Conductor and Conductance and Cell constant Questions in Gujarati

(C) કોલરાઉસના આયનોના સ્વતંત્ર અભિગમનનો નિયમ મુજબ,બેન્ઝોઇક એસિડ $(C_6H_5COOH)$ માટે અનંત મંદને તુલ્ય વાહકતા નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\wedge_{C_6H_5COOH}^{\infty} = \wedge_{C_6H_5COONa}^{\infty} + \wedge_{HCl}^{\infty} - \wedge_{NaCl}^{\infty}$
આપેલ કિંમતો:
$\wedge_{C_6H_5COONa}^{\infty} = 240 \ \Omega^{-1} \ cm^2 \ equiv^{-1}$
$\wedge_{HCl}^{\infty} = 349 \ \Omega^{-1} \ cm^2 \ equiv^{-1}$
$\wedge_{NaCl}^{\infty} = 229 \ \Omega^{-1} \ cm^2 \ equiv^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\wedge_{C_6H_5COOH}^{\infty} = 240 + 349 - 229$
$= 589 - 229$
$= 360 \ \Omega^{-1} \ cm^2 \ equiv^{-1}$

(C) તુલ્ય વાહકતા,$\wedge_{eq} = \frac{\kappa \times 1000}{C}$,જ્યાં $\kappa$ એ વિશિષ્ટ વાહકતા છે.
વિશિષ્ટ વાહકતા $\kappa = \frac{1}{R}$ હોવાથી (જ્યાં $R$ એ વિશિષ્ટ અવરોધ છે).
સૂત્રમાં $\kappa$ ની કિંમત મૂકતા:
$\wedge_{eq} = \frac{1}{R} \times \frac{1000}{C} = \frac{1000}{R C}$.

(B) કોહલરાઉસના આયનોના સ્વતંત્ર અભિગમનનો નિયમ વાપરતા:
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = \lambda_m^{\circ} BaCl_2 + 2 \lambda_m^{\circ} NaOH - 2 \lambda_m^{\circ} NaCl$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = (280 \times 10^{-4}) + 2(248 \times 10^{-4}) - 2(126 \times 10^{-4})$
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = (280 + 496 - 252) \times 10^{-4} \ S \ m^2 \ mol^{-1}$
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = 524 \times 10^{-4} \ S \ m^2 \ mol^{-1}$

(C) વિશિષ્ટ વાહકતા $(\kappa)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\kappa = G \times \frac{l}{A}$, જ્યાં $G$ એ વાહકતા છે, $l$ એ જાડાઈ છે, અને $A$ એ ઇલેક્ટ્રોડનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ છે: વાહકતા $G = \frac{314}{5} \ S = 62.8 \ S$.
વ્યાસ $= 20 \ mm = 2 \ cm$, તેથી ત્રિજ્યા $r = 1 \ cm$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (1 \ cm)^2 = 3.14 \ cm^2$.
જાડાઈ $l = 20 \ \mu m = 20 \times 10^{-4} \ cm$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\kappa = 62.8 \times \frac{20 \times 10^{-4}}{3.14} \ S \ cm^{-1}$.
$\kappa = 20 \times 20 \times 10^{-4} \ S \ cm^{-1} = 400 \times 10^{-4} \ S \ cm^{-1} = 0.04 \ S \ cm^{-1}$.
$mS \ cm^{-1}$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $0.04 \ S \ cm^{-1} \times 1000 \ mS/S = 40 \ mS \ cm^{-1}$.

(B) કોહલરાઉસના સ્વતંત્ર આયનોના અભિગમનનો નિયમ વાપરતા:
$\lambda_{m(NH_4OH)}^{\infty} = \lambda_{m(NH_4Cl)}^{\infty} + \lambda_{m(Ba(OH)_2)}^{\infty} / 2 - \lambda_{m(BaCl_2)}^{\infty} / 2$
$\lambda_{m(NH_4OH)}^{\infty} = 129.8 + 523.28 / 2 - 280.0 / 2$
$\lambda_{m(NH_4OH)}^{\infty} = 129.8 + 261.64 - 140.0$
$\lambda_{m(NH_4OH)}^{\infty} = 251.44 \ S \ cm^2 \ mol^{-1}$

(A) પગલું $1$: આપેલ સાંદ્રતા પર મોલર વાહકતા $(\lambda_m)$ ની ગણતરી કરો.
$\lambda_m = \frac{k \times 1000}{C} = \frac{1.65 \times 10^{-4} \times 1000}{0.02} = 8.25 \ S \ cm^2 \ mol^{-1}$.
પગલું $2$: કોહલરાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અનંત મંદને મોલર વાહકતા $(\lambda_m^{\infty})$ ની ગણતરી કરો.
$\lambda_m^{\infty}(CH_3COOH) = \lambda_{H^{+}}^{\infty} + \lambda_{CH_3COO^{-}}^{\infty} = 349.1 + 40.9 = 390.0 \ S \ cm^2 \ mol^{-1}$.
પગલું $3$: વિયોજન અંશ $(\alpha)$ ની ગણતરી કરો.
$\alpha = \frac{\lambda_m}{\lambda_m^{\infty}} = \frac{8.25}{390.0} = 0.02115 \approx 0.021$.

(B) કોલરાઉસના નિયમ મુજબ,અનંત મંદને એસિટિક એસિડની તુલ્ય વાહકતા નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\wedge^{0}_{CH_{3}COOH} = \wedge^{0}_{CH_{3}COONa} + \wedge^{0}_{HCl} - \wedge^{0}_{NaCl}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\wedge^{0}_{CH_{3}COOH} = 91 + 426.16 - 126.45$
$\wedge^{0}_{CH_{3}COOH} = 390.71 \ \Omega^{-1} \ cm^{2} \ eq^{-1}$

(B) અનંત મંદને,તુલ્ય વાહકતા દ્રાવણમાં રહેલા આયનોની આયનીય ગતિશીલતા પર આધાર રાખે છે.
જલીય દ્રાવણમાં,$Li^+$ આયનનું કદ સૌથી નાનું અને વીજભાર ઘનતા સૌથી વધુ હોય છે,જેના કારણે તેનું જલીયકરણ (hydration) સૌથી વધુ થાય છે.
આ વધુ પડતા જલીયકરણને કારણે,જલીયકૃત $Li^+$ આયનનું અસરકારક કદ સૌથી મોટું બને છે,જે તેની આયનીય ગતિશીલતા ઘટાડે છે.
તેનાથી વિપરીત,$K^+$ આયનનું કદ સૌથી મોટું અને વીજભાર ઘનતા સૌથી ઓછી હોય છે,પરિણામે તેનું જલીયકરણ સૌથી ઓછું થાય છે અને તેનું અસરકારક કદ સૌથી નાનું હોય છે.
તેથી,આયનીય ગતિશીલતાનો ક્રમ $K^+ > Na^+ > Li^+$ છે.
આમ,અનંત મંદને તુલ્ય વાહકતાનો ક્રમ $KCl > NaCl > LiCl$ છે.

(A) તુલ્ય વાહકતા $(\lambda_{eq})$,વિશિષ્ટ વાહકતા $(K)$ અને સાંદ્રતા $(C)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda_{eq} = \frac{K \times 1000}{C}$
તુલ્ય વાહકતા અને વિશિષ્ટ વાહકતાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{\lambda_{eq}}{K} = \frac{1000}{C}$
અહીં સાંદ્રતા $C = 0.01 \ N$ આપેલ છે:
$\frac{\lambda_{eq}}{K} = \frac{1000}{0.01} = 10^5 \ cm^3 \ eq^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) અનંત મંદને તુલ્ય વાહકતા $(\Lambda_{eq})$ દ્રાવકમાં આયનોની આયનીય ગતિશીલતા પર આધાર રાખે છે.
પાણીમાં,$H^{+}$ અને $HO^{-}$ આયનો પ્રોટોન હોપિંગ (Grotthuss mechanism) ને કારણે અસાધારણ રીતે ઊંચી આયનીય ગતિશીલતા દર્શાવે છે.
આપેલા આયનોમાં,$H^{+}$ ની ગતિશીલતા સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $HO^{-}$ આવે છે.
$K^{+}$ એ મધ્યમ ગતિશીલતા ધરાવતો સાદો જલીય ધન આયન છે,જ્યારે $CH_{3}COO^{-}$ એ પ્રમાણમાં ઓછી ગતિશીલતા ધરાવતો મોટો બહુપરમાણ્વીય ઋણ આયન છે.
તેથી,અનંત મંદને તુલ્ય વાહકતાનો સાચો ક્રમ $H^{+} > HO^{-} > K^{+} > CH_{3}COO^{-}$ છે.

(C) આપેલ છે,વિશિષ્ટ વાહકતા $k = 1.25 \times 10^{-3} \ S \ cm^{-1}$.
અવરોધ $R = 800 \ \Omega$.
વિશિષ્ટ વાહકતા $(k)$,અવરોધ $(R)$ અને કોષ અચળાંક $(G^*)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $k = (1/R) \times G^*$.
કોષ અચળાંક શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $G^* = k \times R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $G^* = (1.25 \times 10^{-3} \ S \ cm^{-1}) \times (800 \ \Omega)$.
$G^* = 1.00 \ cm^{-1}$.

(A) ક્ષાર $[(COO^{-})_{2} Na^{+} K^{+}]$ માટે અનંત મંદને મોલર વાહકતા તેના ઘટક આયનોની મોલર વાહકતાનો સરવાળો છે: $\lambda_{m}^{\infty} = \lambda_{m}^{\infty} (oxalate^{2-}) + \lambda_{m}^{\infty} (Na^{+}) + \lambda_{m}^{\infty} (K^{+})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{m}^{\infty} = 148.2 + 73.5 + 50.1 = 271.8 \ S \ cm^{2} \ mol^{-1}$.
ક્ષાર $[(COO^{-})_{2} Na^{+} K^{+}]$ માટે $n$-ફેક્ટર $2$ છે કારણ કે ઓક્ઝેલેટ આયનનો વીજભાર $-2$ છે.
તેથી,અનંત મંદને તુલ્ય વાહકતા $\lambda_{eq}^{\infty} = \frac{\lambda_{m}^{\infty}}{n-factor} = \frac{271.8}{2} = 135.9 \ S \ cm^{2} \ eq^{-1}$ થાય.

(D) વાહકતા આયનોની સંખ્યા અને તેમની આયનીય ગતિશીલતા પર આધાર રાખે છે.
$CH_{3}COOH$ એ નિર્બળ વિદ્યુતવિભાજ્ય છે અને તેનું અલ્પ પ્રમાણમાં આયનીકરણ થાય છે.
$NaCl$,$KNO_{3}$ અને $HCl$ એ પ્રબળ વિદ્યુતવિભાજ્યો છે.
આમાં,$HCl$ એ $H^{+}$ આયનો આપે છે,જેની આયનીય ગતિશીલતા $Na^{+}$,$K^{+}$,$Cl^{-}$ અને $NO_{3}^{-}$ આયનોની સરખામણીમાં જલીય દ્રાવણમાં સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,$0.1 \ M \ HCl$ ની વાહકતા સૌથી વધુ હશે.

(D) ધાતુના વાહકો માટે,અવરોધ $R$ તાપમાન $T$ સાથે વધે છે $(R \propto T)$. વાહકતા એ અવરોધકતાનું વ્યસ્ત હોવાથી,તાપમાન વધતા વાહકતા ઘટે છે.
અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન સાથે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓની સંખ્યામાં વધારો થાય છે,જેના કારણે વાહકતામાં વધારો થાય છે.

(A) નિર્બળ એસિડ માટે,$K_a = C\alpha^2$ અને $\alpha = \frac{\Lambda_m}{\Lambda_m^0}$.
$K_a = C \left(\frac{\Lambda_m}{\Lambda_m^0}\right)^2$
$pK_a = -\log K_a = -\log C - 2\log \Lambda_m + 2\log \Lambda_m^0$
$pK_a(HQ) - pK_a(HZ) = \log \left(\frac{C_{HZ}}{C_{HQ}}\right) + 2\log \left(\frac{\Lambda_{m(HZ)}}{\Lambda_{m(HQ)}}\right)$
આપેલ છે $\frac{\Lambda_{m(HQ)}}{\Lambda_{m(HZ)}} = \frac{1}{30}$,તેથી $\frac{\Lambda_{m(HZ)}}{\Lambda_{m(HQ)}} = 30$.
$\lambda_{Q^{-}}^0 = \lambda_{Z^{-}}^0$ હોવાથી અને $\lambda_{H^+}^0$ બંને માટે સમાન હોવાથી,$\Lambda_{m(HQ)}^0 = \Lambda_{m(HZ)}^0$ થાય.
$\Delta pK_a = \log \left(\frac{0.02}{0.18}\right) + 2\log(30)$
$\Delta pK_a = \log \left(\frac{1}{9}\right) + 2\log(30) = -2\log 3 + 2(\log 3 + \log 10) = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\Lambda_{m} = \Lambda_{m}^{\circ} - A\sqrt{c}$ છે.
$c = 0.04 \ mol \ L^{-1}$ અને $\Lambda_{m} = 96.1 \ S \ cm^2 \ mol^{-1}$ માટે:
$96.1 = \Lambda_{m}^{\circ} - A \times \sqrt{0.04} = \Lambda_{m}^{\circ} - 0.2A \quad \dots(I)$
$c = 0.09 \ mol \ L^{-1}$ અને $\Lambda_{m} = 95.7 \ S \ cm^2 \ mol^{-1}$ માટે:
$95.7 = \Lambda_{m}^{\circ} - A \times \sqrt{0.09} = \Lambda_{m}^{\circ} - 0.3A \quad \dots(II)$
સમીકરણ $(I)$ માંથી સમીકરણ $(II)$ બાદ કરતા:
$(96.1 - 95.7) = (-0.2A) - (-0.3A)$
$0.4 = 0.1A$
$A = \frac{0.4}{0.1} = 4$
આમ,અચળાંક $A$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(B) પગલું $1$: દ્રાવણની વાહકતા $(\kappa)$ ગણો.
$\kappa = G \times (l/A) = 1.9 \times 10^{-3} \text{ S} \times 1.3 \text{ cm}^{-1} = 2.47 \times 10^{-3} \text{ S cm}^{-1}$.
પગલું $2$: મોલર વાહકતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દ્રાવણની મોલારિટી $(M)$ ગણો.
$\Lambda_m = (\kappa \times 1000) / M$
$123.5 = (2.47 \times 10^{-3} \times 1000) / M$
$M = 2.47 / 123.5 = 0.02 \text{ mol L}^{-1}$.
પગલું $3$: $1 \text{ L}$ દ્રાવણમાં દ્રાવ્યનું દળ ગણો.
ઘનતા $1.0 \text{ g mL}^{-1}$ હોવાથી,$1 \text{ L}$ દ્રાવણનું વજન $1000 \text{ g}$ થાય.
$MX$ નું દળ = મોલ $\times$ મોલર દળ = $0.02 \text{ mol} \times 75 \text{ g mol}^{-1} = 1.5 \text{ g}$.
પગલું $4$: વજનથી ટકાવારી $(\text{w/w})$ ગણો.
$\% (w/w) = (\text{દ્રાવ્યનું દળ} / \text{દ્રાવણનું દળ}) \times 100 = (1.5 / 1000) \times 100 = 0.15$.
$0.15 = 15 \times 10^{-2}$.
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $15$ છે.