Doppler's Effect of Light Questions in Hindi

(N/A) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव प्रकाश के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति के कारण प्रकाश की प्रेक्षित आवृत्ति (या तरंगदैर्ध्य) में होने वाला परिवर्तन है।
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है,तो तरंगाग्रों को अधिक दूरी तय करनी पड़ती है,जिससे क्रमिक तरंगाग्रों के आगमन के बीच का समय अंतराल बढ़ जाता है। इसके परिणामस्वरूप प्रेक्षित आवृत्ति में कमी आती है और तरंगदैर्ध्य में वृद्धि होती है,जिसे 'रेड शिफ्ट' कहा जाता है।
जब स्रोत प्रेक्षक की ओर आता है,तो तरंगाग्र कम अंतराल पर पहुँचते हैं,जिससे प्रेक्षित आवृत्ति में वृद्धि होती है और तरंगदैर्ध्य में कमी आती है,जिसे 'ब्लू शिफ्ट' कहा जाता है।
प्रकाश के लिए डॉप्लर विस्थापन का सूत्र है:
$\Delta \nu = -\nu \frac{v_{radial}}{c}$
जहाँ $\Delta \nu$ आवृत्ति में परिवर्तन है,$\nu$ मूल आवृत्ति है,$v_{radial}$ दृष्टि रेखा के अनुदिश स्रोत का सापेक्ष वेग है,और $c$ प्रकाश की गति है।
आवृत्ति में आंशिक परिवर्तन:
$\frac{\Delta \nu}{\nu} = -\frac{v_{radial}}{c}$

(N/A) प्रकाश के लिए,डॉप्लर विस्थापन को स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति के कारण आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य में होने वाले परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यदि स्रोत प्रेक्षक के सापेक्ष $v$ वेग से गति कर रहा है (जहाँ $v \ll c$),तो आवृत्ति में डॉप्लर विस्थापन $\Delta \nu$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta \nu = \nu \left( \frac{v}{c} \right) \cos \theta$
जहाँ:
$\nu$ मूल आवृत्ति है,
$c$ प्रकाश की गति है,
$v$ सापेक्ष वेग है,
$\theta$ गति की दिशा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण है।
वैकल्पिक रूप से,तरंगदैर्ध्य में विस्थापन $\Delta \lambda$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta \lambda = \lambda \left( \frac{v}{c} \right) \cos \theta$

(D) प्रेक्षक से दूर जा रहे स्रोत के लिए तरंगदैर्ध्य में डॉप्लर विस्थापन का सूत्र: $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है।
दिया गया है:
आकाशगंगा की गति $v = 286 \, km/s = 286 \times 10^{3} \, m/s$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 630 \, nm = 630 \times 10^{-9} \, m$.
विस्थापन $\Delta \lambda$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta \lambda = \frac{v}{c} \times \lambda$.
मान रखने पर:
$\Delta \lambda = \frac{286 \times 10^{3}}{3 \times 10^{8}} \times 630 \times 10^{-9}$.
$\Delta \lambda = \frac{286}{3 \times 10^{5}} \times 630 \times 10^{-9}$.
$\Delta \lambda = \frac{286 \times 630}{3} \times 10^{-14} = 286 \times 210 \times 10^{-14} = 60060 \times 10^{-14} = 6.006 \times 10^{-10} \, m$.
इसे $x \times 10^{-10} \, m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x \approx 6$ प्राप्त होता है।

(C) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $\Delta \lambda$ तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन है,$\lambda$ मूल तरंगदैर्ध्य है,$v$ सापेक्ष वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है: $\lambda = 5890 \ \mathring{A}$,प्रेक्षित तरंगदैर्ध्य $\lambda' = 5896 \ \mathring{A}$.
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5896 - 5890 = 6 \ \mathring{A}$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s} = 3 \times 10^5 \ \text{km/s}$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$.
$v = (3 \times 10^5 \ \text{km/s}) \times \frac{6 \ \mathring{A}}{5890 \ \mathring{A}}$.
$v = \frac{18 \times 10^5}{5890} \ \text{km/s} \approx 305.6 \ \text{km/s}$.
निकटतम पूर्णांक में,गति लगभग $306 \ \text{km/s}$ है।

(C) दिया गया है:
$\lambda_{\text{emitted}} = 670 \; nm$
$\lambda_{\text{obs}} = 670.7 \; nm$
$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$
जब $v << c$ हो,तो प्रकाश के लिए डॉप्लर विस्थापन का सूत्र:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$
जहाँ $\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{emitted}} = 670.7 - 670 = 0.7 \; nm$.
मान रखने पर:
$\frac{0.7}{670} = \frac{v}{3 \times 10^{8}}$
$v = \frac{0.7 \times 3 \times 10^{8}}{670}$
$v = \frac{2.1 \times 10^{8}}{670} \approx 0.003134 \times 10^{8} \; m/s$
$v \approx 3.13 \times 10^{5} \; m/s$.

(C) किसी आकाशगंगा से आने वाले प्रकाश के स्पेक्ट्रम में रेड शिफ्ट यह दर्शाता है कि प्रकाश की प्रेक्षित तरंग दैर्ध्य उत्सर्जित तरंग दैर्ध्य से अधिक है।
प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,तरंग दैर्ध्य में वृद्धि (स्पेक्ट्रम के लाल सिरे की ओर शिफ्ट) तब होती है जब प्रकाश का स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है।
इसलिए,रेड शिफ्ट का अर्थ है कि आकाशगंगा पृथ्वी से दूर जा रही है।

(B) प्रेक्षक से दूर जा रहे स्रोत के लिए आभासी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $\lambda' = \lambda \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$.
यहाँ दिया गया है कि $\lambda' = \lambda + 0.02\% \text{ of } \lambda = \lambda(1 + 0.0002) = 1.0002\lambda$.
अतः,$\sqrt{\frac{c+v}{c-v}} = 1.0002$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{c+v}{c-v} = (1.0002)^2 \approx 1.0004$.
$v \ll c$ के लिए सन्निकटन का उपयोग करने पर,$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{v}{c}$.
यहाँ,$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{0.02}{100} = 0.0002$.
इसलिए,$v = 0.0002 \times c$.
$c = 3 \times 10^5 \, km/s$ लेने पर,$v = 0.0002 \times 3 \times 10^5 = 60 \, km/s$ प्राप्त होता है।

(B) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $\Delta \lambda$ तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन है,$\lambda$ वास्तविक तरंगदैर्ध्य है,$v$ तारे का वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है कि आभासी तरंगदैर्ध्य वास्तविक तरंगदैर्ध्य से $0.02 \%$ अधिक है,इसलिए $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.02 \% = \frac{0.02}{100} = 2 \times 10^{-4}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $2 \times 10^{-4} = \frac{v}{3 \times 10^8 \ m/s}$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v = (2 \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^8 \ m/s) = 6 \times 10^4 \ m/s$।
$km/s$ में बदलने पर: $v = \frac{6 \times 10^4}{10^3} \ km/s = 60 \ km/s$।

(C) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब प्रकाश का स्रोत प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ स्रोत की आवृत्ति $f$ की तुलना में बढ़ जाती है।
यह सूत्र $f' = f \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ प्रेक्षक की ओर स्रोत का वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि आवृत्ति बढ़ती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घटती है $(\lambda = c/f)$।
तरंगदैर्ध्य में कमी दृश्य स्पेक्ट्रम के नीले सिरे की ओर विस्थापन के अनुरूप है,जिसे 'ब्लू शिफ्ट' के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,पीला प्रकाश नीले रंग की ओर बदलता हुआ प्रतीत होगा।

(A) दिया गया है,मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$।
प्रेक्षित तरंगदैर्ध्य $\lambda' = 601 \ nm = 601 \times 10^{-9} \ m$।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = (601 - 600) \times 10^{-9} \ m = 1 \times 10^{-9} \ m$।
प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,संबंध $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $v$ आकाशगंगा की गति है और $c$ प्रकाश की गति $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ है।
अतः,$v = c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = (3 \times 10^8 \ m/s) \cdot \frac{1 \times 10^{-9} \ m}{600 \times 10^{-9} \ m}$।
$v = 3 \times 10^8 \cdot \frac{1}{600} = \frac{3 \times 10^8}{600} = 0.5 \times 10^6 \ m/s$।
$v = 500,000 \ m/s = 500 \ km/s$।

(A) तरंगदैर्ध्य में डॉप्लर विस्थापन का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है, जहाँ $v$ स्रोत का वेग है, $c$ प्रकाश की गति है, $\Delta \lambda$ तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन है और $\lambda$ मूल तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $\Delta \lambda = 0.1 \text{ Å}$, $\lambda = 6000 \text{ Å}$, और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times c$.
मान रखने पर: $v = \frac{0.1}{6000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v = \frac{1}{60000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^4} \text{ m/s} = 0.5 \times 10^4 \text{ m/s} = 5000 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ में बदलने पर: $v = 5 \text{ km/s}$.

(B) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार तरंगदैर्ध्य में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ स्रोत का सापेक्ष वेग है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1})$ है।
दिया गया है: $\lambda = 6600 \, \text{Å}$, $\Delta \lambda = 22 \, \text{Å}$।
चूंकि प्रकाश रेड-शिफ्टेड है, तरंगदैर्ध्य बढ़ जाती है, जिसका अर्थ है कि तारा पृथ्वी से दूर जा रहा है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$।
मान रखने पर: $v = (3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}) \times \frac{22 \, \text{Å}}{6600 \, \text{Å}}$।
$v = (3 \times 10^8) \times \frac{1}{300} = 10^6 \, \text{m} \, \text{s}^{-1} = 10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$।
अतः, तारा $10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$ की गति से पृथ्वी से दूर जा रहा है।