Textbook - Constructions Questions in Gujarati

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $OA$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને યોગ્ય ત્રિજ્યા લઈને,એક અર્ધવર્તુળ દોરો,જે $OA$ ને $B$ માં છેદે છે.
$III.$ ત્રિજ્યા સમાન રાખીને,અર્ધવર્તુળને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો જેથી $\widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$ થાય.
$IV.$ કિરણો $\overrightarrow{OC}$ અને $\overrightarrow{OD}$ દોરો.
$V.$ $\angle COD$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OF}$ દોરો.
આમ,$\angle AOF = 90^{\circ}$.
સમર્થન:
કારણ કે $O$ એ અર્ધવર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને તે $3$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થયેલ છે,
$\therefore \widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$.
$\Rightarrow \angle BOC = \angle COD = \angle DOE$.
સમાન ચાપ કેન્દ્ર પર સમાન ખૂણા આંતરે છે,અને $\angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3 \angle BOC = 180^{\circ}$ મળે.
$\therefore \angle BOC = 60^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle COD = 60^{\circ}$ અને $\angle DOE = 60^{\circ}$.
કારણ કે $OF$ એ $\angle COD$ નો દ્વિભાજક છે,
$\therefore \angle COF = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$.
હવે,$\angle BOF = \angle BOC + \angle COF = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
આમ,$\angle AOF = 90^{\circ}$.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $\overrightarrow{OA}$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈને અને યોગ્ય ત્રિજ્યા સાથે,એક અર્ધવર્તુળ દોરો જે $\overrightarrow{OA}$ ને $B$ બિંદુએ છેદે.
$III.$ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈને અને તે જ ત્રિજ્યા રાખીને,અર્ધવર્તુળ પર $C$ બિંદુ મેળવો. તેવી જ રીતે,અર્ધવર્તુળ પર $D$ અને $E$ બિંદુઓ મેળવો,જેથી $\widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$ થાય.
$IV.$ $\angle BOC$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OF}$ દોરો જેથી $\angle BOF = 30^{\circ}$ થાય.
$V.$ $\angle FOC$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OG}$ દોરો જેથી $\angle BOG = 45^{\circ}$ થાય.
સમર્થન:
$\widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE}$ હોવાથી,$\angle BOC = \angle COD = \angle DOE = 60^{\circ}$ થાય (કારણ કે સમાન ચાપ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે).
$\overrightarrow{OF}$ એ $\angle BOC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle BOF = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
$\overrightarrow{OG}$ એ $\angle FOC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી (જ્યાં $\angle FOC = 30^{\circ}$),$\angle FOG = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle BOG = \angle BOF + \angle FOG = 30^{\circ} + 15^{\circ} = 45^{\circ}$ થાય.

(N/A) $(i)$ $30^{\circ}$ નો ખૂણો
રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $OA$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈ અને યોગ્ય ત્રિજ્યા વડે એક ચાપ દોરો,જે $\overrightarrow{OA}$ ને $B$ માં છેદે છે.
$III.$ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈ અને તે જ ત્રિજ્યા વડે અગાઉના ચાપને છેદતો એક ચાપ દોરો,જે તેને $C$ માં છેદે છે.
$IV.$ $\overrightarrow{OC}$ ને જોડો. હવે,$\angle BOC = 60^{\circ}$ થશે.
$V.$ $\angle BOC$ નો દ્વિભાજક દોરો જેથી કિરણ $\overrightarrow{OD}$ મળે.
આમ,$\angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$.
તેથી,$\angle BOD = 30^{\circ}$.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $\overrightarrow{OA}$ દોરો.
$II.$ $\angle AOB = 90^{\circ}$ રચો.
$III.$ $\angle AOB$ નો દ્વિભાજક $OC$ દોરો,જેથી $\angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2}(90^{\circ}) = 45^{\circ}$ થાય.
$IV.$ હવે,$\angle AOC$ નો દ્વિભાજક $OD$ દોરો,જેથી $\angle AOD = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(45^{\circ}) = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle AOD = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ એ માંગેલ ખૂણો છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $\overrightarrow{OA}$ દોરો.
$II.$ $\angle AOB = 60^{\circ}$ રચો.
$III.$ $\angle AOB$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OC}$ દોરો,જેથી $\angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$ થાય.
$IV.$ $\angle AOC$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OD}$ દોરો,જેથી $\angle AOD = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(30^{\circ}) = 15^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle AOD = 15^{\circ}$ એ માંગેલ ખૂણો છે.

(N/A) $75^{\circ} = 60^{\circ} + 15^{\circ}$
રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $\overrightarrow{ OA }$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને યોગ્ય ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે $\overrightarrow{ OA }$ ને $B$ માં છેદે છે.
$III.$ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને તે જ ત્રિજ્યા રાખીને,અગાઉના ચાપ પર એક બિંદુ $C$ અંકિત કરો. હવે,$\angle BOC = 60^{\circ}$.
$IV.$ $C$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને તે જ ત્રિજ્યા રાખીને,ચાપ પર બીજું બિંદુ $D$ અંકિત કરો. હવે,$\angle COD = 60^{\circ}$.
$V.$ $\angle COD$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{ OP }$ દોરો,જેથી $\angle COP = \frac{1}{2}(60^{\circ}) = 30^{\circ}$ થાય. આમ,$\angle BOP = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
$VI.$ $\angle COP$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{ OQ }$ દોરો,જેથી $\angle COQ = 15^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle BOQ = \angle BOC + \angle COQ = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
અંતે,કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને ખૂણાને ચકાસો.

(N/A) $105^{\circ} = 90^{\circ} + 15^{\circ}$
રચનાના પગલાં:
$I.$ કિરણ $\overrightarrow{OA}$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને યોગ્ય ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે $\overrightarrow{OA}$ ને બિંદુ $B$ પર છેદે.
$III.$ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,અગાઉના ચાપ પર એક ચાપ દોરો જે તેને બિંદુ $C$ પર છેદે. (આ $60^{\circ}$ દર્શાવે છે).
$IV.$ $C$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,પ્રથમ ચાપ પર બીજો ચાપ દોરો જે તેને બિંદુ $D$ પર છેદે. (આ $120^{\circ}$ દર્શાવે છે).
$V.$ $C$ અને $D$ વચ્ચેના ચાપનો દ્વિભાજક દોરીને બિંદુ $P$ મેળવો જેથી $\angle AOP = 90^{\circ}$ થાય.
$VI.$ $P$ અને $D$ વચ્ચેના ચાપનો દ્વિભાજક દોરીને બિંદુ $Q$ મેળવો. આમ,$\angle AOQ = 105^{\circ}$ થશે (કારણ કે $90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$).

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $\overrightarrow{OP}$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈ અને યોગ્ય ત્રિજ્યા વડે એક ચાપ દોરો જે $\overrightarrow{OP}$ ને $A$ બિંદુમાં છેદે.
$III.$ તે જ ત્રિજ્યા રાખીને $A$ થી શરૂ કરીને ચાપ પર $Q, R$ અને $S$ બિંદુઓ એવી રીતે અંકિત કરો કે જેથી $\angle AOQ = 60^{\circ}$,$\angle AOR = 120^{\circ}$ અને $\angle AOS = 180^{\circ}$ થાય.
$IV.$ $\angle ROS$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OL}$ દોરો,જે $\angle ROL = 30^{\circ}$ બનાવે છે. આમ,$\angle AOL = 120^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ}$ થાય.
$V.$ $\angle ROL$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OM}$ દોરો,જે $\angle ROM = 15^{\circ}$ બનાવે છે. આમ,$\angle AOM = 120^{\circ} + 15^{\circ} = 135^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle AOM = 135^{\circ}$.

(N/A) ધારો કે આપણે એક સમબાજુ ત્રિકોણની રચના કરવી છે,જેની દરેક બાજુ $= PQ$ છે.
રચનાના પગલાં:
$I.$ એક કિરણ $\overrightarrow{OA}$ દોરો.
$II.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $PQ$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,$OA$ પર એક ચાપ દોરો જે તેને $B$ માં છેદે,જેથી $OB = PQ$ થાય.
$III.$ $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $PQ$ ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો. ત્યારબાદ,$B$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $PQ$ ત્રિજ્યા લઈને બીજો ચાપ દોરો જે અગાઉના ચાપને $C$ માં છેદે.
$IV.$ $OC$ અને $BC$ ને જોડો.
આમ,$\Delta OBC$ એ માંગેલ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમર્થન:
રચના મુજબ,$OB = PQ$ અને $OC = PQ$ (એક જ ચાપની ત્રિજ્યાઓ).
વળી,$BC = PQ$ ($B$ ને કેન્દ્ર ગણીને દોરેલા ચાપની ત્રિજ્યા).
તેથી,$OB = OC = BC = PQ$.
ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\Delta OBC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $1.$ $11 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $PQ$ દોરો,જેથી $PQ = AB + BC + CA$ થાય.
$2.$ બિંદુ $P$ પર $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ નો ખૂણો અને બિંદુ $Q$ પર $\frac{45^{\circ}}{2} = 22.5^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવો.
$3.$ ધારો કે આ ખૂણાઓના દ્વિભાજકો બિંદુ $A$ પર છેદે છે.
$4.$ $AP$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો,જે $PQ$ ને $B$ માં છેદે છે.
$5.$ $AQ$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો,જે $PQ$ ને $C$ માં છેદે છે.
$6.$ $AB$ અને $AC$ ને જોડો. આમ,$ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ કિરણ $BX$ દોરો.
$II.$ કિરણ $BX$ પરથી $BC = 7\,cm$ માપનો રેખાખંડ કાપો.
$III.$ બિંદુ $B$ પર,$\angle CBY = 75^\circ$ નો ખૂણો બનાવો.
$IV.$ કિરણ $BY$ પરથી $BD = 13\,cm$ માપનો રેખાખંડ કાપો.
$V.$ $D$ અને $C$ ને જોડો.
$VI.$ રેખાખંડ $DC$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. ધારો કે આ લંબદ્વિભાજક $BD$ ને બિંદુ $A$ માં છેદે છે.
$VII.$ $AC$ ને જોડો.
આમ,$\Delta ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ કિરણ $BX$ દોરો.
$II.$ $\overrightarrow{BX}$ પરથી $\overline{BC} = 8\,cm$ માપનો રેખાખંડ કાપો.
$III.$ $\angle CBY = 45^{\circ}$ ની રચના કરો.
$IV.$ $\overrightarrow{BY}$ પરથી $\overline{BD} = 3.5\,cm$ માપનો રેખાખંડ કાપો.
$V.$ $D$ અને $C$ ને જોડો.
$VI.$ $\overline{DC}$ નો લંબદ્વિભાજક $PQ$ દોરો,જે $\overrightarrow{BY}$ ને $A$ બિંદુમાં છેદે છે.
$VII.$ $AC$ ને જોડો.
આમ,$ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ કિરણ $\overrightarrow{QX}$ દોરો.
$II.$ $\overrightarrow{QX}$ પરથી $QR = 6 \, cm$ માપનો રેખાખંડ કાપો.
$III.$ રેખા $YQY'$ એવી રીતે રચો કે જેથી $\angle RQY = 60^{\circ}$ થાય.
$IV.$ $\overrightarrow{QY'}$ પર $QS = 2 \, cm$ માપનો રેખાખંડ કાપો.
$V.$ $S$ અને $R$ ને જોડો.
$VI.$ $SR$ નો લંબદ્વિભાજક $MN$ દોરો,જે $QY$ ને $P$ બિંદુમાં છેદે છે.
$VII.$ $P$ અને $R$ ને જોડો.
આમ,$PQR$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $I.$ $11 \,cm = (XY + YZ + ZX)$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$II.$ $\angle BAP = 30^{\circ} = \angle Y$ થાય તેવી રચના કરો.
$III.$ $\angle ABQ = 90^{\circ} = \angle Z$ થાય તેવી રચના કરો.
$IV.$ $\angle BAP$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{AR}$ દોરો.
$V.$ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક $\overrightarrow{BS}$ દોરો,જેથી $\overrightarrow{AR}$ અને $\overrightarrow{BS}$ એકબીજાને $X$ બિંદુએ છેદે.
$VI.$ $AX$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો,જે $AB$ ને $Y$ બિંદુએ છેદે છે.
$VII.$ $XB$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો,જે $AB$ ને $Z$ બિંદુએ છેદે છે.
$VIII.$ $XY$ અને $XZ$ ને જોડો.
આમ,$XYZ$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $I.$ $12 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{BC}$ દોરો.
$II.$ બિંદુ $B$ પર $\angle CBY = 90^{\circ}$ ની રચના કરો.
$III.$ કિરણ $\overrightarrow{BY}$ પરથી $18 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BX$ કાપો.
$IV.$ $CX$ ને જોડો.
$V.$ $CX$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો,જે $BX$ ને બિંદુ $A$ માં છેદે છે.
$VI.$ $AC$ ને જોડો.
આમ,$\triangle ABC$ એ માંગેલ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.