Crystallography and Lattice Questions in Gujarati

(C) ટ્રાયક્લિનિક સ્ફટિક પ્રણાલીમાં,એકમ કોષના પરિમાણો ધારની લંબાઈ અને અક્ષીય ખૂણાઓમાં કોઈપણ સમાનતાના અભાવ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,ધારની લંબાઈ અસમાન છે $(a \ne b \ne c)$ અને અક્ષીય ખૂણાઓ અસમાન છે અને $90^o$ જેટલા નથી $(\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90^o)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $NaCl$ બંધારણમાં,ધારની લંબાઈ $a$ એ આયનીય ત્રિજ્યા સાથે $a = 2(r_{Sr^{2+}} + r_{O^{2-}})$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $a = 0.514 \ nm$ અને $r_{Sr^{2+}} = 0.113 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા: $0.514 = 2(0.113 + r_{O^{2-}})$.
$0.257 = 0.113 + r_{O^{2-}}$.
$r_{O^{2-}} = 0.257 - 0.113 = 0.144 \ nm$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.144 \ nm = 0.144 \times 10^{-9} \ m = 1.44 \times 10^{-10} \ m$.

(B) $a \neq b \neq c$ અને $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}$ પરિમાણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્ફટિક પ્રણાલીને ટ્રાયક્લિનિક પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે.
આ સાત પ્રાથમિક સ્ફટિક પ્રણાલીઓમાં સૌથી વધુ અસમપ્રમાણ સ્ફટિક પ્રણાલી છે.

(B) અક્ષીય અંતર $a \neq b \neq c$ અને અક્ષીય ખૂણાઓ $\alpha = \gamma = 90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્ફટિક પ્રણાલીને મોનોક્લિનિક પ્રણાલી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ પ્રણાલીમાં,કોઈ પણ ધારની લંબાઈ સમાન હોતી નથી.
બે આંતરફલકીય ખૂણાઓ $90^{\circ}$ ના હોય છે,જ્યારે ત્રીજો ખૂણો $\beta$ એ $90^{\circ}$ હોતો નથી.
મોનોક્લિનિક સ્ફટિક પ્રણાલીનું ઉદાહરણ $Na_2SO_4 \cdot 10H_2O$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ફલકકેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ સ્ફટિક પ્રણાલીમાં,સામસામેના ફલકોના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી અક્ષ એ $C_4$ સંમિતિ અક્ષ છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ અક્ષની આસપાસ એકમ કોષને $90^{\circ}$ $(360^{\circ}/4)$ ના ખૂણે ફેરવતા સમાન ગોઠવણી મળે છે.
તેથી,તેને ચાર ગણી (four-fold) સંમિતિ અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

(B) ઘન સ્ફટિક પ્રણાલી માટે,અક્ષીય લંબાઈ સમાન હોય છે $(a = b = c)$ અને તમામ અક્ષીય ખૂણા $90^o$ હોય છે $(\alpha = \beta = \gamma = 90^o)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $SnO_2$ (ટીન ડાયોક્સાઇડ) ટેટ્રાગોનલ સ્ફટિક પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
ટેટ્રાગોનલ સ્ફટિક પ્રણાલી માટે,અક્ષીય લંબાઈ $a = b \neq c$ છે અને અક્ષીય ખૂણા $\alpha = \beta = \gamma = 90^o$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શરત $a \ne b \ne c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^o$ એ ઓર્થોરોમ્બિક સ્ફટિક પ્રણાલી દર્શાવે છે.
$BaSO_4$ અને $KNO_3$ ઓર્થોરોમ્બિક સ્ફટિક પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$TiO_2$ ટેટ્રાગોનલ પ્રણાલીમાં હોય છે $(a = b \ne c, \alpha = \beta = \gamma = 90^o)$.
$NaCl$ એ ઘન (cubic) સ્ફટિક પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે $(a = b = c, \alpha = \beta = \gamma = 90^o)$.
તેથી,$NaCl$ માટે આપેલી શરત સાચી નથી.

(B) $CdS$ (કેડમિયમ સલ્ફાઇડ) સામાન્ય રીતે વુર્ટઝાઇટ બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે,જે હેકઝાગોનલ સ્ફટિક પ્રણાલીનો એક ભાગ છે.

(D) $a \neq b \neq c$ અને ખૂણાઓ $\alpha = \gamma = 90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$ ધરાવતી સ્ફટિક પ્રણાલીને મોનોક્લિનિક સ્ફટિક પ્રણાલી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ પ્રણાલીની રચના સામાન્ય રીતે મેચ બોક્સ જેવી હોય છે,જેમાં બાજુઓ લંબચોરસ હોય છે પરંતુ અંતિમ સપાટીઓ નમેલી હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,મોનોક્લિનિક સલ્ફર એ મોનોક્લિનિક પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.

(D) સ્ફટિક પ્રણાલીઓ તેમના એકમ કોષના પરિમાણોના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$CuSO_4 \cdot 5H_2O$ (કોપર સલ્ફેટ પેન્ટાહાઇડ્રેટ) ટ્રાયક્લિનિક બંધારણ ધરાવે છે.
$H_3BO_3$ (બોરિક એસિડ) ટ્રાયક્લિનિક બંધારણ ધરાવે છે.
$K_2Cr_2O_7$ (પોટેશિયમ ડાયક્રોમેટ) ટ્રાયક્લિનિક બંધારણ ધરાવે છે.
$Na_2SO_4 \cdot 10H_2O$ (ગ્લોબર સોલ્ટ) મોનોક્લિનિક બંધારણ ધરાવે છે.
તેથી,$Na_2SO_4 \cdot 10H_2O$ ટ્રાયક્લિનિક બંધારણ ધરાવતું નથી.

(A) સ્ફટિક પ્રણાલીમાં,જ્યારે $a = b = c$ હોય ત્યારે અક્ષીય અંતર સમાન હોય છે. આ સ્થિતિ રોમ્બોહેડ્રલ (ટ્રાયગોનલ) સ્ફટિક પ્રણાલી દ્વારા સંતોષાય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,કેલ્સાઇટ $(CaCO_3)$ રોમ્બોહેડ્રલ પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે,જ્યાં $a = b = c$ હોય છે.

(B) ટ્રાયગોનલ (અથવા ટ્રાયગોનલ પ્રિઝમેટિક) રચનામાં સમમિતિના ચોક્કસ ઘટકો હોય છે.
ટ્રાયગોનલ સિસ્ટમમાં,મુખ્ય અક્ષમાંથી પસાર થતા $3$ ઊભા સમમિતિ તલ અને તેને લંબ $1$ આડો સમમિતિ તલ હોય છે.
આમ,ટ્રાયગોનલ પ્રિઝમ માટે કુલ સમમિતિ તલની સંખ્યા $4 + 1 = 5$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્ફટિક પ્રણાલીઓના વર્ગીકરણ મુજબ,$7$ આદિમ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ છે. તેમાંથી,ઓર્થોરહોમ્બિક પ્રણાલી વિશિષ્ટ છે કારણ કે તે ચારેય પ્રકારના એકમકોષો દર્શાવે છે: આદિમ,અંત:કેન્દ્રિત,ફલક-કેન્દ્રિત અને અંત્ય-કેન્દ્રિત. તેથી,અંત:કેન્દ્રિત એકમકોષ ઓર્થોરહોમ્બિક સ્ફટિક પ્રણાલીમાં જોવા મળે છે.

(D) મિલર સૂચક આંક વેઈસ સૂચક આંકના વ્યસ્ત લઈને નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. વેઈસ સૂચક આંક છે: $-1, 2, \infty$.
$2$. વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{-1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\infty} = -1, 0.5, 0$.
$3$. તેને સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવવા માટે $2$ વડે ગુણતા: $-2, 1, 0$.
$4$. આમ,મિલર સૂચક આંક $(\bar{2}10)$ છે.

(C) મિલર (Miller) સૂચક આંક $(h, k, l) = (2, 3, 1)$ આપેલ છે.
વેઇસ સૂચક આંક શોધવા માટે,આપણે મિલર સૂચક આંકના વ્યસ્ત લઈએ છીએ: $1/h, 1/k, 1/l$.
વ્યસ્ત: $1/2, 1/3, 1/1$.
આને નાનામાં નાની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવવા માટે,આપણે છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વડે ગુણીએ છીએ,જે $6$ છે.
વેઇસ સૂચક આંક: $(6 \times 1/2, 6 \times 1/3, 6 \times 1/1) = (3, 2, 6)$.

(B) $bcc$ રચના માટે, ધારીની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$4r = \sqrt{3}a$
અહીં $a = 351 \, pm$ અને $\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} = \frac{1.732 \times 351}{4} = 151.98 \, pm \approx 151.9 \, pm$.

(D) ગ્રેફાઇટમાં,કાર્બન પરમાણુઓ સપાટ સમાંતર સ્તરોમાં નિયમિત ષટ્કોણમાં ગોઠવાયેલા હોય છે. આ રચના $Hexagonal$ સ્ફટિક પ્રણાલીને અનુરૂપ છે.

(D) ગ્રેફાઇટ હેક્સાગોનલ સ્ફટિક પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે,ટેટ્રાગોનલ પ્રણાલીમાં નહીં. હેક્સાગોનલ પ્રણાલી માટે,પરિમાણો $a = b \neq c$,$\alpha = \beta = 90^o$ અને $\gamma = 120^o$ છે.
ટેટ્રાગોનલ પ્રણાલી માટે,પરિમાણો $a = b \neq c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^o$ છે.
આમ,વિધાન ગ્રેફાઇટની સ્ફટિક પ્રણાલીને ખોટી રીતે ઓળખાવે છે અને કારણ ટેટ્રાગોનલ પ્રણાલી માટે ખોટા પરિમાણો આપે છે,તેથી વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(N/A) 'લેટિસ પોઈન્ટ' નું મહત્વ એ છે કે દરેક બિંદુ ઘન પદાર્થના એક ઘટક કણને દર્શાવે છે,જે પરમાણુ,અણુ (પરમાણુઓનો સમૂહ) અથવા આયન હોઈ શકે છે.

(N/A) એકમ કોષને લાક્ષણિક બનાવતા છ પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ ત્રણ ધાર $a, b,$ અને $c$ ની લંબાઈ. આ ધાર સમાન હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
$(ii)$ ધાર વચ્ચેના ખૂણા,જે $\alpha$ (ધાર $b$ અને $c$ વચ્ચે),$\beta$ (ધાર $a$ અને $c$ વચ્ચે),અને $\gamma$ (ધાર $a$ અને $b$ વચ્ચે) છે.

(N/A) $(i)$ ષટ્કોણીય એકમ કોષ:
ષટ્કોણીય એકમ કોષ માટે,$a = b \neq c$ અને $\alpha = \beta = 90^{\circ}, \gamma = 120^{\circ}$ હોય છે.
મોનોક્લિનિક એકમ કોષ:
મોનોક્લિનિક કોષ માટે,$a \neq b \neq c$ અને $\alpha = \gamma = 90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$ હોય છે.
$(ii)$ ફલક-કેન્દ્રિત એકમ કોષ:
ફલક-કેન્દ્રિત એકમ કોષમાં,ઘટક કણો દરેક ખૂણા પર અને દરેક છ ફલકના કેન્દ્રમાં હાજર હોય છે.
અંતઃ-કેન્દ્રિત એકમ કોષ:
અંતઃ-કેન્દ્રિત એકમ કોષમાં કણો દરેક ખૂણા પર અને કોઈપણ બે વિરુદ્ધ ફલકના કેન્દ્રમાં હાજર હોય છે.

(N/A) $(i)$ સ્ફટિક લેટીસ: અવકાશમાં ઘટક કણો (પરમાણુઓ,આયનો અથવા અણુઓ) ની નિયમિત ત્રિ-પરિમાણીય ગોઠવણીને સ્ફટિક લેટીસ કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ એકમ કોષ: એકમ કોષ એ સ્ફટિક લેટીસનો સૌથી નાનો ત્રિ-પરિમાણીય ભાગ છે,જે જ્યારે વિવિધ દિશાઓમાં પુનરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તે સમગ્ર સ્ફટિક લેટીસ બનાવે છે.

(N/A) $(i)$ ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક યુનિટ સેલમાં $14$ લેટીસ પોઈન્ટ્સ હોય છે ($8$ ખૂણાઓ પરથી $+ 6$ ફલક પરથી).
$(ii)$ ફેસ-સેન્ટર્ડ ટેટ્રાગોનલ યુનિટ સેલમાં $14$ લેટીસ પોઈન્ટ્સ હોય છે ($8$ ખૂણાઓ પરથી $+ 6$ ફલક પરથી).
$(iii)$ બોડી-સેન્ટર્ડ યુનિટ સેલમાં $9$ લેટીસ પોઈન્ટ્સ હોય છે ($1$ કેન્દ્રમાંથી $+ 8$ ખૂણાઓ પરથી).

(D) સ્ફટિક લેટિસ એ અવકાશમાં બિંદુઓની નિયમિત ત્રિ-પરિમાણીય ગોઠવણી છે.
તેની લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. લેટિસમાંના દરેક બિંદુને લેટિસ બિંદુ અથવા લેટિસ સાઇટ કહેવામાં આવે છે.
$2$. સ્ફટિક લેટિસમાંનું દરેક બિંદુ એક ઘટક કણ (પરમાણુ,અણુ અથવા આયન) દર્શાવે છે.
$3$. લેટિસની ભૂમિતિ દર્શાવવા માટે લેટિસ બિંદુઓને સીધી રેખાઓ દ્વારા જોડવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(N/A) $1$. જ્યારે ભોંયતળિયા પર ટાઈલ્સ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે એક પુનરાવર્તિત ભાત રચાય છે. જો આપણે દરેક ટાઈલ પર એક ચોક્કસ બિંદુ (દા.ત. કેન્દ્ર) અંકિત કરીએ અને ટાઈલ્સને અવગણીએ,તો આપણને બિંદુઓનો એક સમૂહ મળે છે. આ બિંદુઓનો સમૂહ એક ઢાંચો (scaffolding) છે જેના પર ભાત રચાય છે. આ ઢાંચાને $Space \ Lattice$ (અવકાશ લેટિસ) કહે છે.
$2$. લેટિસના દરેક બિંદુ પર મૂકવામાં આવતા બંધારણીય એકમને (આ કિસ્સામાં ટાઈલ) $Motif$ (મોટિફ) અથવા $Basis$ (પાયો) કહે છે.
$3$. જ્યારે આ મોટિફને અવકાશ લેટિસના બિંદુઓ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ફટિક રચના ઉત્પન્ન થાય છે. લેટિસ એ મોટિફના સ્થાનો દર્શાવતા બિંદુઓની ભાત છે.
$4$. $Space \ Lattice$ એ સ્ફટિક રચના માટેનો એક કાલ્પનિક ઢાંચો છે. જ્યારે મોટિફને લેટિસના બિંદુઓ પર સમાન રીતે ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ફટિક રચના પ્રાપ્ત થાય છે.
$5$. ટૂંકમાં,$Motif$ અને $Space \ Lattice$ ના સંયોજનથી સ્ફટિક રચના બને છે.

(N/A) દ્વિ-પરિમાણીય લેટિસ એ $2D$ સમતલમાં બિંદુઓની નિયમિત ગોઠવણી છે,જ્યાં દરેક બિંદુને લેટિસ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.
$2D$ લેટિસમાં,દરેક બિંદુનું વાતાવરણ સમાન હોય છે.
એક કાલ્પનિક દ્વિ-પરિમાણીય સ્ફટિક $2D$ લેટિસના દરેક લેટિસ બિંદુ પર એક બંધારણીય એકમ (પરમાણુ,અણુ અથવા આયન) મૂકીને બનાવવામાં આવે છે.
આ મોડેલ સ્ફટિક બંધારણના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો,જેમ કે એકમ કોષ અને સંમિતિને,$3D$ બંધારણોમાં વિસ્તૃત કરતા પહેલા સરળ $2D$ અવકાશમાં સમજવામાં મદદ કરે છે.

(N/A) સ્ફટિકોના અભ્યાસ પરથી એવું કહી શકાય કે,કોઈપણ સ્ફટિકનો આકાર સાત નિયમિત આકારોમાંથી એક હોઈ શકે છે. આવા મૂળભૂત નિયમિત આકારોને સાત સ્ફટિક પદ્ધતિઓ કહે છે.
આપેલો સ્ફટિક કઈ પદ્ધતિમાં આવશે તે ફલકો વચ્ચેના ખૂણા માપીને તથા એકમ કોષને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જરૂરી અક્ષોની સંખ્યા પરથી નક્કી થાય છે.
સાત સ્ફટિક પદ્ધતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. સમઘનીય (Cubic): $a = b = c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$
$2$. ચતુષ્કોણીય (Tetragonal): $a = b \neq c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$
$3$. ઓર્થોરોમ્બિક (Orthorhombic): $a \neq b \neq c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$
$4$. મોનોક્લિનિક (Monoclinic): $a \neq b \neq c$ અને $\alpha = \gamma = 90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$
$5$. ષટ્કોણીય (Hexagonal): $a = b \neq c$ અને $\alpha = \beta = 90^{\circ}, \gamma = 120^{\circ}$
$6$. રોમ્બોહેડ્રલ (Rhombohedral): $a = b = c$ અને $\alpha = \beta = \gamma \neq 90^{\circ}$
$7$. ટ્રાયક્લિનિક (Triclinic): $a \neq b \neq c$ અને $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}$

(N/A) ફેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી બ્રેવિસે (Bravais) દર્શાવ્યું કે માત્ર $14$ જ શક્ય ત્રિ-પરિમાણીય લેટિસો છે. તેઓને બ્રેવિસ લેટિસ કહે છે.
આદિમ અને કેન્દ્રિત એકમ કોષોની લાક્ષણિકતાઓની યાદી નીચે દર્શાવેલી છે:

ક્રમ સ્ફટિક પદ્ધતિ	શક્ય વિચલન	ધારની લંબાઈ	અક્ષીય ખૂણા	ઉદાહરણ
$(1)$ સમઘનીય	આદિમ,અંત:કેન્દ્રિત,ફલક કેન્દ્રિત	$a=b=c$	$\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$	$NaCl, Cu, ZnS$
$(2)$ ચતુષ્કોણીય	આદિમ,અંત:કેન્દ્રિત	$a=b \neq c$	$\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$	સફેદ $Sn, SnO_2, TiO_2, CaSO_4$
$(3)$ ઓર્થોરહોમ્બિક	આદિમ,અંત:કેન્દ્રિત,ફલક કેન્દ્રિત,અંત (છેડો) કેન્દ્રિત	$a \neq b \neq c$	$\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$	રહોમ્બિક સલ્ફર,$KNO_3, BaSO_4$
$(4)$ ષટ્કોણીય	આદિમ	$a=b \neq c$	$\alpha=\beta=90^{\circ}, \gamma=120^{\circ}$	ગ્રેફાઈટ,$ZnO, CdS$
$(5)$ રહોમ્બોહેડ્રલ	આદિમ	$a=b=c$	$\alpha=\beta=\gamma \neq 90^{\circ}$	કેલ્સાઈટ $(CaCO_3), HgS$
$(6)$ મોનોક્લિનિક	આદિમ,અંત (છેડો) કેન્દ્રિત	$a \neq b \neq c$	$\alpha=\gamma=90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$	મોનોક્લિનિક સલ્ફર,$Na_2SO_4 \cdot 10H_2O$
$(7)$ ટ્રાઈક્લિનિક	આદિમ	$a \neq b \neq c$	$\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}$	$K_2Cr_2O_7, CuSO_4 \cdot 5H_2O, H_3BO_3$

(B) $14$ બ્રેવિસ લેટિસ એ સ્ફટિક પ્રણાલીમાં લેટિસ બિંદુઓની વિશિષ્ટ અવકાશી ગોઠવણી છે. આ $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓમાંથી એકમ કોષના પરિમાણો અને કેન્દ્રિતતા (આદિમ,અંતઃકેન્દ્રિત,ફલક-કેન્દ્રિત અને અંત-કેન્દ્રિત) ના આધારે મેળવવામાં આવે છે. તેથી,બ્રેવિસ લેટિસની કુલ સંખ્યા $14$ છે.

$14$ બ્રેવિસ લેટિસ એ સ્ફટિક લેટિસમાં બિંદુઓની વિશિષ્ટ અવકાશી ગોઠવણી છે જે એકમ કોષની સમપ્રમાણતા જાળવી રાખે છે.
તેઓ એકમ કોષના પરિમાણો ($a, b, c$ અને $\alpha, \beta, \gamma$) ના આધારે $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓમાં વર્ગીકૃત થયેલ છે.
$1$. ક્યુબિક: $a=b=c, \alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ (દા.ત.,$NaCl$).
$2$. ટેટ્રાગોનલ: $a=b\neq c, \alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ (દા.ત.,$SnO_2$).
$3$. ઓર્થોરોમ્બિક: $a\neq b\neq c, \alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ (દા.ત.,$KNO_3$).
$4$. હેક્સાગોનલ: $a=b\neq c, \alpha=\beta=90^{\circ}, \gamma=120^{\circ}$ (દા.ત.,$ZnO$).
$5$. રોમ્બોહેડ્રલ: $a=b=c, \alpha=\beta=\gamma\neq 90^{\circ}$ (દા.ત.,$CaCO_3$).
$6$. મોનોક્લિનિક: $a\neq b\neq c, \alpha=\gamma=90^{\circ}, \beta\neq 90^{\circ}$ (દા.ત.,$\text{Monoclinic } S$).
$7$. ટ્રાયક્લિનિક: $a\neq b\neq c, \alpha\neq \beta\neq \gamma\neq 90^{\circ}$ (દા.ત.,$K_2Cr_2O_7$).

(C) અંત-કેન્દ્રિત એકમ કોષમાં,ઘટક કણો એકમ કોષના તમામ $8$ ખૂણાઓ પર અને કોઈપણ બે સામસામેની ફલકોના કેન્દ્ર પર આવેલા હોય છે.

(A) ઓર્થોરહોમ્બિક સ્ફટિક પ્રણાલીમાં,અક્ષીય લંબાઈ અસમાન હોય છે $(a \neq b \neq c)$.
જોકે,બધા અક્ષીય ખૂણાઓ $90^{\circ}$ જેટલા હોય છે.
તેથી,સંબંધ $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ છે.

(A) આદિમ ઘન એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ માત્ર ઘનના ખૂણાઓ પર હાજર હોય છે.
દરેક ખૂણાનો પરમાણુ $8$ પાડોશી એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલ હોય છે.
તેથી,દરેક ખૂણાના પરમાણુનો એકમ કોષમાં ફાળો $\frac{1}{8}$ છે.
ઘનને $8$ ખૂણા હોય છે.
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.

(A) આદિમ ઘન એકમ કોષ એ સ્ફટિક લેટીસનો એક પ્રકાર છે જેમાં ઘટક કણો માત્ર એકમ કોષના ખૂણાઓ પર જ હાજર હોય છે.
બ્રાવે લેટીસ સિસ્ટમ મુજબ,આદિમ ઘન એકમ કોષનો માત્ર $1$ પ્રકાર છે,જે સાદો ઘન એકમ કોષ (simple cubic unit cell) છે.
તેથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(D) $14$ બ્રાવે લેટિસમાં,બોડી-સેન્ટર્ડ $(BCC)$ એકમ કોષો નીચેની સ્ફટિક પ્રણાલીઓમાં જોવા મળે છે:
$1$. ક્યુબિક સિસ્ટમ: $1$ $(BCC)$
$2$. ટેટ્રાગોનલ સિસ્ટમ: $1$ $(BCC)$
$3$. ઓર્થોરોમ્બિક સિસ્ટમ: $1$ $(BCC)$
તેથી,બોડી-સેન્ટર્ડ એકમ કોષોની કુલ સંખ્યા $1 + 1 + 1 = 3$ છે.

(D) આપેલ પરિમાણો $a \neq b \neq c$ અને $\alpha = \gamma = 90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$ છે.
આ મોનોક્લિનિક સ્ફટિક પ્રણાલીના લાક્ષણિક પરિમાણો છે.

(N/A) સ્ફટિક લેટીસ એ અવકાશમાં બિંદુઓની એક નિયમિત,પુનરાવર્તિત ત્રિ-પરિમાણીય ગોઠવણી છે. દરેક બિંદુ એક ઘટક કણ (પરમાણુ,અણુ અથવા આયન) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
તે ત્રિ-પરિમાણમાં એકમ કોષ (unit cell) નામના માળખાકીય એકમના નિયમિત,સામયિક અને સ્થાનાંતરિત પુનરાવર્તન દ્વારા રચાય છે.
એકમ કોષ એ સ્ફટિક લેટીસનો સૌથી નાનો પુનરાવર્તિત માળખાકીય એકમ છે જે,જ્યારે બધી દિશાઓમાં પુનરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે સમગ્ર સ્ફટિક માળખું બનાવે છે. આકૃતિ દર્શાવે છે કે કેવી રીતે એક એકમ કોષ,સ્થાનાંતરિત વિસ્થાપન દ્વારા,દ્વિ-પરિમાણીય લેટીસ બનાવે છે.

(N/A) એકમ કોષ છ પરિમાણો દ્વારા લાક્ષણિકતા ધરાવે છે:
$1$. તેની ત્રણ ધાર $a, b$,અને $c$ ની લંબાઈ. આ ધારો પરસ્પર લંબ હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
$2$. ધારો વચ્ચેના ખૂણા: $\alpha$ ($b$ અને $c$ વચ્ચે),$\beta$ ($a$ અને $c$ વચ્ચે) અને $\gamma$ ($a$ અને $b$ વચ્ચે).
એકમ કોષો મુખ્યત્વે બે પ્રકારના હોય છે:
$(a)$ આદિમ (Primitive) એકમ કોષ: જ્યારે ઘટક કણો માત્ર એકમ કોષના ખૂણાઓ પર જ હાજર હોય,ત્યારે તેને આદિમ એકમ કોષ કહેવાય છે.
$(b)$ કેન્દ્રિત (Centred) એકમ કોષ: જ્યારે એકમ કોષમાં ખૂણાઓ પરના કણો ઉપરાંત એક અથવા વધુ ઘટક કણો ખૂણાઓ સિવાયના સ્થાનો પર હાજર હોય,ત્યારે તેને કેન્દ્રિત એકમ કોષ કહેવાય છે. તેના ત્રણ પ્રકાર છે:
$(i)$ અંતઃકેન્દ્રિત (Body-Centred) એકમ કોષ: આવા એકમ કોષમાં ખૂણાઓ પરના કણો ઉપરાંત એક ઘટક કણ તેના અંતઃકેન્દ્રમાં હોય છે.
$(ii)$ ફલક-કેન્દ્રિત (Face-Centred) એકમ કોષ: આવા એકમ કોષમાં ખૂણાઓ પરના કણો ઉપરાંત દરેક ફલકના કેન્દ્રમાં એક ઘટક કણ હોય છે.
$(iii)$ અંત-કેન્દ્રિત (End-Centred) એકમ કોષ: આવા એકમ કોષમાં ખૂણાઓ પરના કણો ઉપરાંત બે વિરુદ્ધ ફલકોના કેન્દ્રમાં એક-એક ઘટક કણ હોય છે.

(C) એન્ડ-સેન્ટર્ડ એકમ કોષ ઓર્થોરોમ્બિક અને મોનોક્લિનિક સ્ફટિક પ્રણાલીમાં જોવા મળે છે.
ઓર્થોરોમ્બિક પ્રણાલી માટે,પરિમાણો $a \neq b \neq c$ અને $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એ ઓર્થોરોમ્બિક પ્રણાલી દર્શાવે છે.

(C) કુલ $7$ સ્ફટિક તંત્રો છે.
તેમાંથી,બોડી-સેન્ટર્ડ એકમ કોષ $3$ સ્ફટિક તંત્રોમાં જોવા મળે છે:
$1$. ક્યુબિક
$2$. ટેટ્રાગોનલ
$3$. ઓર્થોરોમ્બિક
તેથી,કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(A) વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ સાદું ઘન અને ફલક-કેન્દ્રિત ઘન સમાન ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ (ઘન) માં આવે છે,તેથી $(A-s)$. તેઓ $a=b=c$ અને $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ પેરામીટર્સ પણ ધરાવે છે,તેથી $(A-p)$.
$(B)$ ઘન અને રોમ્બોહેડ્રલ બે અલગ ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ છે,તેથી $(B-q)$. ઘન $a=b=c$ અને $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ ધરાવે છે,તેથી $(B-p)$.
$(C)$ ઘન અને ટેટ્રાગોનલ બે અલગ ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ છે,તેથી $(C-q)$.
$(D)$ હેક્સાગોનલ અને મોનોક્લિનિક બે અલગ ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ છે,તેથી $(D-q)$. હેક્સાગોનલ $\alpha=\beta=90^{\circ}, \gamma=120^{\circ}$ અને મોનોક્લિનિક $\alpha=\gamma=90^{\circ}, \beta \neq 90^{\circ}$ ધરાવે છે. બંનેમાં બરાબર બે ખૂણા $90^{\circ}$ ના હોય છે,તેથી $(D-r)$.
આમ,સાચી જોડ $A-p, s; B-p, q; C-q; D-q, r$ છે.

(C) જે પદાર્થો સમાન સ્ફટિક બંધારણ ધરાવે છે તેમને સમસ્ફટિકીય (isomorphous) કહેવામાં આવે છે.
$NaNO_3$ અને $CaCO_3$ સમસ્ફટિકીય છે.
$K_2SO_4$ અને $K_2SeO_4$ સમસ્ફટિકીય છે.
$NaF$ અને $MgO$ સમસ્ફટિકીય છે.
$NaCl$ અને $KCl$ સમસ્ફટિકીય નથી કારણ કે $Na^+$ અને $K^+$ ની આયનીય ત્રિજ્યામાં મોટો તફાવત છે,જેના કારણે તેમના સ્ફટિક લેટીસના પરિમાણો અલગ હોય છે.

(D) $7$ પ્રકારની સ્ફટિક પ્રણાલીમાં કુલ $14$ બ્રાવેસ લેટિસ હાજર હોય છે.

(B) ટેટ્રાગોનલ ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમમાં બે પ્રકારના એકમ કોષો હોય છે: $1$. આદિમ (Primitive) અને $2$. અંતઃકેન્દ્રિત (Body-centered). તેથી,વિવિધ પ્રકારના એકમ કોષોની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(A) પ્રકૃતિમાં $7$ આદિમ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ છે.
આ $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓને એકમ કોષમાં લેટિસ બિંદુઓની ગોઠવણીના આધારે $14$ પ્રકારના બ્રાવેસ લેટિસમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

(A) સ્ફટિક વિજ્ઞાનમાં કુલ $7$ અલગ-અલગ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ છે. આ $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ એકમ કોષોમાં લેટિસ બિંદુઓની ગોઠવણીના આધારે $14$ શક્ય બ્રાવેસ લેટિસ બનાવે છે. તેથી,સ્ફટિક પ્રણાલીઓની કુલ સંખ્યા $7$ છે.

(D) સમાન સ્ફટિક રચના ધરાવતા બે કે તેથી વધુ પદાર્થોને આઈસોમોર્ફસ કહેવામાં આવે છે.
તેઓ સમાન પરમાણુ ગુણોત્તર દર્શાવે છે (Iso- સમાન,Morphous- સ્વરૂપ).
ઉદાહરણોમાં $NaF$ અને $MgO$ ($1:1$ ગુણોત્તર),અને $NaNO_3$ અને $CaCO_3$ ($1:1:3$ ગુણોત્તર) નો સમાવેશ થાય છે.
$NaCl$ અને $KCl$ સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે પરંતુ તેમની સ્ફટિક રચનાઓ અલગ છે.

(C) એકમ કોષોની સંખ્યા કુલ કદને એક એકમ કોષના કદ વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}}$
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{1 \ cm^3}{3.448 \times 10^{-23} \ cm^3}$
એકમ કોષોની સંખ્યા = $0.29002 \times 10^{23} = 2.9 \times 10^{22}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ટ્રાયક્લિનિક ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ એ સ્ફટિકશાસ્ત્રની સાત ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમોમાંની એક છે. આ સિસ્ટમમાં,એકમ કોષ સૌથી ઓછી સમપ્રમાણતા ધરાવે છે: ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ અલગ-અલગ હોય છે અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ પણ અલગ-અલગ હોય છે અને તે $90^{\circ}$ હોતા નથી.
ટ્રાયક્લિનિક સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ:
- એકમ કોષમાં $a \neq b \neq c$ (બધી બાજુઓ અલગ લંબાઈની હોય છે).
- અક્ષો વચ્ચેના ખૂણા $\alpha \neq \beta \neq \gamma$ છે,અને તે બધા $90^{\circ}$ નથી.
ટ્રાયક્લિનિક સિસ્ટમમાં માત્ર એક જ પ્રકારનો એકમ કોષ હોય છે,જે પ્રિમિટિવ (સાદો) એકમ કોષ છે. સમપ્રમાણતાના અભાવને કારણે,અન્ય કોઈ પ્રકારના એકમ કોષો (જેમ કે બોડી-સેન્ટર્ડ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ) શક્ય નથી.
તેથી,ટ્રાયક્લિનિક ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમમાં હાજર વિવિધ પ્રકારના એકમ કોષોની કુલ સંખ્યા $1$ છે.