Crystallography and Lattice Questions in Hindi

(A) सात क्रिस्टल तंत्र क्यूबिक,ऑर्थोरोम्बिक,टेट्रागोनल,मोनोक्लिनिक,ट्राइक्लिनिक,रोम्बोहेड्रल और हेक्सागोनल हैं।
इन तंत्रों के लिए ब्रेवे जालक का अवलोकन करने पर,हम पाते हैं कि 'सरल' (या आद्य) एकक कोष्ठिका सभी सात क्रिस्टल तंत्रों में उपस्थित होती है।
| क्र. सं. | तंत्र का प्रकार | उपस्थित ब्रेवे जालक |
| :--- | :--- | :--- |
| $1$ | क्यूबिक | सरल,फलक-केंद्रित,अंतःकेंद्रित |
| $2$ | ऑर्थोरोम्बिक | सरल,आधार-केंद्रित,फलक-केंद्रित,अंतःकेंद्रित |
| $3$ | टेट्रागोनल | सरल,अंतःकेंद्रित |
| $4$ | मोनोक्लिनिक | सरल,आधार-केंद्रित |
| $5$ | ट्राइक्लिनिक | सरल |
| $6$ | रोम्बोहेड्रल | सरल |
| $7$ | हेक्सागोनल | सरल या आद्य |

(B) $BCC$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\sqrt{3} a = 4 r$।
चूंकि $a = 351 \ pm$ दिया गया है, हम $r$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} \approx \frac{1.732 \times 351}{4} \approx 151.98 \ pm$।
इस मान को पूर्णांकित करने पर $r \approx 152 \ pm$ प्राप्त होता है।

(D) सरल घनीय $(Simple \ cubic)$ इकाई सेल में,कण केवल कोनों पर मौजूद होते हैं। प्रत्येक कोने का कण $8$ इकाई सेल द्वारा साझा किया जाता है। इसलिए,प्रति इकाई सेल कणों की संख्या $8 \times (1/8) = 1$ होती है।

(C) एक फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ यूनिट सेल में परमाणु प्रत्येक कोने पर और प्रत्येक फलक के केंद्र पर उपस्थित होते हैं।
जालक बिंदुओं की संख्या $=$ कोनों की संख्या $+$ फलक के केंद्रों की संख्या
$= 8 + 6$
$= 14$

(A) एक सरल घनीय इकाई सेल में,परमाणु केवल घन के कोनों पर उपस्थित होते हैं।
ये परमाणु घन के किनारे के साथ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए कि इकाई सेल के किनारे की लंबाई '$a$' है और परमाणु की त्रिज्या '$r$' है।
चूंकि परमाणु किनारे पर स्पर्श करते हैं,इसलिए किनारे की लंबाई '$a$' दो स्पर्श करने वाले परमाणुओं की त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है।
अतः,$a = r + r = 2r$.

(A) $BCC$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) संरचना के लिए, इकाई सेल की किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $\sqrt{3} a = 4 r$
दिया गया है कि किनारे की लंबाई $a = 600 \ pm$ है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{3} a}{4} = \frac{\sqrt{3} \times 600}{4}$
गणना करने पर: $r = \sqrt{3} \times 150 \ pm$.

(A) $a \neq b \neq c$ और $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}$ की स्थिति त्रिनताक्ष (triclinic) क्रिस्टल प्रणाली को दर्शाती है।
दिए गए विकल्पों में से,$K_2Cr_2O_7$ एक त्रिनताक्ष क्रिस्टल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए इकाई कोशिका पैरामीटर $a=b \neq c$ और $\alpha=\beta=90^{\circ}$,$\gamma=120^{\circ}$ षट्कोणीय (hexagonal) क्रिस्टल प्रणाली के अनुरूप हैं।
दिए गए विकल्पों में से,ग्रेफाइट षट्कोणीय प्रणाली में क्रिस्टलीकृत होता है।

(B) $a \neq b \neq c$,$\alpha = \gamma = 90^{\circ}$ और $\beta \neq 90^{\circ}$ आयामों वाली क्रिस्टल प्रणाली को मोनोक्लिनिक प्रणाली के रूप में जाना जाता है।

(A) क्रिस्टल लैटिस में,एक फलक दो निकटवर्ती यूनिट सेल के लिए सामान्य होता है।
इसलिए,यूनिट सेल का प्रत्येक फलक $2$ यूनिट सेल द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है।

(C) $a \neq b \neq c$ और $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ मापदंडों द्वारा परिभाषित क्रिस्टल प्रणाली विषमलंबाक्ष (Orthorhombic) प्रणाली है।
विषमलंबाक्ष क्रिस्टल प्रणाली में $4$ प्रकार के ब्रेवे जालक होते हैं: आद्य (Primitive),अंतःकेंद्रित (Body-centered),फलक-केंद्रित (Face-centered),और अंत्य-केंद्रित (End-centered)।
अतः,$x = \text{विषमलम्बाक्ष}$ और $y = 4$.

(B) कुल $7$ क्रिस्टल प्रणालियाँ होती हैं।
इनमें से,फलक-केंद्रित एकक कोष्ठिका $(FCC)$ केवल घनीय (cubic) और विषमलंबाक्ष (orthorhombic) क्रिस्टल प्रणालियों में पाई जाती है।
अतः,फलक-केंद्रित एकक कोष्ठिका वाली क्रिस्टल प्रणालियों की कुल संख्या $2$ है।

(D) $14$ ब्रेवे जालक में $3$ बॉडी-सेंटर्ड जालक संभव हैं।
ये हैं:
$(I)$ बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$
$(II)$ बॉडी-सेंटर्ड टेट्रागोनल
$(III)$ बॉडी-सेंटर्ड ऑर्थोरोम्बिक

$(A)$ एक क्रिस्टल प्रणाली के लिए, पैरामीटर $a = b \neq c$ और $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ टेट्रागोनल क्रिस्टल प्रणाली के अनुरूप हैं।
इस मामले में, $a = b = 200 \text{ pm}$ और $c = 300 \text{ pm}$ है, जो $a = b \neq c$ की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए, सही क्रिस्टल प्रणाली टेट्रागोनल है।

(C) हेक्सागोनल क्रिस्टल सिस्टम के लिए,अक्षीय दूरियाँ $a = b \neq c$ होती हैं।
अक्षीय कोण $\alpha = \beta = 90^{\circ}$ और $\gamma = 120^{\circ}$ होते हैं।
अतः,सही विकल्प $a = b \neq c, \alpha = \beta = 90^{\circ}, \gamma = 120^{\circ}$ है।

(C) सफेद टिन,टिन का एक अपररूप है,जो टेट्रागोनल प्रणाली का उदाहरण है।
टेट्रागोनल प्रणाली के लिए,इकाई सेल के पैरामीटर $a=b \neq c$ और $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ होते हैं।
दिया गया कारण $a=b=c$ और $\alpha=\beta=\gamma \neq 90^{\circ}$ बताता है,जो कि एक रोम्बोहेड्रल प्रणाली है,न कि टेट्रागोनल।
अतः,$Assertion (A)$ सही है लेकिन $Reasoning (R)$ गलत है।

(B) सोडियम क्लोराइड $(NaCl)$ क्रिस्टल में,संरचना $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) होती है।
$Cl^{-}$ आयन कोनों और फलक केंद्रों पर मौजूद होते हैं,जबकि $Na^{+}$ आयन सभी अष्टफलकीय रिक्तियों (octahedral voids) में स्थित होते हैं।
निकटतम $Na^{+}$ और $Cl^{-}$ आयनों के बीच की दूरी इकाई सेल के किनारे की लंबाई $(a)$ की आधी होती है।
दिया गया है,$Na^{+}$ और $Cl^{-}$ के बीच की दूरी $= Y \ pm$ है।
इसलिए,$Y = \frac{a}{2}$।
इसका अर्थ है कि किनारे की लंबाई $a = 2 Y \ pm$ होगी।
अतः,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(C) घनीय प्रणाली में दो तलों $(h_1 k_1 l_1)$ और $(h_2 k_2 l_2)$ के बीच का कोण $\phi$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \phi = \frac{h_1 h_2 + k_1 k_2 + l_1 l_2}{\sqrt{h_1^2 + k_1^2 + l_1^2} \sqrt{h_2^2 + k_2^2 + l_2^2}}$
$(100)$ और $(110)$ तलों के लिए:
$h_1=1, k_1=0, l_1=0$ और $h_2=1, k_2=1, l_2=0$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \phi = \frac{(1 \times 1) + (0 \times 1) + (0 \times 0)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\phi = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$

(D) मिलर सूचकांक $(h, k, l)$ क्रिस्टलोग्राफिक अक्षों $(a, b, c)$ के साथ अंतःखंडों के व्युत्क्रम होते हैं।
दिए गए अंतःखंड $1, 1/2, 3$ हैं।
व्युत्क्रम लेने पर: $h = 1/1 = 1$,$k = 1/(1/2) = 2$,$l = 1/3$ प्राप्त होता है।
इन्हें पूर्णांकों के सबसे छोटे सेट में बदलने के लिए $3$ से गुणा करने पर: $h = 3$,$k = 6$,$l = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,मिलर सूचकांक $(3$ $6$ $1)$ हैं।