Textbook - Constructions Questions in Hindi

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $OA$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और एक उपयुक्त त्रिज्या लेकर,एक अर्धवृत्त खींचिए,जो $OA$ को $B$ पर काटता है।
$III.$ त्रिज्या को समान रखते हुए,अर्धवृत्त को तीन बराबर भागों में विभाजित कीजिए ताकि $\widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$ हो।
$IV.$ किरणें $\overrightarrow{OC}$ और $\overrightarrow{OD}$ खींचिए।
$V.$ $\angle COD$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{OF}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\angle AOF = 90^{\circ}$।
औचित्य:
चूंकि $O$ अर्धवृत्त का केंद्र है और यह $3$ बराबर भागों में विभाजित है,
$\therefore \widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$।
$\Rightarrow \angle BOC = \angle COD = \angle DOE$।
चूंकि समान चाप केंद्र पर समान कोण अंतरित करते हैं,और $\angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 180^{\circ}$ है,इसलिए $3 \angle BOC = 180^{\circ}$।
$\therefore \angle BOC = 60^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle COD = 60^{\circ}$ और $\angle DOE = 60^{\circ}$।
चूंकि $OF$,$\angle COD$ का समद्विभाजक है,
$\therefore \angle COF = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$।
अब,$\angle BOF = \angle BOC + \angle COF = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle AOF = 90^{\circ}$।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{OA}$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और एक उपयुक्त त्रिज्या लेकर,एक अर्धवृत्त खींचिए जो $\overrightarrow{OA}$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करे।
$III.$ $B$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या से,अर्धवृत्त पर $C$ चाप लगाइए। इसी प्रकार,अर्धवृत्त पर $D$ और $E$ चाप लगाइए,ताकि $\widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$ हो।
$IV.$ $\angle BOC$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{OF}$ खींचिए ताकि $\angle BOF = 30^{\circ}$ हो।
$V.$ $\angle FOC$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{OG}$ खींचिए ताकि $\angle BOG = 45^{\circ}$ हो।
औचित्य:
चूंकि $\widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$ है,इसलिए $\angle BOC = \angle COD = \angle DOE = 60^{\circ}$ होगा (क्योंकि समान चाप केंद्र पर समान कोण अंतरित करते हैं)।
चूंकि $\overrightarrow{OF}$,$\angle BOC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BOF = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
चूंकि $\overrightarrow{OG}$,$\angle FOC$ का समद्विभाजक है (जहाँ $\angle FOC = 30^{\circ}$),इसलिए $\angle FOG = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$ होगा।
अतः,$\angle BOG = \angle BOF + \angle FOG = 30^{\circ} + 15^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।

(N/A) $(i)$ $30^{\circ}$ का कोण
रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $OA$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और एक उपयुक्त त्रिज्या लेकर,एक चाप खींचिए,जो $\overrightarrow{OA}$ को $B$ पर काटता है।
$III.$ $B$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या से,पिछले चाप को काटने के लिए एक चाप खींचिए,जो उसे $C$ पर काटता है।
$IV.$ $\overrightarrow{OC}$ को मिलाइए। अब,$\angle BOC = 60^{\circ}$ है।
$V.$ $\angle BOC$ का समद्विभाजक खींचिए जिससे किरण $\overrightarrow{OD}$ प्राप्त हो।
अतः,$\angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$।
इसलिए,$\angle BOD = 30^{\circ}$।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{OA}$ खींचिए।
$II.$ $\angle AOB = 90^{\circ}$ की रचना कीजिए।
$III.$ $\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक $OC$ खींचिए,जिससे $\angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2}(90^{\circ}) = 45^{\circ}$ प्राप्त हो।
$IV.$ अब,$\angle AOC$ का कोण समद्विभाजक $OD$ खींचिए,जिससे $\angle AOD = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(45^{\circ}) = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ प्राप्त हो।
अतः,$\angle AOD = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ अभीष्ट कोण है।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{OA}$ खींचिए।
$II.$ $\angle AOB = 60^{\circ}$ की रचना कीजिए।
$III.$ $\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक $\overrightarrow{OC}$ खींचिए,जिससे $\angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$ प्राप्त हो।
$IV.$ $\angle AOC$ का कोण समद्विभाजक $\overrightarrow{OD}$ खींचिए,जिससे $\angle AOD = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(30^{\circ}) = 15^{\circ}$ प्राप्त हो।
अतः,$\angle AOD = 15^{\circ}$ अभीष्ट कोण है।

(N/A) $75^{\circ} = 60^{\circ} + 15^{\circ}$
रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{ OA }$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और एक उपयुक्त त्रिज्या लेकर,एक चाप खींचिए जो $\overrightarrow{ OA }$ को $B$ पर काटता है।
$III.$ $B$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या से,पिछले चाप पर एक बिंदु $C$ अंकित कीजिए। अब,$\angle BOC = 60^{\circ}$ है।
$IV.$ $C$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या से,चाप पर एक और बिंदु $D$ अंकित कीजिए। अब,$\angle COD = 60^{\circ}$ है।
$V.$ $\angle COD$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{ OP }$ खींचिए,ताकि $\angle COP = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$ हो। इस प्रकार,$\angle BOP = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
$VI.$ $\angle COP$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{ OQ }$ खींचिए,ताकि $\angle COQ = 15^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle BOQ = \angle BOC + \angle COQ = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
अंत में,चांदे का उपयोग करके कोण की पुष्टि कीजिए।

(N/A) $105^{\circ} = 90^{\circ} + 15^{\circ}$
रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{OA}$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और किसी उपयुक्त त्रिज्या के साथ,एक चाप लगाइए जो $\overrightarrow{OA}$ को बिंदु $B$ पर काटे।
$III.$ $B$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या के साथ,पहले वाले चाप पर एक चाप लगाइए जो उसे बिंदु $C$ पर काटे। (यह $60^{\circ}$ को दर्शाता है)।
$IV.$ $C$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या के साथ,पहले वाले चाप पर एक और चाप लगाइए जो उसे बिंदु $D$ पर काटे। (यह $120^{\circ}$ को दर्शाता है)।
$V.$ $C$ और $D$ के बीच के चाप का समद्विभाजक खींचकर बिंदु $P$ प्राप्त कीजिए,जिससे $\angle AOP = 90^{\circ}$ हो जाए।
$VI.$ $P$ और $D$ के बीच के चाप का समद्विभाजक खींचकर बिंदु $Q$ प्राप्त कीजिए। इस प्रकार,$\angle AOQ = 105^{\circ}$ होगा (क्योंकि $90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$)।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{OP}$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और एक उपयुक्त त्रिज्या लेकर,एक चाप खींचिए जो $\overrightarrow{OP}$ को $A$ पर काटे।
$III.$ उसी त्रिज्या को रखते हुए और $A$ से शुरू करके,चाप पर $Q, R$ और $S$ बिंदु इस प्रकार अंकित कीजिए कि $\angle AOQ = 60^{\circ}$,$\angle AOR = 120^{\circ}$ और $\angle AOS = 180^{\circ}$ हो।
$IV.$ $\angle ROS$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{OL}$ खींचिए,जो $\angle ROL = 30^{\circ}$ बनाता है। इस प्रकार,$\angle AOL = 120^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ}$ होता है।
$V.$ $\angle ROL$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{OM}$ खींचिए,जो $\angle ROM = 15^{\circ}$ बनाता है। इस प्रकार,$\angle AOM = 120^{\circ} + 15^{\circ} = 135^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AOM = 135^{\circ}$।

(N/A) मान लीजिए कि हमें एक समबाहु त्रिभुज की रचना करनी है,जिसकी प्रत्येक भुजा $= PQ$ है।
रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{OA}$ खींचिए।
$II.$ $O$ को केंद्र मानकर और $PQ$ के बराबर त्रिज्या लेकर,$OA$ पर एक चाप लगाइए जो उसे $B$ पर काटे,ताकि $OB = PQ$ हो।
$III.$ $O$ को केंद्र मानकर और $PQ$ त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए। फिर,$B$ को केंद्र मानकर और $PQ$ त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाइए जो पहले वाले चाप को $C$ पर काटे।
$IV.$ $OC$ और $BC$ को मिलाइए।
इस प्रकार,$\Delta OBC$ अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
औचित्य:
रचना के अनुसार,$OB = PQ$ और $OC = PQ$ (एक ही चाप की त्रिज्याएँ)।
साथ ही,$BC = PQ$ ($B$ को केंद्र मानकर खींचे गए चाप की त्रिज्या)।
अतः,$OB = OC = BC = PQ$ है।
चूँकि तीनों भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\Delta OBC$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $1.$ $11 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $PQ$ खींचिए,ताकि $PQ = AB + BC + CA$ हो।
$2.$ बिंदु $P$ पर $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ का कोण और बिंदु $Q$ पर $\frac{45^{\circ}}{2} = 22.5^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3.$ मान लीजिए कि इन कोणों के समद्विभाजक बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$4.$ $AP$ का लंब समद्विभाजक खींचिए,जो $PQ$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5.$ $AQ$ का लंब समद्विभाजक खींचिए,जो $PQ$ को $C$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$6.$ $AB$ और $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $BX$ खींचिए।
$II.$ किरण $BX$ से $BC = 7\,cm$ का रेखाखंड काटिए।
$III.$ बिंदु $B$ पर,$\angle CBY = 75^\circ$ का कोण बनाइए।
$IV.$ किरण $BY$ से $BD = 13\,cm$ का रेखाखंड काटिए।
$V.$ $D$ और $C$ को मिलाइए।
$VI.$ रेखाखंड $DC$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए कि यह लंब समद्विभाजक $BD$ को बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$VII.$ $AC$ को मिलाइए।
इस प्रकार,$\Delta ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $BX$ खींचिए।
$II.$ $\overrightarrow{BX}$ से $\overline{BC} = 8\,cm$ का रेखाखंड काटिए।
$III.$ $\angle CBY = 45^{\circ}$ की रचना कीजिए।
$IV.$ $\overrightarrow{BY}$ से $\overline{BD} = 3.5\,cm$ का रेखाखंड काटिए।
$V.$ $D$ और $C$ को मिलाइए।
$VI.$ $\overline{DC}$ का लंब समद्विभाजक $PQ$ खींचिए,जो $\overrightarrow{BY}$ को बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$VII.$ $AC$ को मिलाइए।
इस प्रकार,$ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ एक किरण $\overrightarrow{QX}$ खींचिए।
$II.$ $\overrightarrow{QX}$ से $QR = 6 \, cm$ काटिए।
$III.$ एक रेखा $YQY'$ की रचना कीजिए ताकि $\angle RQY = 60^{\circ}$ हो।
$IV.$ $\overrightarrow{QY'}$ से $QS = 2 \, cm$ काटिए।
$V.$ $S$ और $R$ को मिलाइए।
$VI.$ $SR$ का लंब समद्विभाजक $MN$ खींचिए,जो $QY$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$VII.$ $P$ और $R$ को मिलाइए।
इस प्रकार,$PQR$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) $I.$ $11 \,cm = (XY + YZ + ZX)$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$II.$ $\angle BAP = 30^{\circ} = \angle Y$ की रचना कीजिए।
$III.$ $\angle ABQ = 90^{\circ} = \angle Z$ की रचना कीजिए।
$IV.$ $\angle BAP$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{AR}$ खींचिए।
$V.$ $\angle ABQ$ का समद्विभाजक $\overrightarrow{BS}$ खींचिए,ताकि $\overrightarrow{AR}$ और $\overrightarrow{BS}$ एक-दूसरे को बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करें।
$VI.$ $AX$ का लंब समद्विभाजक खींचिए,जो $AB$ को $Y$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$VII.$ $XB$ का लंब समद्विभाजक खींचिए,जो $AB$ को $Z$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$VIII.$ $XY$ और $XZ$ को मिलाइए।
इस प्रकार,$XYZ$ अभीष्ट त्रिभुज है।

(N/A) $I.$ $12 \, cm$ का एक रेखाखंड $\overline{BC}$ खींचिए।
$II.$ बिंदु $B$ पर $\angle CBY = 90^{\circ}$ की रचना कीजिए।
$III.$ किरण $\overrightarrow{BY}$ से $18 \, cm$ का एक रेखाखंड $BX$ काटिए।
$IV.$ $CX$ को मिलाइए।
$V.$ $CX$ का लंब समद्विभाजक खींचिए,जो $BX$ को बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$VI.$ $AC$ को मिलाइए।
इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समकोण त्रिभुज है।