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Integration by Parts Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · 7-1.Indefinite Integral · Integration by Parts
195+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 41 of 195 questions in Hindi
151
DifficultMCQ
$\int(\log x)^2 x^3 d x=\frac{x^4}{32} f(x)+C \Rightarrow f(x)=$
A
$8(\log x)^2-4 \log x+1$
B
$8 \log x-4 x^4+x^3$
C
$8(\log x)^2+4 x-x^2$
D
$4(\log x)^2-4 x^2+x+1$
Solution
(A) माना $I = \int (\log x)^2 x^3 dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
माना $u = (\log x)^2$ और $v = x^3$. तब $u' = \frac{2 \log x}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.
$I = (\log x)^2 \frac{x^4}{4} - \int \frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$
$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.
अब,$\int x^3 \log x dx$ का मान ज्ञात करने के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log x$ और $v = x^3$.
$\int x^3 \log x dx = (\log x) \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$
$= \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16}$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} \right) + C$
$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{x^4 \log x}{8} + \frac{x^4}{32} + C$
$\frac{x^4}{32}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{x^4}{32} \left( 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1 \right) + C$.
इसे $\frac{x^4}{32} f(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
माना $u = (\log x)^2$ और $v = x^3$. तब $u' = \frac{2 \log x}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.
$I = (\log x)^2 \frac{x^4}{4} - \int \frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$
$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.
अब,$\int x^3 \log x dx$ का मान ज्ञात करने के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log x$ और $v = x^3$.
$\int x^3 \log x dx = (\log x) \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$
$= \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16}$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} \right) + C$
$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{x^4 \log x}{8} + \frac{x^4}{32} + C$
$\frac{x^4}{32}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{x^4}{32} \left( 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1 \right) + C$.
इसे $\frac{x^4}{32} f(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
यदि $\cos(\log x)$ का आदि फलन (primitive) $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
$h^{\prime}(x) = \frac{-1}{x}$
B
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}$
C
$g^{\prime}(x) = \log(x)$
D
$h(x) = \frac{x}{2}$
Solution
(B) आदि फलन का अर्थ अनिश्चित समाकलन है। मान लीजिए $I = \int \cos(\log x) dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\log x) - \int x \cdot (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$।
अब,$\int \sin(\log x) dx$ का खंडशः समाकलन करें: $u = \sin(\log x)$,$dv = dx$।
$I = x \cos(\log x) + [x \sin(\log x) - \int x \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx]$।
$I = x \cos(\log x) + x \sin(\log x) - I$।
$2I = x [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
$I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
इसकी तुलना $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2}$,$g(x) = \log x$,और $h(x) = \log x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\log x) - \int x \cdot (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$।
अब,$\int \sin(\log x) dx$ का खंडशः समाकलन करें: $u = \sin(\log x)$,$dv = dx$।
$I = x \cos(\log x) + [x \sin(\log x) - \int x \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx]$।
$I = x \cos(\log x) + x \sin(\log x) - I$।
$2I = x [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
$I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
इसकी तुलना $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2}$,$g(x) = \log x$,और $h(x) = \log x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।
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MediumMCQ
यदि $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ और $I(1) = 0$ है,तो $I(x)$ क्या होगा?
A
$\frac{x^3}{18}[8(\log x)^2 - 3 \log x] + \frac{7}{18}$
B
$\frac{x^3}{27}[9(\log x)^2 + 6 \log x] - \frac{2}{27}$
C
$\frac{x^3}{27}[9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$
D
$\frac{x^3}{27}[9(\log x)^2 - 6 \log x - 2] + \frac{2}{27}$
Solution
(C) हमें समाकलन $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^2$ और $dv = x^2 dx$ है,हमें $du = \frac{2 \log x}{x} dx$ और $v = \frac{x^3}{3}$ प्राप्त होता है।
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \log x dx$
$\int x^2 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = x^2 dx$ लेने पर:
$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C_1$
इस मान को $I(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} [\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}] + C$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2x^3}{9} \log x + \frac{2x^3}{27} + C$
$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] + C$
चूंकि $I(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर:
$I(1) = \frac{1}{27} [9(0)^2 - 6(0) + 2] + C = 0$
$\frac{2}{27} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{2}{27}$
अतः,$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$.
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \log x dx$
$\int x^2 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = x^2 dx$ लेने पर:
$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C_1$
इस मान को $I(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} [\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}] + C$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2x^3}{9} \log x + \frac{2x^3}{27} + C$
$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] + C$
चूंकि $I(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर:
$I(1) = \frac{1}{27} [9(0)^2 - 6(0) + 2] + C = 0$
$\frac{2}{27} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{2}{27}$
अतः,$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$.
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DifficultMCQ
यदि $\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$ है,तो $f(x) = 1$ के सभी सम्मिश्र मूलों का योग ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{2}$
B
$3$
C
$1$
D
$2$
Solution
(A) दिया गया है,$\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का बार-बार उपयोग करने पर:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \left( x^2 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 2x \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \int x e^{2 x} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \left( x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3x e^{2 x}}{4} - \frac{3}{4} \frac{e^{2 x}}{2} + c$
$= \frac{e^{2 x}}{8} (4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 3$.
$f(x) = 1$ के लिए,$4x^3 - 6x^2 + 6x - 4 = 0$,जो सरल होकर $2x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$2(x^3 - 1) - 3x(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(2(x^2 + x + 1) - 3x) = 0$.
$(x - 1)(2x^2 - x + 2) = 0$.
मूल $x = 1$ (वास्तविक) और $2x^2 - x + 2 = 0$ (सम्मिश्र) हैं।
सम्मिश्र मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{2}) = \frac{1}{2}$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का बार-बार उपयोग करने पर:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \left( x^2 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 2x \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \int x e^{2 x} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \left( x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3x e^{2 x}}{4} - \frac{3}{4} \frac{e^{2 x}}{2} + c$
$= \frac{e^{2 x}}{8} (4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 3$.
$f(x) = 1$ के लिए,$4x^3 - 6x^2 + 6x - 4 = 0$,जो सरल होकर $2x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$2(x^3 - 1) - 3x(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(2(x^2 + x + 1) - 3x) = 0$.
$(x - 1)(2x^2 - x + 2) = 0$.
मूल $x = 1$ (वास्तविक) और $2x^2 - x + 2 = 0$ (सम्मिश्र) हैं।
सम्मिश्र मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{2}) = \frac{1}{2}$ है।
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MediumMCQ
$\int (\log x)^3 x^5 dx = $
A
$x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{12} + \frac{\log x}{36} - \frac{1}{216} \right] + c$
B
$x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{12} + \frac{\log x}{72} - \frac{1}{216} \right] + c$
C
$x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} + \frac{(\log x)^2}{12} - \frac{\log x}{36} + \frac{1}{216} \right] + c$
D
$x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{6} + \frac{\log x}{36} - \frac{1}{216} \right] + c$
Solution
(A) माना $I = \int (\log x)^3 x^5 dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^3$ और $v = x^5$ है।
$I = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$।
$\int x^5 (\log x)^2 dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \left[ (\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$।
$\int x^5 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \left[ \log x \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$।
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \frac{x^6}{6} + c = x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{12} + \frac{\log x}{36} - \frac{1}{216} \right] + c$।
$I = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$।
$\int x^5 (\log x)^2 dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \left[ (\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$।
$\int x^5 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \left[ \log x \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$।
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \frac{x^6}{6} + c = x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{12} + \frac{\log x}{36} - \frac{1}{216} \right] + c$।
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MediumMCQ
$\int x^5 e^{-2 x} d x=$
A
$e^{-2 x}\left[\frac{x^5}{2}-\frac{5 x^4}{2^2}+\frac{20 x^3}{2^3}-\frac{60 x^2}{2^4}+\frac{120 x}{2^5}-\frac{120}{2^6}\right]+c$
B
$-e^{-2 x}\left[\frac{x^5}{2}+\frac{5 x^4}{4}+\frac{5 x^3}{2}+\frac{15 x^2}{4}+\frac{15 x}{4}+\frac{15}{8}\right]+c$
C
$-e^{-2 x}\left[\frac{x^5}{2}+\frac{5 x^4}{4}+\frac{5 x^3}{2}+\frac{15 x^2}{4}+\frac{15 x}{4}+\frac{15}{8}\right]+c$
D
$e^{-2 x}\left[\frac{x^5}{2}+\frac{5 x^4}{4}+\frac{5 x^3}{2}+\frac{15 x^2}{4}+\frac{15 x}{4}+\frac{15}{8}\right]+c$
Solution
(B) $\int x^5 e^{-2 x} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र का बार-बार उपयोग करते हैं या सारणीबद्ध विधि (बर्नौली का सूत्र) का उपयोग करते हैं: $\int u v' dx = u v - u' v_1 + u'' v_2 - u''' v_3 + \dots$
यहाँ,$u = x^5$ और $v' = e^{-2 x}$ है।
$u = x^5, u' = 5x^4, u'' = 20x^3, u''' = 60x^2, u^{(4)} = 120x, u^{(5)} = 120, u^{(6)} = 0$.
$v = e^{-2 x}, v_1 = \frac{e^{-2 x}}{-2}, v_2 = \frac{e^{-2 x}}{4}, v_3 = \frac{e^{-2 x}}{-8}, v_4 = \frac{e^{-2 x}}{16}, v_5 = \frac{e^{-2 x}}{-32}, v_6 = \frac{e^{-2 x}}{64}$.
सूत्र लागू करने पर:
$\int x^5 e^{-2 x} d x = x^5 \left(\frac{e^{-2 x}}{-2}\right) - 5x^4 \left(\frac{e^{-2 x}}{4}\right) + 20x^3 \left(\frac{e^{-2 x}}{-8}\right) - 60x^2 \left(\frac{e^{-2 x}}{16}\right) + 120x \left(\frac{e^{-2 x}}{-32}\right) - 120 \left(\frac{e^{-2 x}}{64}\right) + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{20x^3}{8} + \frac{60x^2}{16} + \frac{120x}{32} + \frac{120}{64} \right] + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{5x^3}{2} + \frac{15x^2}{4} + \frac{15x}{4} + \frac{15}{8} \right] + c$.
यहाँ,$u = x^5$ और $v' = e^{-2 x}$ है।
$u = x^5, u' = 5x^4, u'' = 20x^3, u''' = 60x^2, u^{(4)} = 120x, u^{(5)} = 120, u^{(6)} = 0$.
$v = e^{-2 x}, v_1 = \frac{e^{-2 x}}{-2}, v_2 = \frac{e^{-2 x}}{4}, v_3 = \frac{e^{-2 x}}{-8}, v_4 = \frac{e^{-2 x}}{16}, v_5 = \frac{e^{-2 x}}{-32}, v_6 = \frac{e^{-2 x}}{64}$.
सूत्र लागू करने पर:
$\int x^5 e^{-2 x} d x = x^5 \left(\frac{e^{-2 x}}{-2}\right) - 5x^4 \left(\frac{e^{-2 x}}{4}\right) + 20x^3 \left(\frac{e^{-2 x}}{-8}\right) - 60x^2 \left(\frac{e^{-2 x}}{16}\right) + 120x \left(\frac{e^{-2 x}}{-32}\right) - 120 \left(\frac{e^{-2 x}}{64}\right) + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{20x^3}{8} + \frac{60x^2}{16} + \frac{120x}{32} + \frac{120}{64} \right] + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{5x^3}{2} + \frac{15x^2}{4} + \frac{15x}{4} + \frac{15}{8} \right] + c$.
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MediumMCQ
$\int x^2 \sin x \cos x \, dx =$
A
$-\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$
B
$\frac{(1-2x)^2}{2} \cos 2x + x \sin 2x + c$
C
$\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$
D
$\frac{(1-2x^2)^2}{4} \cos 2x + \frac{x}{2} \sin 2x + c$
Solution
(C) हम जानते हैं कि $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int x^2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) dx = \frac{1}{2} \int x^2 \sin 2x \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$ लें।
अतः $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x) \, dx \right]$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
पुनः $\int x \cos 2x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$ लें। अतः $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$.
इस मान को वापस रखने पर:
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} \right) + c$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,इस पद को $\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int x^2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) dx = \frac{1}{2} \int x^2 \sin 2x \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$ लें।
अतः $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x) \, dx \right]$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
पुनः $\int x \cos 2x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$ लें। अतः $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$.
इस मान को वापस रखने पर:
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} \right) + c$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,इस पद को $\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
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View Solution158
MediumMCQ
यदि $\int x^3 e^{5 x} d x = \frac{e^{5 x}}{5^4}[f(x)] + C$ है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6$
B
$5 x^3 - 5^2 x^2 + 5^3 x - 6$
C
$5^2 x^3 - 15 x^2 + 30 x - 6$
D
$5^3 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6$
Solution
(A) खंडशः समाकलन (Integration by parts) के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
मान लीजिए $u = x^3$ और $v = e^{5x}$.
$\int x^3 e^{5x} dx = x^3 \frac{e^{5x}}{5} - \int 3x^2 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} \int x^2 e^{5x} dx$.
अब,$\int x^2 e^{5x} dx = x^2 \frac{e^{5x}}{5} - \int 2x \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} \int x e^{5x} dx$.
और $\int x e^{5x} dx = x \frac{e^{5x}}{5} - \int 1 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}$.
इन मानों को वापस रखने पर:
$\int x^3 e^{5x} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} [\frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25})] + C$.
$= \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3 x^2 e^{5x}}{25} + \frac{6 x e^{5x}}{125} - \frac{6 e^{5x}}{625} + C$.
$= \frac{e^{5x}}{625} [125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6] + C$.
चूंकि $5^4 = 625$,इसलिए $f(x) = 125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = x^3$ और $v = e^{5x}$.
$\int x^3 e^{5x} dx = x^3 \frac{e^{5x}}{5} - \int 3x^2 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} \int x^2 e^{5x} dx$.
अब,$\int x^2 e^{5x} dx = x^2 \frac{e^{5x}}{5} - \int 2x \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} \int x e^{5x} dx$.
और $\int x e^{5x} dx = x \frac{e^{5x}}{5} - \int 1 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}$.
इन मानों को वापस रखने पर:
$\int x^3 e^{5x} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} [\frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25})] + C$.
$= \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3 x^2 e^{5x}}{25} + \frac{6 x e^{5x}}{125} - \frac{6 e^{5x}}{625} + C$.
$= \frac{e^{5x}}{625} [125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6] + C$.
चूंकि $5^4 = 625$,इसलिए $f(x) = 125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
यदि $\int \log \left(a^2+x^2\right) d x=h(x)+C$ है,तो $h(x)$ किसके बराबर है?
A
$x \log \left(a^2+x^2\right)+2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
B
$x^2 \log \left(a^2+x^2\right)+x+a \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
C
$x \log \left(a^2+x^2\right)-2 x+2 a \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
D
$x^2 \log \left(a^2+x^2\right)+2 x-a^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
Solution
(C) माना $I = \int \log \left(a^2+x^2\right) d x$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$।
माना $u = \log(a^2+x^2)$ और $v = 1$ है।
तब $u' = \frac{2x}{a^2+x^2}$ और $\int v dx = x$ होगा।
$I = x \log(a^2+x^2) - \int \frac{2x^2}{a^2+x^2} dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int \frac{x^2+a^2-a^2}{a^2+x^2} dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int (1 - \frac{a^2}{a^2+x^2}) dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 \int \frac{1}{a^2+x^2} dx + C$।
चूँकि $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 (\frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})) + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$।
$h(x)+C$ के साथ तुलना करने पर,$h(x) = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$।
माना $u = \log(a^2+x^2)$ और $v = 1$ है।
तब $u' = \frac{2x}{a^2+x^2}$ और $\int v dx = x$ होगा।
$I = x \log(a^2+x^2) - \int \frac{2x^2}{a^2+x^2} dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int \frac{x^2+a^2-a^2}{a^2+x^2} dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int (1 - \frac{a^2}{a^2+x^2}) dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 \int \frac{1}{a^2+x^2} dx + C$।
चूँकि $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 (\frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})) + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$।
$h(x)+C$ के साथ तुलना करने पर,$h(x) = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$\int (x+1)^2 e^x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$x e^x + C$
B
$x^2 e^x + C$
C
$(x+1) e^x + C$
D
$(x^2+1) e^x + C$
Solution
(D) यहाँ हम खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करेंगे: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = (x+1)^2$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = 2(x+1) \, dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - \int 2(x+1) e^x \, dx$.
अब,$\int (x+1) e^x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = (x+1)$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (x+1) e^x \, dx = (x+1) e^x - \int e^x \, dx = (x+1) e^x - e^x = x e^x$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - 2(x e^x) + C$
$= (x^2 + 2x + 1) e^x - 2x e^x + C$
$= (x^2 + 1) e^x + C$.
माना $u = (x+1)^2$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = 2(x+1) \, dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - \int 2(x+1) e^x \, dx$.
अब,$\int (x+1) e^x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = (x+1)$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (x+1) e^x \, dx = (x+1) e^x - \int e^x \, dx = (x+1) e^x - e^x = x e^x$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - 2(x e^x) + C$
$= (x^2 + 2x + 1) e^x - 2x e^x + C$
$= (x^2 + 1) e^x + C$.
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MediumMCQ
यदि $I_n = \int (\log x)^n \, dx$ है,तो $I_n + n I_{n-1} =$ क्या होगा?
A
$x(\log x)^n$
B
$x(\log x)^{n-1}$
C
$n(\log x)^n$
D
$(\log x)^n$
Solution
(A) दिया गया है $I_n = \int (\log x)^n \, dx$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = dx$।
तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ होगा।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_n = x(\log x)^n - \int x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I_n = x(\log x)^n - n \int (\log x)^{n-1} \, dx$
चूंकि $I_{n-1} = \int (\log x)^{n-1} \, dx$,इसलिए:
$I_n = x(\log x)^n - n I_{n-1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_n + n I_{n-1} = x(\log x)^n$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = dx$।
तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ होगा।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_n = x(\log x)^n - \int x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I_n = x(\log x)^n - n \int (\log x)^{n-1} \, dx$
चूंकि $I_{n-1} = \int (\log x)^{n-1} \, dx$,इसलिए:
$I_n = x(\log x)^n - n I_{n-1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_n + n I_{n-1} = x(\log x)^n$।
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MediumMCQ
यदि $\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=f(x)-\log \left(1+x^2\right)$ है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2 x \tan ^{-1} x$
B
$-2 x \tan ^{-1} x$
C
$x \tan ^{-1} x$
D
$-x \tan ^{-1} x$
Solution
(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$ है,इसलिए:
$I = \int 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = \theta$ और $dv = \sec ^2 \theta d \theta$ लेने पर:
$I = 2 [\theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta]$.
$I = 2 [\theta \tan \theta + \log |\cos \theta|] + C$.
यहाँ $\tan \theta = x$ है,इसलिए $\theta = \tan ^{-1} x$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
$I = 2 [x \tan ^{-1} x + \log |\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|] + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x + 2 \log (1+x^2)^{-1/2} + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.
इसे $f(x) - \log (1+x^2)$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = 2 x \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$ है,इसलिए:
$I = \int 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = \theta$ और $dv = \sec ^2 \theta d \theta$ लेने पर:
$I = 2 [\theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta]$.
$I = 2 [\theta \tan \theta + \log |\cos \theta|] + C$.
यहाँ $\tan \theta = x$ है,इसलिए $\theta = \tan ^{-1} x$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
$I = 2 [x \tan ^{-1} x + \log |\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|] + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x + 2 \log (1+x^2)^{-1/2} + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.
इसे $f(x) - \log (1+x^2)$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = 2 x \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$\int (\log x)^3 dx = $
A
$(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6 + c$
B
$x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + c$
C
$(x \log x)^3 - 3(x \log x)^2 + 6 x(\log x) - 6 + c$
D
$\frac{1}{x} [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + c$
Solution
(B) माना $I = \int (\log x)^3 dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int t^3 e^t dt$।
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int e^t f(t) dt = e^t [f(t) - f'(t) + f''(t) - f'''(t) + \dots]$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^3$:
$f'(t) = 3t^2$,$f''(t) = 6t$,और $f'''(t) = 6$।
इसलिए,$I = e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$।
$t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर:
$I = x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + C$।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int t^3 e^t dt$।
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int e^t f(t) dt = e^t [f(t) - f'(t) + f''(t) - f'''(t) + \dots]$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^3$:
$f'(t) = 3t^2$,$f''(t) = 6t$,और $f'''(t) = 6$।
इसलिए,$I = e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$।
$t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर:
$I = x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + C$।
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DifficultMCQ
$\int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{2}\left(x \cos ^{-1} x-\sqrt{1-x^2}\right)+c$
B
$\frac{1}{2}\left(x \cos ^{-1} x+\sqrt{1-x^2}\right)+c$
C
$\frac{1}{2}\left(x \sin ^{-1} x-\sqrt{1-x^2}\right)+c$
D
$\frac{1}{2}\left(x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^2}\right)+c$
Solution
(A) माना $I = \int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -2\sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
अतः,$I = \int \theta (-2\sin 2\theta) d\theta = -2 \int \theta \sin 2\theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = -2 \left[ \theta \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \right] = \theta \cos 2\theta - \int \cos 2\theta d\theta = \theta \cos 2\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + c$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1-x^2}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \cos^{-1} x \cdot x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c = \frac{1}{2} (x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -2\sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
अतः,$I = \int \theta (-2\sin 2\theta) d\theta = -2 \int \theta \sin 2\theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = -2 \left[ \theta \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \right] = \theta \cos 2\theta - \int \cos 2\theta d\theta = \theta \cos 2\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + c$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1-x^2}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \cos^{-1} x \cdot x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c = \frac{1}{2} (x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.
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MediumMCQ
$\int \frac{x^2 \operatorname{Tan}^{-1} x}{(1+x^2)^2} dx =$
A
$\frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} + \frac{1-x^2}{4(1+x^2)} + c$
B
$\frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{4x \operatorname{Tan}^{-1} x + 1 - x^2}{8(1+x^2)} + c$
C
$\frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{(1+x^2)} - \frac{1-x^2}{4(1+x^2)} + c$
D
$\frac{(\tan x)^2}{4} + \frac{4x \operatorname{Tan}^{-1} x - 1 + x^2}{4(1+x^2)} + c$
Solution
(A) माना $I = \int \frac{x^2 \operatorname{Tan}^{-1} x}{(1+x^2)^2} dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{Tan}^{-1} x$ और $dv = \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$v$ ज्ञात करने के लिए,$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए,$dx = \sec^2 \theta d\theta$,हमें प्राप्त होता है $\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{2} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x + \frac{x}{2(1+x^2)}$.
अतः,$v = \operatorname{Tan}^{-1} x - (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x + \frac{x}{2(1+x^2)}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}$.
अब,$I = uv - \int v du = \operatorname{Tan}^{-1} x (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}) - \int (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}) \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{2} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{1}{2} \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} x}{1+x^2} dx + \frac{1}{2} \int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{2} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{1}{4(1+x^2)} + c$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{1}{4(1+x^2)} + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{Tan}^{-1} x$ और $dv = \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$v$ ज्ञात करने के लिए,$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए,$dx = \sec^2 \theta d\theta$,हमें प्राप्त होता है $\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{2} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x + \frac{x}{2(1+x^2)}$.
अतः,$v = \operatorname{Tan}^{-1} x - (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x + \frac{x}{2(1+x^2)}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}$.
अब,$I = uv - \int v du = \operatorname{Tan}^{-1} x (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}) - \int (\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{x}{2(1+x^2)}) \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{2} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{1}{2} \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} x}{1+x^2} dx + \frac{1}{2} \int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{2} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{1}{4(1+x^2)} + c$.
$I = \frac{(\operatorname{Tan}^{-1} x)^2}{4} - \frac{x \operatorname{Tan}^{-1} x}{2(1+x^2)} - \frac{1}{4(1+x^2)} + c$.
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MediumMCQ
$\int \frac{\log x}{(1+x)^3} d x=$
A
$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x}+\frac{\log x}{(1+x)^2}-\log \left(\frac{x}{1+x}\right)\right]+c$
B
$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x}-\frac{\log x}{(1+x)^2}-\log \left(\frac{x}{1+x}\right)\right]+c$
C
$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x}+\frac{\log x}{(1+x)^2}-\log \left(1+x\right)\right]+c$
D
$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x}-\frac{\log x}{(1+x)^2}+\log \left(\frac{x}{1+x}\right)\right]+c$
Solution
(D) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+x)^3} dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = (1+x)^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = \int (1+x)^{-3} dx = -\frac{1}{2(1+x)^2}$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\log x}{2(1+x)^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x(1+x)^2} dx$।
$\frac{1}{x(1+x)^2}$ के लिए आंशिक भिन्न (Partial fractions) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{x(1+x)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}$।
अतः समाकलन करने पर: $\log|x| - \log|1+x| + \frac{1}{1+x} = \log\left|\frac{x}{1+x}\right| + \frac{1}{1+x}$।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{\log x}{(1+x)^2} + \log\left|\frac{x}{1+x}\right| \right] + c$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = (1+x)^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = \int (1+x)^{-3} dx = -\frac{1}{2(1+x)^2}$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\log x}{2(1+x)^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x(1+x)^2} dx$।
$\frac{1}{x(1+x)^2}$ के लिए आंशिक भिन्न (Partial fractions) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{x(1+x)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}$।
अतः समाकलन करने पर: $\log|x| - \log|1+x| + \frac{1}{1+x} = \log\left|\frac{x}{1+x}\right| + \frac{1}{1+x}$।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{\log x}{(1+x)^2} + \log\left|\frac{x}{1+x}\right| \right] + c$।
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MediumMCQ
यदि $\int x^3 \sin 3x \, dx = \frac{1}{27}[f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x] + c$ है,तो $f(1) + g(1) =$
A
$14$
B
$6$
C
$4$
D
$12$
Solution
(C) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $I = \int x^3 \sin 3x \, dx$.
खंडशः समाकलन के लिए सारणीबद्ध विधि का उपयोग करते हुए:
$u = x^3$,$dv = \sin 3x \, dx$
$u' = 3x^2$,$v = -\frac{1}{3} \cos 3x$
$u'' = 6x$,$v_1 = -\frac{1}{9} \sin 3x$
$u''' = 6$,$v_2 = \frac{1}{27} \cos 3x$
$u'''' = 0$,$v_3 = \frac{1}{81} \sin 3x$
$I = (x^3)(-\frac{1}{3} \cos 3x) - (3x^2)(-\frac{1}{9} \sin 3x) + (6x)(\frac{1}{27} \cos 3x) - (6)(\frac{1}{81} \sin 3x) + c$
$I = -\frac{x^3}{3} \cos 3x + \frac{x^2}{3} \sin 3x + \frac{2x}{9} \cos 3x - \frac{2}{27} \sin 3x + c$
$\frac{1}{27}[f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x]$ रूप प्राप्त करने के लिए $\frac{27}{27}$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{1}{27}[-9x^3 \cos 3x + 9x^2 \sin 3x + 6x \cos 3x - 2 \sin 3x] + c$
$I = \frac{1}{27}[(-9x^3 + 6x) \cos 3x + (9x^2 - 2) \sin 3x] + c$
अतः,$f(x) = -9x^3 + 6x$ और $g(x) = 9x^2 - 2$.
$f(1) = -9(1)^3 + 6(1) = -9 + 6 = -3$.
$g(1) = 9(1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$.
$f(1) + g(1) = -3 + 7 = 4$.
माना $I = \int x^3 \sin 3x \, dx$.
खंडशः समाकलन के लिए सारणीबद्ध विधि का उपयोग करते हुए:
$u = x^3$,$dv = \sin 3x \, dx$
$u' = 3x^2$,$v = -\frac{1}{3} \cos 3x$
$u'' = 6x$,$v_1 = -\frac{1}{9} \sin 3x$
$u''' = 6$,$v_2 = \frac{1}{27} \cos 3x$
$u'''' = 0$,$v_3 = \frac{1}{81} \sin 3x$
$I = (x^3)(-\frac{1}{3} \cos 3x) - (3x^2)(-\frac{1}{9} \sin 3x) + (6x)(\frac{1}{27} \cos 3x) - (6)(\frac{1}{81} \sin 3x) + c$
$I = -\frac{x^3}{3} \cos 3x + \frac{x^2}{3} \sin 3x + \frac{2x}{9} \cos 3x - \frac{2}{27} \sin 3x + c$
$\frac{1}{27}[f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x]$ रूप प्राप्त करने के लिए $\frac{27}{27}$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{1}{27}[-9x^3 \cos 3x + 9x^2 \sin 3x + 6x \cos 3x - 2 \sin 3x] + c$
$I = \frac{1}{27}[(-9x^3 + 6x) \cos 3x + (9x^2 - 2) \sin 3x] + c$
अतः,$f(x) = -9x^3 + 6x$ और $g(x) = 9x^2 - 2$.
$f(1) = -9(1)^3 + 6(1) = -9 + 6 = -3$.
$g(1) = 9(1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$.
$f(1) + g(1) = -3 + 7 = 4$.
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DifficultMCQ
यदि $\int \frac{x^2(x \sec^2 x+\tan x)}{(x \tan x+1)^2} dx = \frac{-x^2}{x \tan x+1} + f(x) + c$ है,तो $f(x) =$
A
$2 \log |x \sin x + \cos x| + c$
B
$2 \log |x \cos x + \sin x| + c$
C
$\log |x \sin x + \cos x| + c$
D
$\log |x \cos x + \sin x| + c$
Solution
(A) माना $I = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ लें।
सबसे पहले,$v = \int \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ ज्ञात करें।
माना $t = x \tan x + 1$,तो $dt = (x \sec^2 x + \tan x) dx$।
अतः,$v = \int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{x \tan x + 1}$।
अब,खंडशः समाकलन का सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = x^2 \left( -\frac{1}{x \tan x + 1} \right) - \int \left( -\frac{1}{x \tan x + 1} \right) (2x) dx$।
$I = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x}{x \tan x + 1} dx$।
$I = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \int \frac{2x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
माना $u = x \sin x + \cos x$,तो $du = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$।
अतः,$f(x) = \int \frac{2}{u} du = 2 \log |u| + c = 2 \log |x \sin x + \cos x| + c$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ लें।
सबसे पहले,$v = \int \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ ज्ञात करें।
माना $t = x \tan x + 1$,तो $dt = (x \sec^2 x + \tan x) dx$।
अतः,$v = \int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{x \tan x + 1}$।
अब,खंडशः समाकलन का सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = x^2 \left( -\frac{1}{x \tan x + 1} \right) - \int \left( -\frac{1}{x \tan x + 1} \right) (2x) dx$।
$I = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x}{x \tan x + 1} dx$।
$I = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \int \frac{2x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
माना $u = x \sin x + \cos x$,तो $du = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$।
अतः,$f(x) = \int \frac{2}{u} du = 2 \log |u| + c = 2 \log |x \sin x + \cos x| + c$।
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DifficultMCQ
यदि $\int(\log x)^3 x^5 d x=\frac{x^6}{A}\left[B(\log x)^3+C(\log x)^2+D(\log x)-1\right]+k$ और $A, B, C, D$ पूर्णांक हैं,तो $A-(B+C+D)=$
A
$172$
B
$184$
C
$192$
D
$216$
Solution
(C) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = (\log x)^3$ और $v = x^5$.
$\int (\log x)^3 x^5 dx = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$.
पुनः खंडशः समाकलन लागू करने पर:
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} [(\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$.
एक बार और खंडशः समाकलन लागू करने पर:
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} [(\log x) \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36}\log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$.
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36}\log x - \frac{x^6}{216} + k$.
$\frac{x^6}{216}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{x^6}{216} [36(\log x)^3 - 18(\log x)^2 + 6(\log x) - 1] + k$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = 216, B = 36, C = -18, D = 6$.
अतः,$A - (B + C + D) = 216 - (36 - 18 + 6) = 216 - 24 = 192$.
$\int (\log x)^3 x^5 dx = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$.
पुनः खंडशः समाकलन लागू करने पर:
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} [(\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$.
एक बार और खंडशः समाकलन लागू करने पर:
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} [(\log x) \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36}\log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$.
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36}\log x - \frac{x^6}{216} + k$.
$\frac{x^6}{216}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{x^6}{216} [36(\log x)^3 - 18(\log x)^2 + 6(\log x) - 1] + k$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = 216, B = 36, C = -18, D = 6$.
अतः,$A - (B + C + D) = 216 - (36 - 18 + 6) = 216 - 24 = 192$.
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DifficultMCQ
यदि $I_n = \int x^n \sin x \, dx$ और $I_6 - 360 I_2 = f(x) \cos x + g(x) \sin x$ है,तो $f(1) + g(1) =$
A
$-85$
B
$0$
C
$-53$
D
$75$
Solution
(A) खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$I_n = \int x^n \sin x \, dx = -x^n \cos x + n \int x^{n-1} \cos x \, dx = -x^n \cos x + n(x^{n-1} \sin x - (n-1) \int x^{n-2} \sin x \, dx)$.
अतः,$I_n = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x - n(n-1) I_{n-2}$.
इससे पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है: $I_n + n(n-1) I_{n-2} = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x$.
$n=6$ के लिए: $I_6 + 30 I_4 = -x^6 \cos x + 6 x^5 \sin x$.
$n=4$ के लिए: $I_4 + 12 I_2 = -x^4 \cos x + 4 x^3 \sin x$.
दूसरे समीकरण को $-30$ से गुणा करने पर: $-30 I_4 - 360 I_2 = 30 x^4 \cos x - 120 x^3 \sin x$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $I_6 - 360 I_2 = (30 x^4 - x^6) \cos x + (6 x^5 - 120 x^3) \sin x$.
$f(x) \cos x + g(x) \sin x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 30 x^4 - x^6$ और $g(x) = 6 x^5 - 120 x^3$ प्राप्त होता है.
अतः $f(1) = 30(1)^4 - (1)^6 = 29$ और $g(1) = 6(1)^5 - 120(1)^3 = -114$.
इस प्रकार,$f(1) + g(1) = 29 - 114 = -85$.
अतः,$I_n = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x - n(n-1) I_{n-2}$.
इससे पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है: $I_n + n(n-1) I_{n-2} = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x$.
$n=6$ के लिए: $I_6 + 30 I_4 = -x^6 \cos x + 6 x^5 \sin x$.
$n=4$ के लिए: $I_4 + 12 I_2 = -x^4 \cos x + 4 x^3 \sin x$.
दूसरे समीकरण को $-30$ से गुणा करने पर: $-30 I_4 - 360 I_2 = 30 x^4 \cos x - 120 x^3 \sin x$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $I_6 - 360 I_2 = (30 x^4 - x^6) \cos x + (6 x^5 - 120 x^3) \sin x$.
$f(x) \cos x + g(x) \sin x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 30 x^4 - x^6$ और $g(x) = 6 x^5 - 120 x^3$ प्राप्त होता है.
अतः $f(1) = 30(1)^4 - (1)^6 = 29$ और $g(1) = 6(1)^5 - 120(1)^3 = -114$.
इस प्रकार,$f(1) + g(1) = 29 - 114 = -85$.
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MediumMCQ
$\int \frac{\tan ^{-1} x}{x^3} d x=$
A
$\frac{-\left(x^2+1\right)}{2 x} \tan ^{-1} x-\frac{1}{2 x}+C$
B
$\frac{-\left(x^2+1\right)}{2 x^2+1} \tan ^{-1} x-\frac{1}{2 x^2}+C$
C
$\frac{-1}{2 x}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2 x^2}\right) \tan ^{-1} x+C$
D
$\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^2} \tan ^{-1} x+C$
Solution
(C) माना कि $I = \int \frac{\tan ^{-1} x}{x^3} d x$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} x$ और $dv = x^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
$I = u v - \int v du = \tan ^{-1} x \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2(1+x^2)} dx$.
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{x} - \tan ^{-1} x\right) + C$.
$I = -\frac{1}{2x} - \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}\right) \tan ^{-1} x + C$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} x$ और $dv = x^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
$I = u v - \int v du = \tan ^{-1} x \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2(1+x^2)} dx$.
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{x} - \tan ^{-1} x\right) + C$.
$I = -\frac{1}{2x} - \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}\right) \tan ^{-1} x + C$.
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MediumMCQ
यदि $\int x^3(\log x)^2 d x = x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C] + K$ है,तो $A + B + C$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{7}{24}$
B
$\frac{4}{25}$
C
$\frac{3}{14}$
D
$\frac{5}{32}$
Solution
(D) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = (\log x)^2$ और $v = x^3$.
तब $u' = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \int (2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.
अब,$\int x^3 \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} [\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}] + K = x^4 [\frac{1}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{8} \log x + \frac{1}{32}] + K$.
$x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C]$ से तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{8}$,और $C = \frac{1}{32}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B + C = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{8 - 4 + 1}{32} = \frac{5}{32}$.
तब $u' = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \int (2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.
अब,$\int x^3 \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} [\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}] + K = x^4 [\frac{1}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{8} \log x + \frac{1}{32}] + K$.
$x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C]$ से तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{8}$,और $C = \frac{1}{32}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B + C = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{8 - 4 + 1}{32} = \frac{5}{32}$.
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MediumMCQ
यदि $\int \frac{x^2(x \sec^2 x+\tan x)}{(x \tan x+1)^2} dx = A \log(|x \sin x+\cos x|) + B \frac{f(x)}{(x \tan x+1)} + C$ है,तो $f(A+B) =$
A
$1$
B
$0$
C
$-1$
D
$2$
Solution
(A) माना $I = \int x^2 \cdot \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$ लें।
तब $du = 2x dx$ और $v = \int \frac{d(x \tan x)}{(x \tan x+1)^2} = -\frac{1}{x \tan x+1}$.
अतः,$I = x^2 \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) - \int 2x \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x}{x \tan x+1} dx$.
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$.
माना $t = x \sin x + \cos x$,तो $dt = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{dt}{t} = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \log|x \sin x + \cos x| + C$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = 2$,$B = -1$,और $f(x) = x^2$.
अतः,$f(A+B) = f(2-1) = f(1) = (1)^2 = 1$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$ लें।
तब $du = 2x dx$ और $v = \int \frac{d(x \tan x)}{(x \tan x+1)^2} = -\frac{1}{x \tan x+1}$.
अतः,$I = x^2 \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) - \int 2x \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x}{x \tan x+1} dx$.
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$.
माना $t = x \sin x + \cos x$,तो $dt = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{dt}{t} = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \log|x \sin x + \cos x| + C$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = 2$,$B = -1$,और $f(x) = x^2$.
अतः,$f(A+B) = f(2-1) = f(1) = (1)^2 = 1$.
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EasyMCQ
$I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx =$
A
$\frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$
B
$\frac{x^m}{m} (\log x)^n - \frac{n-1}{m+1} I_{m+1, n-1}$
C
$\frac{x^{m+1}}{m} \frac{(\log x)^{n+1}}{n+1} - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$
D
$x^m \frac{(\log x)^{n+1}}{n+1} - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$
Solution
(A) दिया गया है,$I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = x^m \, dx$.
तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^{m+1}}{m+1}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_{m, n} = (\log x)^n \cdot \frac{x^{m+1}}{m+1} - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$.
चूंकि $I_{m, n-1} = \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = x^m \, dx$.
तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^{m+1}}{m+1}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_{m, n} = (\log x)^n \cdot \frac{x^{m+1}}{m+1} - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$.
चूंकि $I_{m, n-1} = \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$.
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EasyMCQ
$\int (\log x)^2 dx =$
A
$x \log x - 2x \log x + c$
B
$x \log x + 2x \log x + c$
C
$x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$
D
$x(\log x)^2 + 2x(\log x - 1) + c$
Solution
(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v du$.
माना $u = (\log x)^2$ और $dv = dx$.
तब $du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = x(\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx + c$
$I = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx + c$
अब,$\int \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर (माना $u = \log x, dv = dx$):
$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$.
माना $u = (\log x)^2$ और $dv = dx$.
तब $du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = x(\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx + c$
$I = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx + c$
अब,$\int \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर (माना $u = \log x, dv = dx$):
$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$.
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DifficultMCQ
यदि $\int x(1+x) \log(1+x^2) dx = F(x) \log(1+x^2) - \frac{2}{3} \tan^{-1} x - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{3} + c$ है,तो $F(x) =$
A
$\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$
B
$\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}$
C
$\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}$
D
$\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}$
Solution
(C) माना $I = \int (x+x^2) \log(1+x^2) dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\log(1+x^2)$ को प्रथम फलन लेने पर:
$I = \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx - \int \left( \frac{d}{dx} \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx \right) dx$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \int \frac{2x}{1+x^2} \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) dx$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \int \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \frac{2x^4}{3(1+x^2)} \right) dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int \frac{x(x^2+1-1)}{1+x^2} dx = \int x dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$
$\int \frac{2x^4}{3(1+x^2)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x^4-1+1}{1+x^2} dx = \frac{2}{3} \int (x^2-1) dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} \tan^{-1} x$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} \tan^{-1} x \right) + c$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \right) - \frac{2}{3} \tan^{-1} x - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{3} + c$
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx - \int \left( \frac{d}{dx} \log(1+x^2) \int (x+x^2) dx \right) dx$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \int \frac{2x}{1+x^2} \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) dx$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \int \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \frac{2x^4}{3(1+x^2)} \right) dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int \frac{x(x^2+1-1)}{1+x^2} dx = \int x dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$
$\int \frac{2x^4}{3(1+x^2)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x^4-1+1}{1+x^2} dx = \frac{2}{3} \int (x^2-1) dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} \tan^{-1} x$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) - \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + \frac{2x^3}{9} - \frac{2x}{3} + \frac{2}{3} \tan^{-1} x \right) + c$
$I = \log(1+x^2) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \right) - \frac{2}{3} \tan^{-1} x - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{3} + c$
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$I \subset R-\{-1,1\}$ पर,$\int \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) d x=$
A
$2 x \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)+\log \left(1+x^2\right)+c$
B
$x \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)-\log \left(1-x^2\right)+c$
C
$x \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)-\log \left(1+x^2\right)+c$
D
$x^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{1-x^2}\right)+\log \left(1-x^2\right)+c$
Solution
(C) माना $I_1 = \int \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) d x$.
$|x| < 1$ के लिए,हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = 2 \tan ^{-1} x$.
अतः,$I_1 = \int 2 \tan ^{-1} x d x = 2 \int \tan ^{-1} x d x$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} x$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ होगा।
$I_1 = 2 \left( x \tan ^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx \right)$.
$I_1 = 2 x \tan ^{-1} x - \int \frac{2x}{1+x^2} dx$.
$I_1 = 2 x \tan ^{-1} x - \log(1+x^2) + C$.
चूंकि $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$,मान वापस रखने पर:
$I_1 = x \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) - \log(1+x^2) + C$.
$|x| < 1$ के लिए,हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = 2 \tan ^{-1} x$.
अतः,$I_1 = \int 2 \tan ^{-1} x d x = 2 \int \tan ^{-1} x d x$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} x$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ होगा।
$I_1 = 2 \left( x \tan ^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx \right)$.
$I_1 = 2 x \tan ^{-1} x - \int \frac{2x}{1+x^2} dx$.
$I_1 = 2 x \tan ^{-1} x - \log(1+x^2) + C$.
चूंकि $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$,मान वापस रखने पर:
$I_1 = x \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) - \log(1+x^2) + C$.
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EasyMCQ
$\int (\log x)^3 x^4 \, dx$
A
$\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 75 p^2 + 30 p - 6] + c$ (जहाँ,$p = \log x$)
B
$\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 25 p^2 + 30 p - 5] + c$ (जहाँ,$p = \log x$)
C
$\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 60 p^2 - 25 p + 5] + c$ (जहाँ,$p = \log x$)
D
$\frac{x^5}{125} [625 p^3 - 75 p^2 + 30 p + 6] + c$ (जहाँ,$p = \log x$)
Solution
(A) माना $I = \int (\log x)^3 x^4 \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. $u = (\log x)^3$ और $dv = x^4 \, dx$ लेने पर,$du = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^5}{5}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4 (\log x)^2 \, dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x \, dx$.
अंत में,$\int x^4 \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125} x^5 \log x - \frac{6}{625} x^5 + c$.
$\frac{x^5}{625}$ को कॉमन लेने पर:
$I = \frac{x^5}{625} [125(\log x)^3 - 75(\log x)^2 + 30(\log x) - 6] + c$.
$p = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,उत्तर $\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 75 p^2 + 30 p - 6] + c$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4 (\log x)^2 \, dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x \, dx$.
अंत में,$\int x^4 \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125} x^5 \log x - \frac{6}{625} x^5 + c$.
$\frac{x^5}{625}$ को कॉमन लेने पर:
$I = \frac{x^5}{625} [125(\log x)^3 - 75(\log x)^2 + 30(\log x) - 6] + c$.
$p = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,उत्तर $\frac{x^5}{625} [125 p^3 - 75 p^2 + 30 p - 6] + c$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$\int x^4 e^{2 x} d x=$
A
$\frac{e^{2 x}}{4}\left(2 x^4-4 x^3+6 x^2-6 x+3\right)+C$
B
$\frac{e^{2 x}}{2}\left(2 x^4-4 x^3+6 x^2-6 x+3\right)+C$
C
$\frac{e^{2 x}}{8}\left(2 x^4+4 x^3+6 x^2+6 x+3\right)+C$
D
$-\frac{e^{2 x}}{4}\left(2 x^4+4 x^3+6 x^2+6 x+3\right)+C$
Solution
(A) माना $I = \int x^4 e^{2 x} d x$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$.
$u = x^4$ और $v = e^{2 x}$ लेने पर:
$I = x^4 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 4 x^3 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 \int x^3 e^{2 x} d x$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3 x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int x^2 e^{2 x} d x$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
$\int x^2 e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \int x e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})$.
$I$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 [\frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})] + C$.
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - x^3 e^{2 x} + \frac{3}{2} x^2 e^{2 x} - \frac{3}{2} x e^{2 x} + \frac{3}{4} e^{2 x} + C$.
$I = \frac{e^{2 x}}{4} (2 x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 6 x + 3) + C$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$.
$u = x^4$ और $v = e^{2 x}$ लेने पर:
$I = x^4 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 4 x^3 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 \int x^3 e^{2 x} d x$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3 x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int x^2 e^{2 x} d x$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
$\int x^2 e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \int x e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})$.
$I$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 [\frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})] + C$.
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - x^3 e^{2 x} + \frac{3}{2} x^2 e^{2 x} - \frac{3}{2} x e^{2 x} + \frac{3}{4} e^{2 x} + C$.
$I = \frac{e^{2 x}}{4} (2 x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 6 x + 3) + C$.
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EasyMCQ
$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\sqrt{1+x^2}-\frac{x}{3}(1+x^2)^{3/2}+C$
B
$x\sqrt{1+x^2}+\frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2}+C$
C
$x^2\sqrt{1+x^2}-\frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2}+C$
D
$x^2\sqrt{1+x^2}-\frac{1}{3}(1+x^2)^{1/2}+C$
Solution
(C) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$.
हम समाकलन को $I = \int x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ लें।
तब $du = 2x dx$ और $v = \int (1+x^2)^{-1/2} x dx = \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int 2x \sqrt{1+x^2} dx$.
शेष समाकलन के लिए,$t = 1+x^2$ लें,जिससे $dt = 2x dx$ प्राप्त होता है।
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int t^{1/2} dt = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C$.
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.
हम समाकलन को $I = \int x^2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ लें।
तब $du = 2x dx$ और $v = \int (1+x^2)^{-1/2} x dx = \sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int 2x \sqrt{1+x^2} dx$.
शेष समाकलन के लिए,$t = 1+x^2$ लें,जिससे $dt = 2x dx$ प्राप्त होता है।
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \int t^{1/2} dt = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} + C$.
$I = x^2 \sqrt{1+x^2} - \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.
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MediumMCQ
यदि $n \geq 1$ के लिए $I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$ है,तो $c \cdot I_n + n \cdot I_{n-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$x^n e^{cx}$
B
$x^n$
C
$e^{cx}$
D
$x^n + e^{cx}$
Solution
(A) दिया गया है कि,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
माना $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, dx$.
तब $du = n x^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{cx}}{c}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$.
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$.
चूंकि $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,इसलिए:
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$.
दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर:
$c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
माना $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, dx$.
तब $du = n x^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{cx}}{c}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$.
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$.
चूंकि $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,इसलिए:
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$.
दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर:
$c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.
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MediumMCQ
$\int e^{-3 x}\left(x^2+\sin 4 x\right) d x=$
A
$-e^{-3 x}\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2 x}{9}+\frac{2}{27}+\frac{3}{25} \sin 4 x+\frac{4}{25} \cos 4 x\right)+C$
B
$-e^{-3 x}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{2 x}{9}+\frac{2}{27}+\frac{3}{25} \sin 4 x+\frac{4}{25} \cos 4 x\right)+C$
C
$-e^{-3 x}\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2 x}{9}+\frac{2}{27}+\frac{3}{25} \sin 4 x-\frac{4}{25} \cos 4 x\right)+C$
D
$-e^{-3 x}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{2 x}{9}+\frac{2}{27}+\frac{3}{25} \sin 4 x-\frac{4}{25} \cos 4 x\right)+C$
Solution
(A) हमें $I = \int e^{-3x}(x^2 + \sin 4x) dx = \int x^2 e^{-3x} dx + \int e^{-3x} \sin 4x dx$ का मूल्यांकन करना है।
पहले भाग के लिए,$u = x^2$ और $dv = e^{-3x} dx$ के साथ खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए:
$\int x^2 e^{-3x} dx = x^2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} + \frac{2}{3} \int x e^{-3x} dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int x e^{-3x} dx = x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 1 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x}{3} e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x}$.
अतः,$\int x^2 e^{-3x} dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} - \frac{2}{27} e^{-3x}$.
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx)$ का उपयोग करते हुए:
$\int e^{-3x} \sin 4x dx = \frac{e^{-3x}}{(-3)^2 + 4^2} (-3 \sin 4x - 4 \cos 4x) = -\frac{e^{-3x}}{25} (3 \sin 4x + 4 \cos 4x)$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = -e^{-3x} \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} + \frac{3}{25} \sin 4x + \frac{4}{25} \cos 4x \right) + C$.
पहले भाग के लिए,$u = x^2$ और $dv = e^{-3x} dx$ के साथ खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए:
$\int x^2 e^{-3x} dx = x^2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} + \frac{2}{3} \int x e^{-3x} dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int x e^{-3x} dx = x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 1 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x}{3} e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x}$.
अतः,$\int x^2 e^{-3x} dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} - \frac{2}{27} e^{-3x}$.
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx)$ का उपयोग करते हुए:
$\int e^{-3x} \sin 4x dx = \frac{e^{-3x}}{(-3)^2 + 4^2} (-3 \sin 4x - 4 \cos 4x) = -\frac{e^{-3x}}{25} (3 \sin 4x + 4 \cos 4x)$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = -e^{-3x} \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} + \frac{3}{25} \sin 4x + \frac{4}{25} \cos 4x \right) + C$.
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MediumMCQ
यदि $\int x^3 \sin 3x \, dx = f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x + c$ है,तो $27(f(x) + x g(x)) =$
A
$18x^3 + 4x$
B
$8x$
C
$4x$
D
$18x^3 + 8x$
Solution
(C) खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = x^3 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 3x^2 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \int x^2 \cos 3x \, dx$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \left( x^2 \frac{\sin 3x}{3} - \int 2x \frac{\sin 3x}{3} \, dx \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int x \sin 3x \, dx$
अब,$\int x \sin 3x \, dx = x \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 1 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \left( -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9} \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27}$
$= \cos 3x \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} \right) + \sin 3x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) + c$
$f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x + c$ से तुलना करने पर,$f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9}$ और $g(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः $27(f(x) + x g(x)) = 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) \right)$
$= 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{x^3}{3} - \frac{2x}{27} \right) = 27 \left( \frac{6x - 2x}{27} \right) = 4x$
$\int x^3 \sin 3x \, dx = x^3 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 3x^2 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \int x^2 \cos 3x \, dx$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \left( x^2 \frac{\sin 3x}{3} - \int 2x \frac{\sin 3x}{3} \, dx \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int x \sin 3x \, dx$
अब,$\int x \sin 3x \, dx = x \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 1 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \left( -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9} \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27}$
$= \cos 3x \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} \right) + \sin 3x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) + c$
$f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x + c$ से तुलना करने पर,$f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9}$ और $g(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः $27(f(x) + x g(x)) = 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) \right)$
$= 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{x^3}{3} - \frac{2x}{27} \right) = 27 \left( \frac{6x - 2x}{27} \right) = 4x$
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DifficultMCQ
यदि $I_m = \int x^m \cos n x \, dx = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ है,तो $g(x) = $
A
$\frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m(m-1) x^{m-1} \cos n x}{n^2}$
B
$\frac{x^m \cos n x}{n} + \frac{x^{m-1} m(m-1)}{n^2} \sin n x$
C
$\frac{m}{n} \sin n x + \frac{m}{n^2} x^{m-1} \cos n x$
D
$\frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m}{n^2} x^{m-1} \cos n x$
Solution
(D) हमें दिया गया है $I_m = \int x^m \cos n x \, dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^m$ और $dv = \cos n x \, dx$ लें। तब $du = m x^{m-1} \, dx$ और $v = \frac{\sin n x}{n}$ होगा।
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \int \frac{m x^{m-1} \sin n x}{n} \, dx = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \int x^{m-1} \sin n x \, dx$.
अब,$\int x^{m-1} \sin n x \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करें। $u = x^{m-1}$ और $dv = \sin n x \, dx$ लें। तब $du = (m-1) x^{m-2} \, dx$ और $v = -\frac{\cos n x}{n}$ होगा।
$\int x^{m-1} \sin n x \, dx = -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \int \frac{(m-1) x^{m-2} \cos n x}{n} \, dx$.
इस मान को $I_m$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \left( -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \frac{m-1}{n} \int x^{m-2} \cos n x \, dx \right)$.
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2} - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$.
दिए गए समीकरण $I_m = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(x) = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2}$ प्राप्त होता है।
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \int \frac{m x^{m-1} \sin n x}{n} \, dx = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \int x^{m-1} \sin n x \, dx$.
अब,$\int x^{m-1} \sin n x \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करें। $u = x^{m-1}$ और $dv = \sin n x \, dx$ लें। तब $du = (m-1) x^{m-2} \, dx$ और $v = -\frac{\cos n x}{n}$ होगा।
$\int x^{m-1} \sin n x \, dx = -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \int \frac{(m-1) x^{m-2} \cos n x}{n} \, dx$.
इस मान को $I_m$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \left( -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \frac{m-1}{n} \int x^{m-2} \cos n x \, dx \right)$.
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2} - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$.
दिए गए समीकरण $I_m = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(x) = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
यदि $\int \phi(x) dx = \psi(x)$ है,तो $\int (\phi \circ h)(x) \cdot h(x) h'(x) dx =$
A
$(\phi \circ h)(x) \phi'(x) - \int (\phi \circ h)(x) h'(x) dx + c$
B
$(\psi \circ h)(x) h(x) - \int (\psi \circ h)(x) h'(x) dx + c$
C
$(\psi \circ h)(x) \phi(x) - \int (\psi \circ h)(x) \phi'(x) dx + c$
D
$(\psi \circ \phi)(x) h(x) - \int (\psi \circ \phi)(x) h'(x) dx + c$
Solution
(B) दिया गया है कि $\int \phi(x) dx = \psi(x)$। हमें $I = \int \phi(h(x)) \cdot h(x) h'(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $h(x) = t$,तब $h'(x) dx = dt$।
समाकलन $I = \int \phi(t) \cdot t dt$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \phi(t) dt$ लें। तब $du = dt$ और $v = \int \phi(t) dt = \psi(t)$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = t \psi(t) - \int \psi(t) dt$।
$t = h(x)$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$I = h(x) \psi(h(x)) - \int \psi(h(x)) h'(x) dx + c$।
इसे $(\psi \circ h)(x) h(x) - \int (\psi \circ h)(x) h'(x) dx + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $h(x) = t$,तब $h'(x) dx = dt$।
समाकलन $I = \int \phi(t) \cdot t dt$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \phi(t) dt$ लें। तब $du = dt$ और $v = \int \phi(t) dt = \psi(t)$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = t \psi(t) - \int \psi(t) dt$।
$t = h(x)$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$I = h(x) \psi(h(x)) - \int \psi(h(x)) h'(x) dx + c$।
इसे $(\psi \circ h)(x) h(x) - \int (\psi \circ h)(x) h'(x) dx + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
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MediumMCQ
$\text{यदि } \int x^4(\log x)^3 dx = x^5[A(\log x)^3 + B(\log x)^2 + C \log x + D] + k, \text{ तो } A + B + C + 5D = $
A
$\frac{2}{25}$
B
$\frac{8}{25}$
C
$\frac{12}{125}$
D
$\frac{16}{125}$
Solution
(A) खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^3$ और $v = x^4$:
$\int x^4(\log x)^3 dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4(\log x)^2 dx$
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$= \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x dx$
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$= \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125}x^5 \log x - \frac{6}{125} \int x^4 dx$
$= x^5 [\frac{1}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}(\log x)^2 + \frac{6}{125} \log x - \frac{6}{625}] + k$
गुणांकों की तुलना करने पर: $A = \frac{1}{5}, B = -\frac{3}{25}, C = \frac{6}{125}, D = -\frac{6}{625}$
$A + B + C + 5D = \frac{1}{5} - \frac{3}{25} + \frac{6}{125} + 5(-\frac{6}{625}) = \frac{25 - 15 + 6 - 6}{125} = \frac{10}{125} = \frac{2}{25}$
$\int x^4(\log x)^3 dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4(\log x)^2 dx$
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$= \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x dx$
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$= \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125}x^5 \log x - \frac{6}{125} \int x^4 dx$
$= x^5 [\frac{1}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}(\log x)^2 + \frac{6}{125} \log x - \frac{6}{625}] + k$
गुणांकों की तुलना करने पर: $A = \frac{1}{5}, B = -\frac{3}{25}, C = \frac{6}{125}, D = -\frac{6}{625}$
$A + B + C + 5D = \frac{1}{5} - \frac{3}{25} + \frac{6}{125} + 5(-\frac{6}{625}) = \frac{25 - 15 + 6 - 6}{125} = \frac{10}{125} = \frac{2}{25}$
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MediumMCQ
वह धनात्मक पूर्णांक $n \leq 5$ जिसके लिए $\int_0^1 e^x(x-1)^n dx = 16-6e$ है,वह है
A
$5$
B
$4$
C
$3$
D
$2$
Solution
(C) माना $I_n = \int_0^1 e^x(x-1)^n dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$. माना $u = (x-1)^n$ और $dv = e^x dx$. तब $du = n(x-1)^{n-1} dx$ और $v = e^x$.
$I_n = [e^x(x-1)^n]_0^1 - n \int_0^1 e^x(x-1)^{n-1} dx = (0 - (-1)^n) - n I_{n-1} = (-1)^{n+1} - n I_{n-1}$.
$n=1$ के लिए: $I_1 = (-1)^2 - 1 I_0 = 1 - \int_0^1 e^x dx = 1 - (e-1) = 2-e$.
$n=2$ के लिए: $I_2 = (-1)^3 - 2 I_1 = -1 - 2(2-e) = -1 - 4 + 2e = 2e-5$.
$n=3$ के लिए: $I_3 = (-1)^4 - 3 I_2 = 1 - 3(2e-5) = 1 - 6e + 15 = 16-6e$.
इस मान की तुलना दिए गए मान $16-6e$ से करने पर,हमें $n=3$ प्राप्त होता है।
$I_n = [e^x(x-1)^n]_0^1 - n \int_0^1 e^x(x-1)^{n-1} dx = (0 - (-1)^n) - n I_{n-1} = (-1)^{n+1} - n I_{n-1}$.
$n=1$ के लिए: $I_1 = (-1)^2 - 1 I_0 = 1 - \int_0^1 e^x dx = 1 - (e-1) = 2-e$.
$n=2$ के लिए: $I_2 = (-1)^3 - 2 I_1 = -1 - 2(2-e) = -1 - 4 + 2e = 2e-5$.
$n=3$ के लिए: $I_3 = (-1)^4 - 3 I_2 = 1 - 3(2e-5) = 1 - 6e + 15 = 16-6e$.
इस मान की तुलना दिए गए मान $16-6e$ से करने पर,हमें $n=3$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$I = \int \cos(\ln x) \, dx$. तो $I =$
A
$\frac{x}{2} \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\} + c$
B
$x^2 \{\cos(\ln x) - \sin(\ln x)\} + c$
C
$x^2 \sin(\ln x) + c$
D
$x \cos(\ln x) + c$
Solution
(A) माना $I = \int \cos(\ln x) \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\ln x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\ln x) - \int x \cdot (-\sin(\ln x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) \, dx$.
अब,$\int \sin(\ln x) \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर,$u = \sin(\ln x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$\int \sin(\ln x) \, dx = x \sin(\ln x) - \int x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \sin(\ln x) - I$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - I$
$2I = x \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\}$
$I = \frac{x}{2} \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\} + c$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\ln x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\ln x) - \int x \cdot (-\sin(\ln x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) \, dx$.
अब,$\int \sin(\ln x) \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर,$u = \sin(\ln x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$\int \sin(\ln x) \, dx = x \sin(\ln x) - \int x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \sin(\ln x) - I$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - I$
$2I = x \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\}$
$I = \frac{x}{2} \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\} + c$.
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MediumMCQ
यदि $\int \cos x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) dx = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) + f(x)$ है,तो $f(x)$ किसके बराबर है? (मान लीजिए कि $c$ एक स्वेच्छ वास्तविक स्थिरांक है।)
A
$c$
B
$c-x$
C
$c+x$
D
$2x+c$
Solution
(B) माना $I = \int \cos x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,जहाँ $u = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ और $v = \cos x$ है।
तब $u' = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x}$ और $\int v dx = \sin x$ होगा।
$I = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) \cdot \sin x - \int \left( \frac{1}{\sin x} \cdot \sin x \right) dx$।
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - \int 1 dx$।
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - x + c$।
दिए गए व्यंजक $\sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) + f(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = c - x$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,जहाँ $u = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ और $v = \cos x$ है।
तब $u' = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x}$ और $\int v dx = \sin x$ होगा।
$I = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) \cdot \sin x - \int \left( \frac{1}{\sin x} \cdot \sin x \right) dx$।
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - \int 1 dx$।
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - x + c$।
दिए गए व्यंजक $\sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) + f(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = c - x$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
यदि $I = \int \frac{x^2 \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2} = f(x) + \tan x + c$ है,तो $f(x)$ क्या है?
A
$\frac{\sin x}{x \sin x + \cos x}$
B
$\frac{1}{(x \sin x + \cos x)^2}$
C
$\frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)}$
D
$\frac{1}{\sin x(x \cos x + \sin x)}$
Solution
(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{x^2 \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$ दिया गया है।
हम समाकल्य को $I = \int \frac{x}{(x \sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{x}{\cos x} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \frac{x}{\cos x}$ और $dv = \frac{x \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$ है।
तब $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \, dx$ प्राप्त होता है।
सूत्र $I = \int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर,
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} - \int \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \right) \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^2 x \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + c$.
अतः,$f(x) = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)}$ प्राप्त होता है।
हम समाकल्य को $I = \int \frac{x}{(x \sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{x}{\cos x} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \frac{x}{\cos x}$ और $dv = \frac{x \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$ है।
तब $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \, dx$ प्राप्त होता है।
सूत्र $I = \int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर,
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} - \int \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \right) \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^2 x \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + c$.
अतः,$f(x) = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)}$ प्राप्त होता है।
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View Solution191
MediumMCQ
यदि $\int \tan^{-1} x \, dx = Ax \tan^{-1} x + B \log(1 + x^2) + C$ है,तो $A + B = \_\_\_\_$
A
$-1$
B
$1/2$
C
$1$
D
$-1/2$
Solution
(B) खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \tan^{-1} x$ और $dv = dx$.
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
समाकलन $x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$ बन जाता है।
$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ को हल करने के लिए,$t = 1+x^2$ लें,जिससे $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होगा,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} dt$।
अतः,$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^2)$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $Ax \tan^{-1} x + B \log(1+x^2) + C$ से करने पर,हमें $A = 1$ और $B = -1/2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A + B = 1 - 1/2 = 1/2$।
माना $u = \tan^{-1} x$ और $dv = dx$.
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
समाकलन $x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$ बन जाता है।
$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ को हल करने के लिए,$t = 1+x^2$ लें,जिससे $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होगा,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} dt$।
अतः,$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^2)$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $Ax \tan^{-1} x + B \log(1+x^2) + C$ से करने पर,हमें $A = 1$ और $B = -1/2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A + B = 1 - 1/2 = 1/2$।
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1Are these 7-1.Indefinite Integral questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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