Huygens’ Principle and Wave-fronts Questions in Hindi

(B) अपवर्तन के मामले में, यदि $CD$ अपवर्तित तरंगाग्र है और $v_a$ तथा $v_g$ क्रमशः हवा और कांच में प्रकाश की गति हैं, तो जितने समय में $B$ से तरंगाग्र $C$ तक पहुँचता है, उतने ही समय में $A$ से तरंगाग्र $D$ तक पहुँचता है।
अतः, लिया गया समय $t = \frac{BC}{v_a} = \frac{AD}{v_g}$, जिसका अर्थ है $\frac{BC}{AD} = \frac{v_a}{v_g}$. .....$(i)$
चित्र की ज्यामिति से, $\Delta ACB$ में, $BC = AC \sin \theta$. .....$(ii)$
$\Delta ACD$ में, $AD = AC \sin \phi '$. .....$(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को $(i)$ में रखने पर, हमें $\frac{v_a}{v_g} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi '}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{v_a}{v_g}$ होता है, इसलिए $\mu_g = \frac{\sin \theta}{\sin \phi '}$ होगा।

(B) हाइगेन्स का सिद्धांत बताता है कि प्राथमिक तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक गोलाकार तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है,जो माध्यम में प्रकाश की गति से सभी दिशाओं में फैलती हैं। बाद के समय में नया तरंगाग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (envelope) होता है। इसलिए,यह किसी भी बाद के समय में तरंगाग्र के आकार और स्थिति को खोजने के लिए एक ज्यामितीय विधि है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) हाइगेंस का तरंग सिद्धांत प्रकाश को एक माध्यम में संचरित होने वाली तरंग के रूप में मानता है।
यह व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी तरंग घटनाओं की सफलतापूर्वक व्याख्या करता है।
हालाँकि,यह प्रकाश की कण प्रकृति,जैसे कि प्रकाश-विद्युत प्रभाव,की व्याख्या करने में विफल रहता है,जिसके लिए प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत (फोटॉन) की आवश्यकता होती है।

(B) तरंग के संचरण के लिए द्वितीयक तरंगिकाओं की अवधारणा क्रिश्चियन हाइगेन्स ने प्रकाश के अपने तरंग सिद्धांत में दी थी। हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,प्राथमिक तरंगाग्र (wavefront) पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक गोलाकार तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है,जो माध्यम में प्रकाश की गति से सभी दिशाओं में फैलती हैं। बाद के समय में नया तरंगाग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (forward envelope) होता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) तरंगाग्र (Wavefront) माध्यम के उन सभी बिंदुओं (कणों) का बिंदुपथ है जो किसी दिए गए समय पर समान कला में कंपन करते हैं। इसलिए,एक तरंगाग्र पर स्थित सभी कणों की कंपन कला समान होती है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) परिभाषा के अनुसार,तरंगाग्र उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ है जो समान कला में होते हैं।
किसी भी तरंग के संचरण में,तरंग गति की दिशा (किरण की दिशा) प्रत्येक बिंदु पर तरंगाग्र के हमेशा लंबवत होती है।
इसलिए,सही संबंध यह है कि तरंगाग्र तरंग गति की दिशा के लंबवत होता है।

(D) हाइगेन्स का सिद्धांत एक ज्यामितीय विधि है जिसका उपयोग किसी भी समय $t'$ पर तरंगाग्र के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है,यदि समय $t$ पर उसका आकार ज्ञात हो।
इस सिद्धांत का उपयोग करके,परावर्तन,अपवर्तन और विवर्तन की घटना के नियमों को सफलतापूर्वक समझाया जा सकता है।
हालाँकि,हाइगेन्स का तरंग सिद्धांत स्पेक्ट्रा की उत्पत्ति के लिए कोई स्पष्टीकरण प्रदान नहीं करता है,जो प्रकाश की क्वांटम प्रकृति और परमाणु ऊर्जा स्तरों से संबंधित है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) तरंगाग्र को उन सभी बिंदुओं के लोकस (locus) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दोलन की समान कला में होते हैं। प्रकाश के एक बिंदु स्रोत के लिए,प्रकाश तरंगें एक समांगी माध्यम में समान गति से सभी दिशाओं में यात्रा करती हैं। इसलिए,स्रोत से समान कला वाले सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है,जो एक गोला बनाती है। अतः,एक बिंदु स्रोत से उत्पन्न होने वाला तरंगाग्र गोलीय होता है।

(C) न्यूटन का प्रकाश का कणिका सिद्धांत मुख्य रूप से इस अवलोकन पर आधारित था कि प्रकाश सीधी रेखाओं में यात्रा करता है,जिसे प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण (rectilinear propagation) कहा जाता है।
न्यूटन के अनुसार,प्रकाश 'कॉर्पसल्स' (corpuscles) नामक छोटे,द्रव्यमान रहित कणों से बना है जो बहुत उच्च गति से यात्रा करते हैं।
चूंकि ये कण निर्वात या एकसमान माध्यम में सीधी रेखाओं में चलते हैं,इसलिए यह सिद्धांत प्रकाश के ऋजुरेखीय संचरण को सफलतापूर्वक समझाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हाइगेन्स का सिद्धांत बताता है कि तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक गोलाकार तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है,जो प्रकाश की गति से आगे की दिशा में फैलती हैं।
समय $t$ के बाद इन सभी द्वितीयक तरंगिकाओं के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा सतह खींचकर,हम तरंगाग्र की नई स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।
इसलिए,इस सिद्धांत का उपयोग मुख्य रूप से तरंगाग्र की नई स्थिति ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

(D) हाइगेन्स का सिद्धांत एक ज्यामितीय निर्माण है जो हमें किसी भी बाद के समय में तरंग अग्र (wavefront) की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस सिद्धांत के अनुसार,प्राथमिक तरंग अग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं (secondary wavelets) के स्रोत के रूप में कार्य करता है,और नया तरंग अग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (forward envelope) होता है। इसलिए,यह मुख्य रूप से तरंग अग्र के संचरण की व्याख्या करता है।

(C) प्रकाश का तरंग सिद्धांत $1678$ में क्रिश्चियन हाइगेन्स द्वारा दिया गया था।
इस सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश तरंगों के रूप में यात्रा करता है और तरंगाग्र (wavefront) का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।

(B) हाइगेन्स के सिद्धांत में, तरंग सिद्धांत को यह मानकर स्थापित किया गया था कि प्रकाश तरंगें अनुदैर्ध्य (longitudinal) थीं, न कि अनुप्रस्थ। इसलिए, विकल्प $(A)$ गलत है।
मैक्सवेल के प्रकाश के विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत ने ठोस सैद्धांतिक प्रमाण प्रदान किए कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है, जो प्रकृति में अनुप्रस्थ होती है। इसलिए, विकल्प $(B)$ सही है।
थॉमस यंग ने प्रकाश के व्यतिकरण (interference) को प्रदर्शित करने के लिए डबल-स्लिट प्रयोग किया, जिसने प्रकाश की तरंग प्रकृति की पुष्टि की। हालाँकि, उन्होंने विशेष रूप से तरंग की प्रकृति (अनुदैर्ध्य बनाम अनुप्रस्थ) के बारे में हाइगेन्स की धारणा को सिद्ध नहीं किया था। इसलिए, विकल्प $(C)$ गलत है।
ये कथन प्रकाश की तरंग प्रकृति के विशिष्ट पहलुओं पर प्रकाश डालते हैं लेकिन प्रकाश की पूर्ण परिभाषा नहीं देते हैं, जैसे कि इसकी द्वैत प्रकृति (कण-तरंग द्वैतता)। इसलिए, वे सामूहिक रूप से "प्रकाश क्या है" प्रश्न का पूर्ण उत्तर नहीं देते हैं। इसलिए, विकल्प $(D)$ भी गलत है।

(A) प्रकाश का एक समानांतर बेलनाकार किरण पुंज उन किरणों से बना होता है जो एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।
परिभाषा के अनुसार,तरंगाग्र उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जो समान कला में होते हैं।
समानांतर किरण पुंज के लिए,तरंगाग्र संचरण की दिशा के लंबवत समतल होते हैं।
अतः,तरंगाग्र का प्रारंभिक आकार समतल है।

(D) हाइगेन्स का तरंग सिद्धांत तरंगाग्र के संचरण को ध्यान में रखकर परावर्तन,अपवर्तन और विवर्तन के नियमों को सफलतापूर्वक समझाता है।
हालाँकि,हाइगेन्स का मूल तरंग सिद्धांत स्पेक्ट्रम की उत्पत्ति या स्पेक्ट्रम के उत्सर्जन को नहीं समझा सका,क्योंकि यह प्रकाश की क्वांटम प्रकृति या परमाणु ऊर्जा स्तरों के साथ प्रकाश की परस्पर क्रिया को ध्यान में नहीं रखता था।

(B) हाइगेन्स के तरंग सिद्धांत ने 'ईथर' नामक एक काल्पनिक माध्यम के अस्तित्व को मानकर प्रकाश के परावर्तन,अपवर्तन और ऋजुरेखीय संचरण को सफलतापूर्वक समझाया था।
हालाँकि,इस सिद्धांत को महत्वपूर्ण आलोचना का सामना करना पड़ा क्योंकि 'ईथर' माध्यम के अस्तित्व को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं किया जा सका (विशेष रूप से माइकलसन-मोर्ले प्रयोग द्वारा)।
यद्यपि हाइगेन्स का सिद्धांत कई घटनाओं की व्याख्या कर सकता था,लेकिन उनके सिद्धांत के मूल आधार के संबंध में पाठ्यपुस्तकों में उद्धृत मुख्य ऐतिहासिक कमी 'ईथर' माध्यम की आवश्यकता थी,जो बाद में अस्तित्वहीन साबित हुई।
इसलिए,ईथर माध्यम के प्रायोगिक सत्यापन में विफलता को एक बड़ी कमी माना जाता है।

(D) हाइगेन्स का सिद्धांत एक ज्यामितीय विधि है जिसका उपयोग किसी पूर्व तरंगिका के ज्ञान के आधार पर बाद के समय में एक नई तरंगिका की स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
यह इस अवधारणा पर आधारित है कि तरंगिका का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
यह सिद्धांत एक सामान्य तरंग सिद्धांत है और यह सभी प्रकार की तरंगों पर लागू होता है,जिसमें प्रकाश तरंगें (विद्युत चुम्बकीय तरंगें),ध्वनि तरंगें (यांत्रिक तरंगें) और जल तरंगें शामिल हैं।
इसलिए,यह ऊपर उल्लिखित सभी तरंगों पर लागू होता है।

(D) हाइगेन्स का सिद्धांत बताता है कि तरंगाग्र (wavefront) का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है,और नया तरंगाग्र बाद के समय में इन द्वितीयक तरंगिकाओं का आवरण (envelope) होता है।
यह सिद्धांत तरंग प्रकाशिकी का एक मूलभूत उपकरण है जो प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियमों को सफलतापूर्वक समझाता है।
इसके अलावा,यह विवर्तन की घटना को समझने के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है,जहाँ प्रकाश कोनों या बाधाओं के चारों ओर मुड़ जाता है।
चूंकि यह संचरण,परावर्तन और विवर्तन तीनों को समझाता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) हाइगेन्स का सिद्धांत बताता है कि तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
ये द्वितीयक तरंगिकाएं माध्यम में तरंग की गति के साथ सभी दिशाओं में फैलती हैं।
किसी भी बाद के समय में नया तरंगाग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (envelope) होता है।
इसलिए,हाइगेन्स के सिद्धांत का उपयोग मुख्य रूप से बाद के समय में तरंगाग्र के ज्यामितीय प्रसार और स्थिति को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

(C) अपवर्तनांक $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2 I$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि तीव्रता $I$ अक्ष पर अधिकतम है और अक्ष से दूर जाने पर घटती है (जैसा कि चित्र में $x$ द्वारा दिखाया गया है),इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ भी अक्ष पर अधिकतम होता है और अक्ष से दूर जाने पर घटता है।
चूंकि प्रकाश की गति $v = c/\mu$ है,इसलिए गति अक्ष पर न्यूनतम होती है और अक्ष से दूर जाने पर बढ़ती है।
परिणामस्वरूप,तरंगाग्र का अक्ष के पास वाला हिस्सा अक्ष से दूर वाले हिस्सों की तुलना में धीमी गति से चलता है।
यह तरंगाग्र को मोड़ने और अक्ष की ओर अभिसरित (converge) करने का कारण बनता है,जिसके परिणामस्वरूप चित्र में दिखाए अनुसार उत्तल आकार प्राप्त होता है।

(D) हाइगेन्स का सिद्धांत एक ज्यामितीय निर्माण है जिसका उपयोग वर्तमान तरंगाग्र के आधार पर बाद के समय में नए तरंगाग्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
यह परावर्तन और अपवर्तन के नियमों को सफलतापूर्वक समझाता है।
यह तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु को द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में मानकर विवर्तन की घटना को भी समझाता है।
हालाँकि,हाइगेन्स का सिद्धांत (अपने मूल रूप में) स्पेक्ट्रल पैटर्न (जैसे प्रकाश-विद्युत प्रभाव या परमाणु स्पेक्ट्रा की असतत प्रकृति) की उत्पत्ति की व्याख्या नहीं करता है,क्योंकि ये क्वांटम यांत्रिक घटनाएं हैं जिन्हें फोटॉन और ऊर्जा के क्वांटाइजेशन की अवधारणा की आवश्यकता होती है,जो शास्त्रीय तरंग सिद्धांत के दायरे से बाहर हैं।

(C) हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगिका (wavefront) द्वारा हवा में $b$ दूरी तय करने में लगा समय,पानी में $d$ दूरी तय करने में लगे समय के बराबर होता है।
माना हवा में प्रकाश की चाल $v_a$ है और पानी में प्रकाश की चाल $v_w$ है।
अतः,समय $t = \frac{b}{v_a} = \frac{d}{v_w}$ होगा।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{v_a}{v_w} = \frac{b}{d}$ प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार,हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक $\mu = \frac{v_a}{v_w}$ होता है।
इसलिए,$\mu = \frac{b}{d}$।

(A) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ द्वारा दिया गया है। चूंकि त्रिज्या बढ़ने पर किरण पुंज की तीव्रता $I$ घटती है,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ भी अक्ष से परिधि की ओर घटता है।
चूंकि किरण पुंज प्रारंभ में समानांतर और बेलनाकार है,इसलिए प्रकाश की किरणें एक-दूसरे के समानांतर हैं। परिभाषा के अनुसार,समानांतर प्रकाश किरण पुंज का तरंगाग्र संचरण की दिशा के लंबवत एक समतल होता है।
इसलिए,तरंगाग्र का प्रारंभिक आकार समतल है।

(C) प्रश्न के अनुसार,हवा का अपवर्तनांक $\mu$ जमीन से ऊंचाई के साथ बढ़ता है।
चूंकि माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/\mu$ द्वारा दी जाती है,जहां $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है,इसलिए जैसे-जैसे जमीन से ऊंचाई बढ़ती है,प्रकाश की गति $v$ कम हो जाती है।
क्षैतिज रूप से गति कर रहे एक समतल तरंगाग्र (wavefront) पर विचार करें। तरंगाग्र का वह हिस्सा जो अधिक ऊंचाई पर है,जमीन के करीब वाले हिस्से की तुलना में धीमी गति से चलता है।
हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
चूंकि तरंगाग्र का निचला हिस्सा तेजी से चलता है,इसलिए तरंगाग्र झुक जाता है,जिससे प्रसार की दिशा (जो तरंगाग्र के लंबवत होती है) ऊपर की ओर मुड़ जाती है।
इसलिए,प्रकाश की किरण ऊपर की ओर मुड़ती है।

(C) जब एक समतल तरंगाग्र एक पतले उत्तल लेंस पर आपतित होता है,तो लेंस प्रकाश की किरणों को फोकस की ओर अभिसरित (converge) करता है।
आरेख $(i)$ में,लेंस से गुजरने के बाद तरंगाग्र गोलाकार हो जाता है और फोकस की ओर अभिसरित होता है,जो एक उत्तल लेंस के लिए सही व्यवहार है।
आरेख $(iv)$ में,लेंस से गुजरने के बाद तरंगाग्र भी गोलाकार हो जाता है और फोकस की ओर अभिसरित होता है,जो समान सही भौतिक घटना को दर्शाता है।
आरेख $(ii)$ और $(iii)$ अपवर्तन के बाद गलत तरंगाग्र वक्रता दिखाते हैं।
इसलिए,$(i)$ और $(iv)$ सही निरूपण हैं।

(A) जब गोलाकार तरंगाग्र एक समतल दर्पण से टकराते हैं,तो ह्युजेंस के सिद्धांत के अनुसार तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
परावर्तित तरंगाग्र दर्पण के पीछे स्थित एक आभासी स्रोत से उत्पन्न होते हुए प्रतीत होंगे,जो मूल बिंदु स्रोत का दर्पण प्रतिबिंब है।
चूंकि आपतित तरंगाग्र गोलाकार हैं और दर्पण की ओर अभिसरित (converging) हो रहे हैं,इसलिए परावर्तित तरंगाग्र भी गोलाकार होंगे,जो स्रोत बिंदु के आभासी प्रतिबिंब से अपसरित (diverging) होते हुए प्रतीत होंगे।
परावर्तन की ज्यामिति के आधार पर,परावर्तित तरंगाग्र अपना गोलाकार आकार और वक्रता बनाए रखेंगे,जो दर्पण द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब के अनुरूप है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए पैटर्न के समान है।

(B) जब एक समतल तरंगाग्र $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करता है,तो प्रकाश की गति $c$ से घटकर $\frac{c}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि माध्यम में गति कम होती है,इसलिए माध्यम से गुजरने वाला तरंगाग्र का हिस्सा निर्वात में यात्रा करने वाले हिस्से की तुलना में समान समय अंतराल में कम दूरी तय करता है।
इसके कारण तरंगाग्र उस क्षेत्र में पीछे रह जाता है जहाँ माध्यम मौजूद है।
परिणामस्वरूप,तरंगाग्र असतत (discontinuous) हो जाता है,जिसमें माध्यम के अंदर का हिस्सा निर्वात में मौजूद हिस्से से पीछे रह जाता है,जो विकल्प $(B)$ में दिखाए अनुसार बिंदु $P$ पर एक टूटी हुई रेखा का आकार बनाता है।

(C) तरंगाग्र को समान कला वाले सभी बिंदुओं के बिंदु पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $cd$ माध्यम-$1$ में एक तरंगाग्र है,इसलिए रेखा $cd$ पर सभी बिंदुओं की कला समान है। अतः,$\phi_c = \phi_d$।
इसी प्रकार,$ef$ माध्यम-$2$ में एक तरंगाग्र है,इसलिए रेखा $ef$ पर सभी बिंदुओं की कला समान है। अतः,$\phi_e = \phi_f$।
अब,व्यंजक $(\phi_d - \phi_f) = (\phi_c - \phi_e)$ पर विचार करें।
चूंकि $\phi_c = \phi_d$ और $\phi_e = \phi_f$ है,हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$(\phi_d - \phi_f) = (\phi_c - \phi_e)$
$\phi_d - \phi_f = \phi_c - \phi_e$
यह तरंगाग्र के गुणों पर आधारित एक सुसंगत पहचान है।

(B) तरंगाग्र को उन सभी बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दोलन की समान कला में होते हैं। अतः,कथन $A$ सही है।
प्रकाश की किरणें तरंगाग्र के लंबवत रेखाओं के रूप में परिभाषित होती हैं,जो तरंग प्रसार की दिशा को दर्शाती हैं। अतः,कथन $C$ सही है।
हाइगेन्स ने प्रकाश तरंगों के प्रसार को समझाने के लिए 'ईथर' माध्यम के अस्तित्व का प्रस्ताव दिया था,लेकिन माइकलसन-मोर्ले प्रयोग ने बाद में साबित कर दिया कि ऐसा कोई माध्यम मौजूद नहीं है। अतः,कथन $D$ सही है।
तरंगाग्र स्रोत और माध्यम के आधार पर बेलनाकार,गोलीय या समतल जैसे विभिन्न आकार ले सकते हैं। चूंकि तरंगाग्र केवल गोलीय या समतल आकारों तक ही सीमित नहीं हैं (उदाहरण के लिए,एक रेखीय स्रोत बेलनाकार तरंगाग्र उत्पन्न करता है),इसलिए कथन $B$ गलत है।

(D) जब प्रकाश स्रोत प्रेक्षक से बहुत अधिक दूरी पर होता है,तो तरंगाग्र की वक्रता त्रिज्या अत्यंत बड़ी हो जाती है।
जैसे-जैसे दूरी $r \to \infty$ होती है,वक्रता $1/r \to 0$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,गोलीय या बेलनाकार तरंगाग्र का एक छोटा सा हिस्सा सपाट या समतल दिखाई देता है।
इसलिए,दूरस्थ स्रोत की तरंगाग्र लगभग एक समतल तरंगाग्र होती है।

(A) तरंग अग्र को माध्यम के उन सभी बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कंपन की समान कला में होते हैं। इसका अर्थ यह है कि किसी भी दिए गए क्षण पर,तरंग अग्र पर स्थित सभी बिंदु अपने दोलन चक्र के समान चरण में होते हैं।

(D) प्रकाश के एक बिंदु स्रोत के लिए, प्रकाश तरंगें सभी दिशाओं में फैलती हैं, जिससे गोलाकार तरंगग्र बनते हैं।
जैसे-जैसे स्रोत से दूरी $r$ बढ़ती है, गोलाकार तरंगग्र का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ के अनुसार बढ़ता है।
चूंकि स्रोत द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति $P$ स्थिर है, इसलिए तीव्रता $I$ को $I = P / A = P / (4\pi r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, तीव्रता $I$ दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $I \propto 1/r^2$.
इसका अर्थ है कि स्रोत से दूरी बढ़ने पर तीव्रता घटती है।

(A) प्रकाश अपनी तरंग प्रकृति के कारण सीधी रेखा में गमन करता है। हाइगेन्स-फ्रेनेल सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है। एक समांगी माध्यम में,ये तरंगिकाएं संचरण की दिशा में संपोषी व्यतिकरण करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण होता है।

(N/A) एक बिंदु स्रोत से अपसरित होते प्रकाश के लिए तरंगाग्र का आकार गोलीय होता है।
$(b)$ जब एक बिंदु स्रोत को उत्तल लेंस के फोकस पर रखा जाता है,तो उससे बाहर निकलने वाले प्रकाश के लिए तरंगाग्र का आकार समतल होता है।
$(c)$ पृथ्वी द्वारा अवरोधित दूर के तारे से आने वाले प्रकाश के तरंगाग्र का भाग समतल होता है,क्योंकि स्रोत प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर स्थित होता है।

(N/A) नहीं,इस अनुमान की पुष्टि नहीं होती है। न्यूटन के कणिका सिद्धांत के अनुसार,जब प्रकाश के कण विरल माध्यम (हवा) से सघन माध्यम (पानी) में प्रवेश करते हैं,तो वे अंतरापृष्ठ (interface) के लंबवत एक आकर्षण बल का अनुभव करते हैं। यह बल वेग के लंबवत घटक को बढ़ाता है,जबकि स्पर्शरेखीय घटक स्थिर रहता है। इससे $v = \mu c$ संबंध प्राप्त होता है,जहाँ $v$ माध्यम में गति है और $c$ निर्वात में गति है। चूँकि अपवर्तनांक $\mu > 1$ है,इसलिए सिद्धांत $v > c$ होने का अनुमान लगाता है।
यह अनुमान प्रायोगिक परिणामों के विपरीत है,जो दर्शाते हैं कि सघन माध्यम में प्रकाश की गति निर्वात की तुलना में कम होती है $(v < c)$। हाइगेन्स द्वारा प्रस्तावित प्रकाश का तरंग सिद्धांत सही ढंग से अनुमान लगाता है कि $v = c / \mu$,जो प्रायोगिक अवलोकनों के साथ सुसंगत है।

(N/A) मान लीजिए कि $O$ पर एक वस्तु को एक समतल दर्पण के सामने $r$ दूरी पर रखा गया है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
बिंदु वस्तु $O$ से एक गोलीय तरंगाग्र उत्सर्जित होता है। तरंगाग्र $XY$ का भाग समतल दर्पण पर बिंदु $O'$ पर पहुँचता है।
हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है। जब तरंगाग्र $XY$ दर्पण से टकराता है,तो दर्पण इन तरंगिकाओं को परावर्तित करता है।
यदि दर्पण अनुपस्थित होता,तो तरंगाग्र आगे बढ़ता रहता और दर्पण के पीछे $r$ दूरी पर एक समान तरंगाग्र $X'Y'$ बनाता।
चूंकि दर्पण प्रकाश को परावर्तित करता है,इसलिए द्वितीयक तरंगिकाएं दर्पण के पीछे के बिंदु $I$ से उत्पन्न होती हुई प्रतीत होती हैं,जो $O$ का आभासी प्रतिबिंब है। समरूपता के अनुसार,इस आभासी प्रतिबिंब $I$ की दर्पण से दूरी,वस्तु $O$ की दर्पण से दूरी $r$ के बराबर होती है।

(N/A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम में $4000 \ \mathring{A}$ से $8000 \ \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य वाले भाग को दृश्य प्रकाश कहा जाता है। प्रकाश स्वयं अदृश्य है,लेकिन इसकी सहायता से वस्तुओं को देखा जा सकता है।
प्रकाश की प्रकृति पर विभिन्न दृष्टिकोण निम्नलिखित हैं:
$(1)$ प्रकाश का कणिका मॉडल (न्यूटन का प्रकाश का कणिका सिद्धांत):
- कणिका सिद्धांत $1637$ में डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इसने स्नेल के नियम को व्युत्पन्न किया और दो माध्यमों को अलग करने वाली सतह पर प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियमों की व्याख्या की।
- इस मॉडल ने भविष्यवाणी की थी कि यदि प्रकाश की किरण अपवर्तन के दौरान अभिलंब की ओर झुकती है,तो दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति अधिक होनी चाहिए। इस सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश की गति विरल माध्यम में कम और सघन माध्यम में अधिक होती है।
- यह सिद्धांत न्यूटन के कणिका सिद्धांत के रूप में जाना जाता है,जिसमें प्रकाश को सूक्ष्म कणों (कॉर्पसकल्स) से बना माना जाता है।
$(2)$ हाइगेन्स का तरंग सिद्धांत:
- $1678$ में क्रिश्चियन हाइगेन्स ने प्रकाश का तरंग सिद्धांत प्रस्तुत किया।
- यह सिद्धांत परावर्तन और अपवर्तन की घटनाओं की व्याख्या करता है। इसने भविष्यवाणी की थी कि यदि अपवर्तन के दौरान तरंग अभिलंब की ओर झुकती है,तो दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति कम होगी। यह कणिका मॉडल की भविष्यवाणी के विपरीत था।
- $1850$ में,फोकॉल्ट ने प्रयोग द्वारा सिद्ध किया कि पानी में प्रकाश की गति हवा की तुलना में कम होती है,जिसने तरंग सिद्धांत का समर्थन किया।

(N/A) न्यूटन के प्रभाव और इस विश्वास के कारण कि प्रकाश निर्वात में यात्रा कर सकता है,जबकि तरंगों को प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है,तरंग सिद्धांत को शुरू में स्वीकार नहीं किया गया था।
$1801$ में,थॉमस यंग ने व्यतिकरण (interference) प्रयोग किया,जिसने दृढ़ता से स्थापित किया कि प्रकाश एक तरंग घटना है।
चूंकि दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सामान्य दर्पणों और लेंसों के आयामों की तुलना में बहुत छोटी होती है,इसलिए यह माना जा सकता है कि प्रकाश लगभग सीधी रेखाओं में यात्रा करता है।
प्रकाशिकी की वह शाखा जिसमें तरंगदैर्ध्य की परिमितता (finiteness) को पूरी तरह से उपेक्षित किया जाता है,उसे ज्यामितीय प्रकाशिकी (geometrical optics) कहा जाता है।
किरण को उस सीमा में ऊर्जा प्रसार के पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ तरंगदैर्ध्य शून्य की ओर प्रवृत्त होती है।
प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण और विवर्तन से जुड़े कई प्रयोग किए गए और उन्हें संतोषजनक ढंग से समझाया गया। इस प्रकार,$19$ वीं शताब्दी के मध्य तक,प्रकाश का तरंग सिद्धांत अच्छी तरह से स्थापित हो गया था।

(N/A) प्रकाश के संचरण को समझाने वाले मुख्य सिद्धांत निम्नलिखित हैं:
$1$. $Corpuscular$ $Theory$ (कणिका सिद्धांत): $Isaac$ $Newton$ द्वारा प्रस्तावित,यह सुझाव देता है कि प्रकाश $corpuscles$ नामक छोटे कणों से बना है।
$2$. $Wave$ $Theory$ (तरंग सिद्धांत): $Christiaan$ $Huygens$ द्वारा प्रस्तावित,यह सुझाव देता है कि प्रकाश $luminiferous$ $ether$ नामक एक काल्पनिक माध्यम में तरंगों के रूप में यात्रा करता है।
$3$. $Electromagnetic$ $Wave$ $Theory$ (विद्युतचुंबकीय तरंग सिद्धांत): $James$ $Clerk$ $Maxwell$ द्वारा प्रस्तावित,यह बताता है कि प्रकाश अंतरिक्ष में यात्रा करने वाले दोलनी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बना है।
$4$. $Quantum$ $Theory$ ($Photon$ $Theory$) (क्वांटम सिद्धांत): $Max$ $Planck$ और $Albert$ $Einstein$ द्वारा प्रस्तावित,यह बताता है कि प्रकाश $photons$ नामक ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना है।

(B) न्यूटन के कणिका सिद्धांत (Corpuscular theory) के अनुसार,प्रकाश हवा जैसे विरल माध्यम की तुलना में पानी जैसे सघन माध्यम में अधिक तेजी से यात्रा करता है।
हालाँकि,फौकॉल्ट और फिजो द्वारा किए गए प्रयोगात्मक मापों से पता चला कि पानी में प्रकाश की गति हवा की तुलना में कम होती है।
यह प्रयोगात्मक परिणाम कणिका सिद्धांत का खंडन करता है और प्रकाश के तरंग सिद्धांत (Wave theory) के पक्ष में मजबूत सबूत प्रदान करता है,जो सही ढंग से भविष्यवाणी करता है कि जब प्रकाश सघन माध्यम में प्रवेश करता है तो उसकी गति कम हो जाती है।

(N/A) प्रकाश के तरंग सिद्धांत को स्थापित करने में मुख्य कठिनाई यह धारणा थी कि प्रकाश तरंगें प्रकृति में यांत्रिक हैं।
उस समय के शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार,यांत्रिक तरंगों को संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है।
चूंकि प्रकाश अंतरिक्ष के निर्वात से होकर यात्रा करता है (उदाहरण के लिए,सूर्य से पृथ्वी तक),इसलिए यह समझाना कठिन था कि प्रकाश बिना किसी माध्यम के कैसे संचरित हो सकता है।
इसने 'ल्यूमिनिफेरस ईथर' (luminiferous ether) की काल्पनिक अवधारणा को जन्म दिया,जो एक सर्वव्यापी,द्रव्यमान रहित और पारदर्शी माध्यम माना गया था,जिसे बाद में माइकलसन-मोरली प्रयोग द्वारा गलत साबित कर दिया गया।

(N/A) जब हम शांत पानी के तालाब में एक छोटा पत्थर फेंकते हैं,तो प्रभाव बिंदु से तरंगें बाहर की ओर फैलती हैं। सतह पर प्रत्येक बिंदु समय के साथ दोलन करना शुरू कर देता है; इसलिए,किसी भी क्षण,सतह पर गोलाकार छल्ले दिखाई देते हैं जहाँ विक्षोभ अधिकतम होता है।
ऐसे वृत्त पर सभी बिंदु समान कला (in phase) में दोलन कर रहे होते हैं क्योंकि वे स्रोत से समान दूरी पर होते हैं। बिंदुओं का ऐसा पथ,जो समान कला में दोलन करते हैं,तरंगाग्र कहलाता है। इस प्रकार,एक तरंगाग्र को स्थिर कला वाली सतह के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जिस गति से तरंगाग्र स्रोत से बाहर की ओर बढ़ता है,उसे तरंग की गति कहा जाता है।
तरंग की ऊर्जा तरंगाग्र के लंबवत दिशा में यात्रा करती है।
तरंगाग्र के लंबवत रेखा,जो तरंग के प्रसार की दिशा को इंगित करती है,किरण (ray) कहलाती है। इसलिए,तरंगाग्र और किरण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
तरंगाग्र के प्रकार:
$1$. गोलीय तरंगाग्र (Spherical Wavefront): यदि एक बिंदु स्रोत सभी दिशाओं में समान रूप से तरंगें उत्सर्जित करता है,तो समान आयाम वाले और समान कला में कंपन करने वाले बिंदुओं का पथ गोले (त्रिविमीय) होते हैं। इसे गोलीय तरंगाग्र के रूप में जाना जाता है,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है। ऐसी तरंगें अपसारी (diverging) होती हैं।
$2$. समतल तरंगाग्र (Plane Wavefront): स्रोत से बहुत अधिक दूरी पर,गोले के एक छोटे हिस्से को एक समतल के रूप में माना जा सकता है। इसे समतल तरंगाग्र कहा जाता है,जैसा कि चित्र $(b)$ में दिखाया गया है।
$3$. बेलनाकार तरंगाग्र (Cylindrical Wavefront): एक रैखिक स्रोत से उत्पन्न होने वाले और त्रिविमीय समांगी और समदैशिक माध्यम में फैलने वाले तरंगाग्र बेलनाकार होते हैं। उदाहरण के लिए: ट्यूबलाइट से निकलने वाली तरंगें,जैसा कि चित्र $(c)$ में दिखाया गया है।

सिद्धांत: तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु या कण एक स्वतंत्र द्वितीयक स्रोत के रूप में व्यवहार करता है और स्वयं द्वितीयक गोलीय तरंगें उत्सर्जित करता है। बहुत कम समय अंतराल के बाद,ऐसी सभी द्वितीयक गोलीय तरंगिकाओं को स्पर्श करने वाली सतह नए तरंगाग्र की स्थिति और आकार देती है।
मूल रूप से,हाइगेन्स का सिद्धांत एक ज्यामितीय निर्माण है।
मान लीजिए कि $F_{1} F_{2}$ समय $t=0$ पर एक गोलीय तरंगाग्र का एक हिस्सा दर्शाता है,जो बाहर की ओर फैलने वाली तरंग है।
हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,इस तरंगाग्र के सभी बिंदु $(F_{1} F_{2})$ (जैसे $A, B, C, \ldots$) द्वितीयक स्रोतों के रूप में व्यवहार करते हैं। यदि तरंग का वेग $v$ है,तो समय $\tau$ में तय की गई दूरी $v \tau$ होगी।
समय $t=\tau$ पर तरंगाग्र का आकार निर्धारित करने के लिए,गोलीय तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु से $v \tau$ त्रिज्या के गोले खींचें और इन सभी गोलों पर एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खींचें। समय $\tau$ पर इन गोलों को स्पर्श करने वाली सतह नए तरंगाग्र की स्थिति और आकार देती है,जो आगे की दिशा में $G_{1} G_{2}$ है। यह केंद्र $O$ वाला एक गोलीय तरंगाग्र है। पीछे की ओर $D_{1} D_{2}$ गोलीय तरंगाग्र प्राप्त होता है। $G_{1} G_{2}$ पर स्थित बिंदु $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ नए द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करते हैं।

(N/A) सिद्धांत: तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक गोलीय तरंगिकाओं के एक स्वतंत्र स्रोत के रूप में कार्य करता है,जो उस माध्यम में प्रकाश की गति से सभी दिशाओं में फैलती हैं। किसी भी बाद के समय में नया तरंगाग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (स्पर्शरेखा सतह) होता है।
व्याख्या:
$1$. हाइगेन्स का सिद्धांत भविष्य में तरंगाग्र के आकार को निर्धारित करने की एक ज्यामितीय विधि है यदि उसका वर्तमान आकार ज्ञात हो।
$2$. मान लीजिए $t=0$ समय पर एक बिंदु स्रोत $O$ से उत्पन्न एक गोलीय तरंगाग्र $F_1 F_2$ है।
$3$. सिद्धांत के अनुसार,$F_1 F_2$ पर प्रत्येक बिंदु $(A, B, C, \dots)$ एक द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करता है। यदि तरंग की गति $v$ है,तो $\tau$ समय अंतराल में,प्रत्येक द्वितीयक तरंगिका $v\tau$ दूरी तय करती है।
$4$. $t = \tau$ समय पर नया तरंगाग्र ज्ञात करने के लिए,मूल तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु को केंद्र मानकर $v\tau$ त्रिज्या के गोले खींचें। इन गोलों की अग्र सामान्य स्पर्शरेखा सतह $G_1 G_2$ नए तरंगाग्र को दर्शाती है।
$5$. पीछे की ओर की स्पर्शरेखा सतह $D_1 D_2$ भी बनती है,लेकिन इसे आमतौर पर अनदेखा कर दिया जाता है क्योंकि तरंग आगे की दिशा में फैलती है। $G_1 G_2$ पर स्थित बिंदु $A', B', C'$ फिर आगे के प्रसार के लिए नए द्वितीयक स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं।

(N/A) समय $t=0$ पर दाईं ओर गति करते हुए समतल तरंगाग्र का ज्यामितीय निरूपण चित्र में दिखाया गया है और $t=\tau$ समय के बाद नया तरंगाग्र $G_{1} G_{2}$ आगे की दिशा में दिखाया गया है।
यहाँ यदि तरंग का वेग $v$ है,तो $\tau$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी $v \tau$ है।
हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र $F_{1} F_{2}$ पर स्थित $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, \ldots$ जैसे सभी कण स्वतंत्र द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करते हैं और $v \tau$ त्रिज्या वाली द्वितीयक गोलाकार तरंगें उत्सर्जित करते हैं।
$\tau$ समय अंतराल के बाद,ऐसी सभी द्वितीयक तरंगिकाओं को स्पर्श करने वाली सतह नए तरंगाग्र की स्थिति और आकार देती है,जिसे $G_{1} G_{2}$ के रूप में दिखाया गया है।
इस प्रकार,$\tau$ समय पर एक नया तरंगाग्र बनता है और तरंग माध्यम में आगे बढ़ती है।
रेखाएँ $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}, D_{1} D_{2}, \ldots$ दोनों तरंगाग्र $F_{1} F_{2}$ और $G_{1} G_{2}$ के लंबवत हैं,जिन्हें प्रकाश किरण कहा जाता है।
तरंगाग्र के लंबवत और तरंग के संचरण की दिशा को इंगित करने वाली रेखा को किरण कहा जाता है।
हाइगेन्स के तरंग सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि इसे सभी प्रकार की गोलाकार या समतल तरंगों पर लागू किया जा सकता है।

(B) हाइगेन्स का सिद्धांत बताता है कि प्राथमिक तरंगाग्र (wavefront) का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं (secondary wavelets) के स्रोत के रूप में कार्य करता है,जो माध्यम में प्रकाश की गति से सभी दिशाओं में फैलती हैं। किसी भी बाद के समय में नया तरंगाग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (forward envelope) होता है।
हाइगेन्स का सिद्धांत जिस मूल सिद्धांत पर आधारित है,वह तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत (principle of superposition) है। यह सिद्धांत बताता है कि जब दो या दो से अधिक तरंगें अंतरिक्ष में एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो किसी भी बिंदु पर परिणामी विस्थापन व्यक्तिगत तरंगों के विस्थापन के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

(N/A) हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु एक स्वतंत्र द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करता है और छोटी द्वितीयक तरंगिकाएं उत्सर्जित करता है।
हाइगेन्स के सिद्धांत में यह माना गया था कि इन द्वितीयक तरंगिकाओं का आयाम आगे की दिशा में अधिकतम और पीछे की दिशा में शून्य होता है।
हालाँकि,हाइगेन्स यह सैद्धांतिक रूप से नहीं समझा सके कि तरंग पीछे की ओर क्यों नहीं फैलती है; यह एक तदर्थ (ad-hoc) धारणा थी।
बाद में,वोग्ट और किर्चॉफ जैसे वैज्ञानिकों ने गणितीय स्पष्टीकरण दिया कि द्वितीयक तरंग की तीव्रता $(1 + \cos \theta)^2$ के समानुपाती होती है,जहाँ $\theta$ तरंगाग्र और संचरण की दिशा के बीच का कोण है।
आगे की दिशा में,$\theta = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए तीव्रता का कारक $(1 + \cos 0^{\circ})^2 = (1 + 1)^2 = 4$ (अधिकतम) होता है।
पीछे की दिशा में,$\theta = 180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) होता है,इसलिए तीव्रता का कारक $(1 + \cos 180^{\circ})^2 = (1 - 1)^2 = 0$ होता है। अतः,पीछे की दिशा में तरंग का संचरण नहीं होता है।

(A) हाइगेन्स के तरंग सिद्धांत का सबसे मौलिक और महत्वपूर्ण बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं का सिद्धांत है।
इसके अनुसार,किसी दिए गए तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु नए विक्षोभ के एक नए स्रोत के रूप में कार्य करता है,जो सभी दिशाओं में द्वितीयक तरंगिकाएं भेजता है।
किसी भी बाद के समय में नया तरंगाग्र इन द्वितीयक तरंगिकाओं का अग्र आवरण (forward envelope) होता है।

(N/A) मान लीजिए $PP'$ माध्यम-$1$ और माध्यम-$2$ को अलग करने वाली सतह है। मान लीजिए $v_1$ और $v_2$ क्रमशः माध्यम-$1$ और माध्यम-$2$ में प्रकाश की गति हैं।
$AA'$ दिशा में आगे बढ़ने वाला एक समतल तरंगाग्र $AB$ इंटरफ़ेस पर $i$ कोण पर आपतित होता है। मान लीजिए तरंगाग्र द्वारा $BC$ दूरी तय करने में लिया गया समय $\tau$ है। अतः,$BC = v_1 \tau$.
अपवर्तित तरंगाग्र का आकार निर्धारित करने के लिए,दूसरे माध्यम में बिंदु $A$ से $v_2 \tau$ त्रिज्या का एक गोला खींचिए। मान लीजिए $CE$ बिंदु $C$ से इस गोले पर खींचा गया स्पर्शरेखा तल है। तब $AE = v_2 \tau$,और $CE$ अपवर्तित तरंगाग्र को दर्शाता है।
$\triangle ABC$ में,$\sin i = \frac{BC}{AC} = \frac{v_1 \tau}{AC}$.
$\triangle AEC$ में,$\sin r = \frac{AE}{AC} = \frac{v_2 \tau}{AC}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1 \tau / AC}{v_2 \tau / AC} = \frac{v_1}{v_2} = n_{21}$.
यह स्नेल का अपवर्तन का नियम है। चूंकि आपतित किरण,अपवर्तित किरण और अभिलंब सभी एक ही तल में स्थित होते हैं,इसलिए अपवर्तन के नियम व्युत्पन्न हो जाते हैं।