यदि I_n = int (log x)^n , dx है,तो I_n + n I_ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I_n = \int (\log x)^n \, dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = dx$। तब $du =

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$x(\log x)^n$

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(A) दिया गया है $I_n = \int (\log x)^n \, dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = dx$। तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ होगा। सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर: $I_n = x(\log x)^n - \int x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $I_n = x(\log x)^n - n \int (\log x)^{n-1} \, dx$ चूंकि $I_{n-1} = \int (\log x)^{n-1} \, dx$,इसलिए: $I_n = x(\log x)^n - n I_{n-1}$ पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I_n + n I_{n-1} = x(\log x)^n$।

यदि $I_n = \int (\log x)^n \, dx$ है,तो $I_n + n I_{n-1} =$ क्या होगा?

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