Crystallography and Lattice Questions in Gujarati

(A) સાત સ્ફટિક પ્રણાલીઓ ક્યુબિક,ઓર્થોરોમ્બિક,ટેટ્રાગોનલ,મોનોક્લિનિક,ટ્રાયક્લિનિક,રોમ્બોહેડ્રલ અને હેક્સાગોનલ છે.
આ પ્રણાલીઓ માટે બ્રાવે લેટિસનું અવલોકન કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે 'સાદો' (અથવા આદિમ) એકમ કોષ સાતેય સ્ફટિક પ્રણાલીઓમાં હાજર હોય છે.
| અનુક્રમ નં. | પ્રણાલીનો પ્રકાર | હાજર બ્રાવે લેટિસ |
| :--- | :--- | :--- |
| $1$ | ક્યુબિક | સાદો,ફલક-કેન્દ્રિત,અંતઃકેન્દ્રિત |
| $2$ | ઓર્થોરોમ્બિક | સાદો,આધાર-કેન્દ્રિત,ફલક-કેન્દ્રિત,અંતઃકેન્દ્રિત |
| $3$ | ટેટ્રાગોનલ | સાદો,અંતઃકેન્દ્રિત |
| $4$ | મોનોક્લિનિક | સાદો,આધાર-કેન્દ્રિત |
| $5$ | ટ્રાયક્લિનિક | સાદો |
| $6$ | રોમ્બોહેડ્રલ | સાદો |
| $7$ | હેક્સાગોનલ | સાદો અથવા આદિમ |

(B) $BCC$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\sqrt{3} a = 4 r$.
અહીં $a = 351 \ pm$ આપેલ છે, તેથી $r$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} \approx \frac{1.732 \times 351}{4} \approx 151.98 \ pm$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા $r \approx 152 \ pm$ મળે છે.

(D) સાદા ઘન $(Simple \ cubic)$ એકમ કોષમાં,કણો ફક્ત ખૂણાઓ પર હાજર હોય છે. દરેક ખૂણાનો કણ $8$ એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલ હોય છે. તેથી,પ્રતિ એકમ કોષ કણોની સંખ્યા $8 \times (1/8) = 1$ થાય છે.

(C) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ એકમ કોષમાં પરમાણુઓ દરેક ખૂણા પર અને દરેક ફલકના કેન્દ્ર પર હાજર હોય છે.
લેટીસ બિંદુઓની સંખ્યા $=$ ખૂણાઓની સંખ્યા $+$ ફલકના કેન્દ્રોની સંખ્યા
$= 8 + 6$
$= 14$

(A) સિમ્પલ ક્યુબિક યુનિટ સેલમાં,પરમાણુઓ માત્ર ઘનના ખૂણાઓ પર જ હાજર હોય છે.
આ પરમાણુઓ ઘનની ધાર પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે યુનિટ સેલની ધારની લંબાઈ '$a$' છે અને પરમાણુની ત્રિજ્યા '$r$' છે.
જેহেতু પરમાણુઓ ધાર પર સ્પર્શે છે,તેથી ધારની લંબાઈ '$a$' એ બે સ્પર્શતા પરમાણુઓની ત્રિજ્યાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
તેથી,$a = r + r = 2r$.

(A) $BCC$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) બંધારણ માટે, એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\sqrt{3} a = 4 r$
અહીં ધારની લંબાઈ $a = 600 \ pm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3} a}{4} = \frac{\sqrt{3} \times 600}{4}$
ગણતરી કરતા: $r = \sqrt{3} \times 150 \ pm$.

(A) $a \neq b \neq c$ અને $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}$ ની શરત ટ્રાયક્લિનિક સ્ફટિક પ્રણાલી દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$K_2Cr_2O_7$ એ ટ્રાયક્લિનિક સ્ફટિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ એકમ કોષના પરિમાણો $a=b \neq c$ અને $\alpha=\beta=90^{\circ}$,$\gamma=120^{\circ}$ એ ષટ્કોણીય (hexagonal) સ્ફટિક પ્રણાલીને અનુરૂપ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ગ્રેફાઇટ ષટ્કોણીય પ્રણાલીમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.

(B) $a \neq b \neq c$,$\alpha = \gamma = 90^{\circ}$ અને $\beta \neq 90^{\circ}$ પરિમાણો ધરાવતી સ્ફટિક પ્રણાલીને મોનોક્લિનિક પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે.

(A) ક્રિસ્ટલ લેટીસમાં,એક ફેસ બે નજીકના યુનિટ સેલ માટે સામાન્ય હોય છે.
તેથી,યુનિટ સેલનો દરેક ફેસ $2$ યુનિટ સેલ દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાયેલ હોય છે.

(C) $a \neq b \neq c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ પરિમાણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્ફટિક પ્રણાલી એ ઓર્થોરોમ્બિક પ્રણાલી છે.
ઓર્થોરોમ્બિક સ્ફટિક પ્રણાલીમાં $4$ પ્રકારના બ્રાવે લેટિસ હોય છે: પ્રિમિટિવ,બોડી-સેન્ટર્ડ,ફેસ-સેન્ટર્ડ અને એન્ડ-સેન્ટર્ડ.
તેથી,$x = \text{ઓર્થોરોમ્બિક}$ અને $y = 4$.

(B) કુલ $7$ સ્ફટિક પ્રણાલીઓ છે.
તેમાંથી,ફલક-કેન્દ્રિત એકમ કોષ $(FCC)$ ફક્ત ઘન (cubic) અને ઓર્થોરોમ્બિક (orthorhombic) સ્ફટિક પ્રણાલીઓમાં જોવા મળે છે.
તેથી,ફલક-કેન્દ્રિત એકમ કોષ ધરાવતી સ્ફટિક પ્રણાલીઓની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(D) $14$ બ્રાવે લેટિસમાં $3$ બોડી-સેન્ટર્ડ લેટિસ શક્ય છે.
તે નીચે મુજબ છે:
$(I)$ બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$
$(II)$ બોડી-સેન્ટર્ડ ટેટ્રાગોનલ
$(III)$ બોડી-સેન્ટર્ડ ઓર્થોરોમ્બિક

$(A)$ સ્ફટિક પ્રણાલી માટે, પરિમાણો $a = b \neq c$ અને $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ એ ટેટ્રાગોનલ સ્ફટિક પ્રણાલીને અનુરૂપ છે.
આ કિસ્સામાં, $a = b = 200 \text{ pm}$ અને $c = 300 \text{ pm}$ છે, જે $a = b \neq c$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી, સાચી સ્ફટિક પ્રણાલી ટેટ્રાગોનલ છે.

(C) હેક્સાગોનલ ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ માટે,અક્ષીય અંતર $a = b \neq c$ છે.
અક્ષીય ખૂણાઓ $\alpha = \beta = 90^{\circ}$ અને $\gamma = 120^{\circ}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $a = b \neq c, \alpha = \beta = 90^{\circ}, \gamma = 120^{\circ}$ છે.

(C) સફેદ ટીન,ટીનનું એક અપરરૂપ છે,જે ટેટ્રાગોનલ સિસ્ટમનું ઉદાહરણ છે.
ટેટ્રાગોનલ સિસ્ટમ માટે,એકમ કોષના પરિમાણો $a=b \neq c$ અને $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ કારણમાં $a=b=c$ અને $\alpha=\beta=\gamma \neq 90^{\circ}$ જણાવેલ છે,જે રોમ્બોહેડ્રલ સિસ્ટમ દર્શાવે છે,ટેટ્રાગોનલ નહીં.
તેથી,$Assertion (A)$ સાચું છે પરંતુ $Reasoning (R)$ ખોટું છે.

(B) સોડિયમ ક્લોરાઇડ $(NaCl)$ સ્ફટિકમાં,બંધારણ $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) પ્રકારનું હોય છે.
$Cl^{-}$ આયનો ખૂણાઓ અને ફલક-કેન્દ્રો પર હાજર હોય છે,જ્યારે $Na^{+}$ આયનો તમામ અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં ગોઠવાયેલા હોય છે.
નજીકના $Na^{+}$ અને $Cl^{-}$ આયનો વચ્ચેનું અંતર એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $(a)$ ના અડધા જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે,$Na^{+}$ અને $Cl^{-}$ વચ્ચેનું અંતર $= Y \ pm$.
તેથી,$Y = \frac{a}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે ધારની લંબાઈ $a = 2 Y \ pm$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ઘન પ્રણાલીમાં બે સમતલો $(h_1 k_1 l_1)$ અને $(h_2 k_2 l_2)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \phi = \frac{h_1 h_2 + k_1 k_2 + l_1 l_2}{\sqrt{h_1^2 + k_1^2 + l_1^2} \sqrt{h_2^2 + k_2^2 + l_2^2}}$
$(100)$ અને $(110)$ સમતલો માટે:
$h_1=1, k_1=0, l_1=0$ અને $h_2=1, k_2=1, l_2=0$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{(1 \times 1) + (0 \times 1) + (0 \times 0)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\phi = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$

(D) મિલર સૂચકાંકો $(h, k, l)$ એ સ્ફટિકના અક્ષો $(a, b, c)$ પરના આંતરછેદોના વ્યસ્ત છે.
આપેલા આંતરછેદો $1, 1/2, 3$ છે.
તેના વ્યસ્ત લેતા: $h = 1/1 = 1$,$k = 1/(1/2) = 2$,$l = 1/3$.
આને પૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે $3$ વડે ગુણતા: $h = 3$,$k = 6$,$l = 1$.
તેથી,મિલર સૂચકાંકો $(3$ $6$ $1)$ થશે.