \times 4 - 2 = 38$
अतः,लुप्त पद $10$ है।

(B) यह श्रृंखला इस नियम का पालन करती है: $(\text{पिछला पद} \times n) + n^2$,जहाँ $n$ पद का क्रम है।
$5 \times 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6$
$6 \times 2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$
$16 \times 3 + 3^2 = 48 + 9 = 57$
$57 \times 4 + 4^2 = 228 + 16 = 244$
अतः,लुप्त संख्या $16$ है।

(A) माना कि दी गई श्रृंखला $3, 10, 21, x, 51$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए:
$10 - 3 = 7$
$21 - 10 = 11$
यहाँ अंतर $7$ और $11$ है जो अभाज्य संख्याएँ हैं।
यदि हम अगले अंतर $13$ और $17$ लेते हैं,तो:
$21 + 13 = 34$
$34 + 17 = 51$
यह तर्क श्रृंखला को संतुष्ट करता है।
अतः,लुप्त संख्या $34$ है।

(D) इस श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न $x_n = x_{n-1} \times 2 + (2n - 3)$ है,जहाँ $n$ पद का क्रम है।
चरण $1$: $5 \times 2 + 1 = 11$
चरण $2$: $11 \times 2 + 3 = 25$
चरण $3$: $25 \times 2 + 5 = 55$
चरण $4$: $55 \times 2 + 7 = 117$
अतः,लुप्त संख्या $25$ है।

(A) दी गई श्रृंखला है: $12, 14, 17, 13, 8, 14, 21, 13, 4, ?$
आइए क्रमिक पदों के बीच के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$12 + 2 = 14$
$14 + 3 = 17$
$17 - 4 = 13$
$13 - 5 = 8$
$8 + 6 = 14$
$14 + 7 = 21$
$21 - 8 = 13$
$13 - 9 = 4$
यहाँ संक्रियाओं का पैटर्न है: $+2, +3, -4, -5, +6, +7, -8, -9, ...$
इस अनुक्रम का पालन करते हुए,अगली संक्रिया $+10$ होनी चाहिए।
अतः,अगली संख्या $4 + 10 = 14$ होगी।

(B) श्रृंखला का पैटर्न इस नियम द्वारा परिभाषित है: $a_{n+1} = (a_n \div 2) - 2$.
आइए पदों की जाँच करें:
$1788 \div 2 - 2 = 894 - 2 = 892$
$892 \div 2 - 2 = 446 - 2 = 444$
$444 \div 2 - 2 = 222 - 2 = 220$
$220 \div 2 - 2 = 110 - 2 = 108$
हालाँकि,दी गई श्रृंखला में $108$ के स्थान पर $112$ है।
$108$ के साथ अगले पद की जाँच करने पर: $108 \div 2 - 2 = 54 - 2 = 52$.
$52$ के साथ अगले पद की जाँच करने पर: $52 \div 2 - 2 = 26 - 2 = 24$.
चूँकि $108$ पैटर्न में फिट बैठता है और $112$ नहीं,इसलिए $112$ गलत संख्या है।

(D) आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$289 - 225 = 64 = 8^{2}$
$374 - 289 = 85$
$397 - 374 = 23$
$415 - 397 = 18$
$424 - 415 = 9 = 3^{2}$
आइए घटती हुई संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पैटर्न की फिर से जाँच करें:
$225 + 8^{2} = 225 + 64 = 289$
$289 + 7^{2} = 289 + 49 = 338$
$338 + 6^{2} = 338 + 36 = 374$
$374 + 5^{2} = 374 + 25 = 399$
$399 + 4^{2} = 399 + 16 = 415$
$415 + 3^{2} = 415 + 9 = 424$
दी गई श्रृंखला $(225, 289, 374, 397, 415, 424)$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $397$ गलत है क्योंकि यहाँ $399$ होना चाहिए।

(B) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$5 \times 1.5 = 7.5$
$7.5 \times 1.5 = 11.25$
$11.25 \times 1.5 = 16.875$
$16.875 \times 1.5 = 25.3125$
अंतरों की जाँच करने पर:
$7.5 - 5 = 2.5$
$11.25 - 7.5 = 3.75$
$17.5 - 11.25 = 6.25$
$29.75 - 17.5 = 12.25$
$50 - 29.75 = 20.25$
$91.25 - 50 = 41.25$
अंतरों के पैटर्न को देखने पर: $2.5, 3.75, 6.25, 12.25, 20.25, 41.25$।
यहाँ $17.5$ वह पद है जो श्रृंखला को बाधित करता है क्योंकि यह गुणोत्तर श्रेणी $a_n = a_{n-1} \times 1.5$ का पालन नहीं करता है।

(D) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$35 \times 2 + 48 = 118$
$118 \times 2 + 44 = 280$
$280 \times 2 + 40 = 600$
$600 \times 2 + 36 = 1236$
$1236 \times 2 + 32 = 2504$
$2504 \times 2 + 28 = 5036$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,पद $1238$ गलत है क्योंकि यहाँ $1236$ होना चाहिए।

(A) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$10 \times 1 + 2 = 12$
$12 \times 2 + 4 = 28$
$28 \times 3 + 6 = 90$
$90 \times 4 + 8 = 368$
$368 \times 5 + 10 = 1850$
$1850 \times 6 + 12 = 11112$
दी गई श्रृंखला $10, 12, 28, 90, 368, 1840, 1112$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $1840$ गलत है क्योंकि वहां $1850$ होना चाहिए,और परिणामस्वरूप अंतिम पद $1112$ भी पैटर्न के अनुसार गलत है। हालाँकि,विचलन के पहले बिंदु की पहचान करते हुए,$1840$ गलत संख्या है।

(B) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं से बनी है।
श्रृंखला $1$ (ऊपरी पंक्ति): $80, 130, 180, 230$। यहाँ,प्रत्येक पद में $50$ की वृद्धि होती है $(80+50=130, 130+50=180, 180+50=230)$।
श्रृंखला $2$ (निचली पंक्ति): $900, (A), (B), (C), (D), (E)$।
ऊपरी और निचली पंक्तियों के बीच संबंध को देखने पर:
$80 \rightarrow 900$ (अंतर $+820$ है)
$50 \rightarrow (A) = 900 - 30 = 870$
$130 \rightarrow (B) = 870 + 80 = 950$
$100 \rightarrow (C) = 950 - 30 = 920$
$180 \rightarrow (D) = 920 + 80 = 1000$
$150 \rightarrow (E) = 1000 - 30 = 970$
अतः,निचली पंक्ति के लिए पैटर्न $-30$ और $+80$ का है। इस प्रकार,$(E) = 970$ होगा।

(A) पहली श्रृंखला इस प्रकार की पैटर्न का पालन करती है:
$1st$ पद $= 60$
$2nd$ पद $= 60 \times 2 + 1 = 121$
$3rd$ पद $= 121 + 10 = 131$
$4th$ पद $= 131 \times 2 + 2 = 264$
$5th$ पद $= 264 + 20 = 284$
$6th$ पद $= 284 \times 2 + 3 = 571$
$7th$ पद $= 571 + 30 = 601$
इसी तर्क को दूसरी श्रृंखला पर लागू करने पर जो $120$ से शुरू होती है:
$1st$ पद $= 120$
$2nd$ पद $(A) = 120 \times 2 + 1 = 241$
$3rd$ पद $(B) = 241 + 10 = 251$
$4th$ पद $(C) = 251 \times 2 + 2 = 504$
$5th$ पद $(D) = 504 + 20 = 524$

(D) पहली श्रृंखला इस पैटर्न का पालन करती है: $x_{n+1} = x_n \times 2 + (n-1)$,जहाँ $n$ पद का क्रमांक है जो $1$ से शुरू होता है।
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 + 1 = 9$
$9 \times 2 + 2 = 20$
$20 \times 2 + 3 = 43$
$43 \times 2 + 4 = 90$
$3$ से शुरू होने वाली दूसरी श्रृंखला पर समान पैटर्न लागू करने पर:
$1$ला पद $= 3$
$2$रा पद $= 3 \times 2 = 6$ $(A)$
$3$रा पद $= 6 \times 2 + 1 = 13$ $(B)$
$4$था पद $= 13 \times 2 + 2 = 28$ $(C)$
$5$वां पद $= 28 \times 2 + 3 = 59$ $(D)$
$6$ठा पद $= 59 \times 2 + 4 = 122$ $(E)$
अतः,$(D)$ का मान $59$ है।

(C) दी गई श्रृंखला क्रमिक पूर्णांकों के वर्गों के बारी-बारी से योग और घटाव के पैटर्न का पालन करती है,जो $4^2, 3^2, 6^2, 5^2, 8^2, 7^2$ से शुरू होता है।
पहली पंक्ति के लिए:
$200 - 4^2 = 184$
$184 + 3^2 = 193$
$193 - 6^2 = 157$
$157 + 5^2 = 182$
$182 - 8^2 = 118$
$118 + 7^2 = 167$
इसी पैटर्न का उपयोग करते हुए दूसरी पंक्ति में $150$ से शुरुआत करने पर:
$(A) = 150 - 4^2 = 150 - 16 = 134$
$(B) = 134 + 3^2 = 134 + 9 = 143$
$(C) = 143 - 6^2 = 143 - 36 = 107$
$(D) = 107 + 5^2 = 107 + 25 = 132$
$(E) = 132 - 8^2 = 132 - 64 = 68$

(D) प्रथम श्रेणी का पैटर्न इस प्रकार है:
$1^{st}$ पद $= 4$
$2^{nd}$ पद $= 4 \times 3.5 = 14$
$3^{rd}$ पद $= 14 \times 3 = 42$
$4^{th}$ पद $= 42 \times 3.5 = 147$
$5^{th}$ पद $= 147 \times 4 = 588$
$6^{th}$ पद $= 588 \times 3.5 = 2058$
$7^{th}$ पद $= 2058 \times 5 = 10290$
इसी तर्क का उपयोग करते हुए दूसरी श्रेणी जो $8$ से शुरू होती है:
$1^{st}$ पद $= 8$
$2^{nd}$ पद $(A) = 8 \times 3.5 = 28$
$3^{rd}$ पद $(B) = 28 \times 3 = 84$
$4^{th}$ पद $(C) = 84 \times 3.5 = 294$
चूंकि $294$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है: $\times 1 + 1, \div 2 - 2, \times 3 + 3, \div 4 - 4, \times 5 + 5, \dots$
$19$ से शुरू होने वाली दूसरी पंक्ति के लिए:
$A = 19 \times 1 + 1 = 20$
$B = 20 \div 2 - 2 = 8$
$C = 8 \times 3 + 3 = 27$
$D = 27 \div 4 - 4 = 6.75 - 4 = 2.75$
$E = 2.75 \times 5 + 5 = 13.75 + 5 = 18.75$
अतः,$(E)$ के स्थान पर आने वाली संख्या $18.75$ है।

(B) यह श्रृंखला $4.5$ के गुणजों को जोड़ने के पैटर्न का पालन करती है $(4.5, 9.0, 13.5, 18.0, 22.5, \dots)$
दूसरी पंक्ति के लिए:
$A = 21 + 4.5 = 25.5$
$B = 25.5 + 9.0 = 34.5$
$C = 34.5 + 13.5 = 48.0$
$D = 48.0 + 18.0 = 66.0$
$E = 66.0 + 22.5 = 88.5$
अतः,$(E)$ के स्थान पर $88.5$ आएगा।

(B) पहली पंक्ति में तर्क इस प्रकार है: $12 \times 2 + 2 = 26$,$26 \div 2 - 2 = 11$,$11 \times 3 + 3 = 36$,$36 \div 3 - 3 = 9$.
इसी तर्क को दूसरी पंक्ति में $7$ से शुरू करते हुए लागू करने पर:
$A = 7 \times 2 + 2 = 16$
$B = 16 \div 2 - 2 = 6$
$C = 6 \times 3 + 3 = 21$
$D = 21 \div 3 - 3 = 4$
$E = 4 \times 4 + 4 = 20$
अतः,$(C)$ के स्थान पर $21$ आएगा।

(A) दी गई श्रृंखला $11, 28, 55, 92, 139, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए:
$28 - 11 = 17$
$55 - 28 = 27$
$92 - 55 = 37$
$139 - 92 = 47$
अंतर $17, 27, 37, 47$ हैं,जो $10$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं।
श्रृंखला में अगला अंतर $47 + 10 = 57$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $139 + 57 = 196$ है।

(D) यह श्रृंखला $3$ से शुरू होने वाली क्रमिक विषम संख्याओं के साथ गुणा करने के पैटर्न का पालन करती है।
$1^{st}$ पद: $2$
$2^{nd}$ पद: $2 \times 3 = 6$
$3^{rd}$ पद: $6 \times 5 = 30$
$4^{th}$ पद: $30 \times 7 = 210$
$5^{th}$ पद: $210 \times 9 = 1890$
$6^{th}$ पद: $1890 \times 11 = 20790$
दी गई श्रृंखला $2, 6, 30, 210, 2520, 20790$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $2520$ गलत संख्या है,क्योंकि इसके स्थान पर $1890$ होना चाहिए।

(C) दिया गया अनुक्रम $0, 3, 8, 15, 24, 35, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर देखें:
$3 - 0 = 3$
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$35 - 24 = 11$
अंतर क्रमागत विषम संख्याएँ हैं: $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$
इसलिए,अगला अंतर $13$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $35 + 13 = 48$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,यह अनुक्रम $n^2 - 1$ के पैटर्न का पालन करता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$:
$1^2 - 1 = 0$
$2^2 - 1 = 3$
$3^2 - 1 = 8$
$4^2 - 1 = 15$
$5^2 - 1 = 24$
$6^2 - 1 = 35$
$7^2 - 1 = 48$
अतः,अगली संख्या $48$ है।

(A) दी गई श्रृंखला $1, 6, 27, 108, \dots$ है।
आइए पैटर्न का विश्लेषण करें:
$1 \times 3^0 = 1$
$2 \times 3^1 = 6$
$3 \times 3^2 = 27$
$4 \times 3^3 = 108$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $5 \times 3^4$ होना चाहिए।
$5 \times 81 = 405$।
अतः,श्रृंखला का अगला पद $405$ है।

(B) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$4 \times 2 + 2 = 10$
$10 \times 3 + 3 = 33$
$33 \times 4 + 4 = 136$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$136 \times 5 + 5 = 680 + 5 = 685$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $n = 1, 2, 3, 4, 5, \dots$ के लिए $n^{3} + n^{2}$ के पैटर्न का पालन करती है।
$n=1$ के लिए: $1^{3} + 1^{2} = 1 + 1 = 2$
$n=2$ के लिए: $2^{3} + 2^{2} = 8 + 4 = 12$
$n=3$ के लिए: $3^{3} + 3^{2} = 27 + 9 = 36$
$n=4$ के लिए: $4^{3} + 4^{2} = 64 + 16 = 80$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n=5$ के लिए अगला पद है:
$5^{3} + 5^{2} = 125 + 25 = 150$

(D) क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न का निरीक्षण करें:
$2 \times 3 + 12 = 18$
$18 \times 3 + 12 = 66$
$66 \times 3 + 12 = 210$
$210 \times 3 + 12 = 642$
वैकल्पिक रूप से,प्रत्येक पद $T_n$ नियम $T_{n+1} = (T_n + 4) \times 3$ का पालन करता है।
अंतिम पद पर इसे लागू करने पर:
$(642 + 4) \times 3 = 646 \times 3 = 1938$.

(A) दी गई श्रृंखला $8, 64, 216, 512, \dots$ है।
इन संख्याओं को सम संख्याओं के घन के रूप में लिखा जा सकता है:
$2^3 = 8$
$4^3 = 64$
$6^3 = 216$
$8^3 = 512$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $10$ का घन होना चाहिए।
अतः,$10^3 = 1000$।

(B) माना कि दी गई श्रेणी $S = 3, 13, 27, 50, 87, 143, \dots$ है।
चरण $1$: प्रथम अंतर ज्ञात करें:
$13 - 3 = 10$
$27 - 13 = 14$
$50 - 27 = 23$
$87 - 50 = 37$
$143 - 87 = 56$
प्रथम अंतर की श्रेणी $10, 14, 23, 37, 56$ है।
चरण $2$: द्वितीय अंतर ज्ञात करें:
$14 - 10 = 4$
$23 - 14 = 9$
$37 - 23 = 14$
$56 - 37 = 19$
द्वितीय अंतर की श्रेणी $4, 9, 14, 19$ है।
चरण $3$: तृतीय अंतर ज्ञात करें:
$9 - 4 = 5$
$14 - 9 = 5$
$19 - 14 = 5$
तृतीय अंतर $5$ स्थिर है।
चरण $4$: श्रेणी को आगे बढ़ाएं:
द्वितीय अंतर की श्रेणी का अगला पद $19 + 5 = 24$ होगा।
प्रथम अंतर की श्रेणी का अगला पद $56 + 24 = 80$ होगा।
दी गई श्रेणी का अगला पद $143 + 80 = 223$ होगा।

(C) आइए दी गई श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें: $4, 30, 160, 810, 4060, \dots$
चरण $1$: $(4 + 2) \times 5 = 6 \times 5 = 30$
चरण $2$: $(30 + 2) \times 5 = 32 \times 5 = 160$
चरण $3$: $(160 + 2) \times 5 = 162 \times 5 = 810$
चरण $4$: $(810 + 2) \times 5 = 812 \times 5 = 4060$
इसी पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद है:
$(4060 + 2) \times 5 = 4062 \times 5 = 20310$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) क्रमागत पदों के बीच का अनुपात ज्ञात करके श्रृंखला के पैटर्न को समझें:
$72 / 108 = 2/3$
$48 / 72 = 2/3$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रत्येक पद को $2/3$ से गुणा करने पर अगला पद प्राप्त होता है।
माना लुप्त पद $x$ है।
अतः,$x = 243 \times (2/3) = 81 \times 2 = 162$.
सत्यापन के लिए,$162 \times (2/3) = 54 \times 2 = 108$.
यह पैटर्न सही है। अतः,लुप्त संख्या $162$ है।

(C) दी गई श्रृंखला में पैटर्न का अवलोकन करें: $24, 96, 384, 1536$।
$24 \times 4 = 96$
$96 \times 4 = 384$
$384 \times 4 = 1536$
प्रत्येक पद पिछले पद को $4$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$24$ से पहले लुप्त पद $(x)$ ज्ञात करने के लिए: $x \times 4 = 24$।
$x = 24 / 4 = 6$।
अतः,लुप्त पद $6$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $336, 210, 120, x, 24$ है।
घनों (cubes) पर आधारित पैटर्न का अवलोकन करें:
$336 = 7^3 - 7 = 343 - 7 = 336$
$210 = 6^3 - 6 = 216 - 6 = 210$
$120 = 5^3 - 5 = 125 - 5 = 120$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $4^3 - 4 = 64 - 4 = 60$ होना चाहिए।
अंतिम पद की जाँच करने पर: $3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$।
अतः,लुप्त पद $60$ है।

(C) श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है:
$5 \times 2 + 4 = 14$
$14 \times 2 + 4 = 32$
$32 \times 2 + 4 = 68$
$68 \times 2 + 4 = 140$
अतः,लुप्त पद $68$ है।

(A) श्रृंखला में तर्क का अवलोकन करें:
$2 \times 4 + 12 = 20$
$20 \times 4 + 12 = 92$
$92 \times 4 + 14 = 382$
$382 \times 4 + 4 = 1532$
अतः, श्रृंखला में लुप्त पद $92$ है।

(C) दी गई श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$5 = 1^2 + 4$
$10 = 2^2 + 6$ (यह पद $n^2 + 4$ के पैटर्न का पालन नहीं करता है)
$13 = 3^2 + 4$
$20 = 4^2 + 4$
$29 = 5^2 + 4$
$10$ को छोड़कर सभी पद $n^2 + 4$ के पैटर्न का पालन करते हैं,जहाँ $n$ पद का क्रम है।
अतः,विषम पद $10$ है।

(C) दी गई श्रृंखला का विश्लेषण करते हैं: $4096, 3072, 2048, 1728, 1296$।
यहाँ,$1728$ एक पूर्ण घन संख्या है,क्योंकि $12^3 = 1728$ $(12 \times 12 \times 12 = 1728)$ होता है।
अन्य संख्याएँ जैसे $4096, 3072, 2048,$ और $1296$ पूर्ण घन नहीं हैं।
अतः,$1728$ विषम पद है।

(C) दी गई श्रृंखला $n = 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए $n^{3} + n$ पैटर्न का पालन करती है।
$n=1$ के लिए: $1^{3} + 1 = 1 + 1 = 2$
$n=2$ के लिए: $2^{3} + 2 = 8 + 2 = 10$
$n=3$ के लिए: $3^{3} + 3 = 27 + 3 = 30$
$n=4$ के लिए: $4^{3} + 4 = 64 + 4 = 68$
$n=5$ के लिए: $5^{3} + 5 = 125 + 5 = 130$
दी गई श्रृंखला $2, 10, 30, 70, 130$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $70$ गलत पद है क्योंकि सही मान $68$ होना चाहिए।
अतः,विषम संख्या $70$ है।

(D) दिए गए अनुक्रम का विश्लेषण करें: $10, 25, 49, 81, 121$।
संख्याओं के पैटर्न का अवलोकन करें:
$25 = 5^2$
$49 = 7^2$
$81 = 9^2$
$121 = 11^2$
$10$ को छोड़कर सभी संख्याएँ $5$ से शुरू होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं के वर्ग हैं।
अतः,$10$ विषम संख्या है।

(C) आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$190 - 166 = 24$
$166 - 145 = 21$
$145 - 128 = 17$
$128 - 112 = 16$
$112 - 100 = 12$
$100 - 91 = 9$
अब,अंतरों का अंतर देखें:
$24 - 21 = 3$
$21 - 17 = 4$
$17 - 16 = 1$
अंतर का पैटर्न आदर्श रूप से $24, 21, 18, 15, 12, 9$ जैसी घटती हुई श्रृंखला होनी चाहिए।
यदि हम $128$ को $127$ से बदल दें,तो श्रृंखला $190, 166, 145, 127, 112, 100, 91$ हो जाती है।
अंतर इस प्रकार होंगे:
$190 - 166 = 24$
$166 - 145 = 21$
$145 - 127 = 18$
$127 - 112 = 15$
$112 - 100 = 12$
$100 - 91 = 9$
यह एक सुसंगत पैटर्न बनाता है जहाँ अंतर हर बार $3$ कम हो जाता है।
इसलिए,$128$ विषम पद है।

(C) यह श्रृंखला $2$ से गुणा करके $1$ जोड़ने और फिर $3$ से गुणा करके $1$ जोड़ने के एकांतर क्रम का पालन करती है।
$1 \times 2 + 1 = 3$
$3 \times 3 + 1 = 10$
$10 \times 2 + 1 = 21$
$21 \times 3 + 1 = 64$
$64 \times 2 + 1 = 129$
$129 \times 3 + 1 = 388$ ($356$ के स्थान पर)
$388 \times 2 + 1 = 777$
चूंकि $356$ इस तर्क का पालन नहीं करता है,इसलिए यह विषम पद है।

(C) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$445 \div 2 - 1 = 222.5 - 1 = 221.5$ (लगभग $221$)
$221 \div 2 - 1 = 110.5 - 1 = 109.5$ (लगभग $109$)
$109 \div 2 - 1 = 54.5 - 1 = 53.5$ (अपेक्षित $53.5$ है,लेकिन $46$ दिया गया है)
$53.5 \div 2 - 1 = 26.75 - 1 = 25.75$ (लगभग $25$)
$25 \div 2 - 1 = 12.5 - 1 = 11.5$ (लगभग $11$)
$11 \div 2 - 1 = 5.5 - 1 = 4.5$ (लगभग $4$)
$(x \div 2 - 1)$ पैटर्न का पालन करते हुए,संख्या $46$ श्रृंखला में फिट नहीं होती है क्योंकि अपेक्षित मान $53.5$ है।

(B) पहली पंक्ति के लिए पैटर्न इस प्रकार है:
$4 \times 1 + 2 = 6$
$6 \times 2 + 3 = 15$
$15 \times 3 + 4 = 49$
$49 \times 4 + 5 = 201$
$201 \times 5 + 6 = 1011$
उसी तर्क का उपयोग करते हुए दूसरी पंक्ति में $15$ से शुरुआत करने पर:
$A = 15 \times 1 + 2 = 17$
$B = 17 \times 2 + 3 = 37$
$C = 37 \times 3 + 4 = 115$
$D = 115 \times 4 + 5 = 465$
अतः,$D$ का मान $465$ है।

(B) यह श्रृंखला निम्नलिखित तर्क का पालन करती है: $\times 1^2 + 1^2, \times 2 - 2, \times 3^2 + 3^2, \times 4 - 4, \dots$
चरण $1$: $A = 4 \times 1^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ की गणना करें।
चरण $2$: $B = 5 \times 2 - 2 = 10 - 2 = 8$ की गणना करें।
चरण $3$: $C = 8 \times 3^2 + 3^2 = 8 \times 9 + 9 = 72 + 9 = 81$ की गणना करें।
अतः,$C$ का मान $81$ है।

(D) यह श्रृंखला एकांतर पदों के लिए एक विशिष्ट तर्क का पालन करती है।
दिए गए विकल्पों और श्रृंखला के तर्क के अनुसार,$B$ का मान $228$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $228$ है।

(A) पहली पंक्ति और दूसरी पंक्ति की संख्याओं के बीच के संबंध का अवलोकन करें।
दूसरी पंक्ति में पहली संख्या $34$ है।
तर्क के अनुसार,प्रत्येक अंक में $2$ जोड़ने पर:
$3+2 = 5$
$4+2 = 6$
अतः,$A = 56$ प्राप्त होता है।

(D) पहली पंक्ति में पैटर्न का अवलोकन करें:
$(-1) \times 5 + 5 = 0$
$0 \times 5 + 10 = 10$
$10 \times 5 + 15 = 65$
$65 \times 5 + 20 = 345$
$345 \times 5 + 25 = 1750$
अब $-2$ से शुरू करके दूसरी पंक्ति में वही तर्क लागू करें:
$A = (-2) \times 5 + 5 = -10 + 5 = -5$
$B = (-5) \times 5 + 10 = -25 + 10 = -15$
$C = (-15) \times 5 + 15 = -75 + 15 = -60$
$D = (-60) \times 5 + 20 = -300 + 20 = -280$
$E = (-280) \times 5 + 25 = -1400 + 25 = -1375$
अतः,$E$ का मान $-1375$ है।