Measurement Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ આકૃતિને ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $D_{me}$ એ પૃથ્વીથી ચંદ્રનું અંતર છે.
ધારો કે $D_{se}$ એ પૃથ્વીથી સૂર્યનું અંતર છે.
ધારો કે $R_m$ એ ચંદ્રની ત્રિજ્યા છે અને $R_s$ એ સૂર્યની ત્રિજ્યા છે.
ચંદ્ર સૂર્યને ઢાંકી દેતો હોવાથી,પૃથ્વી પર બંને દ્વારા બનતો કોણીય વ્યાસ $\theta$ સમાન હોય છે.
કોણીય વ્યાસના સૂત્ર $\theta = \frac{\text{વ્યાસ}}{\text{અંતર}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\theta = \frac{2R_s}{D_{se}} = \frac{2R_m}{D_{me}}$
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{R_s}{D_{se}} = \frac{R_m}{D_{me}}$
તેથી,સંબંધ આ મુજબ છે:
$\frac{R_s}{R_m} = \frac{D_{se}}{D_{me}}$
આ દર્શાવે છે કે સૂર્ય અને ચંદ્રના કદનો ગુણોત્તર પૃથ્વીથી તેમના સંબંધિત અંતરના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.

(A) $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ $A$ ક્ષેત્રફળ દ્વારા આંતરાતો ઘનકોણ $\Omega$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Omega = \frac{A}{r^2}$.
અહીં,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm^2$ અને અંતર $r = 5 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Omega = \frac{1 \, cm^2}{(5 \, cm)^2} = \frac{1}{25} \, sr$.
$\Omega = 0.04 \, sr$.
આમ,આંતરાતો ઘનકોણ $0.04 \, sr$ છે.

(C) ઓલિક એસિડને આલ્કોહોલમાં ઓગાળવામાં આવે છે કારણ કે તે પાણીમાં ઓગળતું નથી,જેનાથી તે પાણીની સપાટી પર એક અલગ પડ બનાવી શકે છે.
$(b)$ લાયકોપોડિયમ પાવડરને પાણીની સપાટી પર છાંટવામાં આવે છે જેથી ઓલિક એસિડની ફિલ્મની સીમા જોઈ શકાય. જેમ ઓલિક એસિડ ફેલાય છે,તે પાવડરને દૂર ધકેલે છે,જેનાથી એક સ્પષ્ટ ગોળાકાર વિસ્તાર બને છે જેને માપી શકાય છે.
$(c)$ દ્રાવણની સાંદ્રતા: પ્રથમ મંદન: $20\, mL$ માં $1\, mL$. બીજું મંદન: પ્રથમ દ્રાવણના $1\, mL$ ને $20\, mL$ માં. આમ,અંતિમ દ્રાવણના પ્રતિ $mL$ ઓલિક એસિડનું કદ $\frac{1}{20} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{400}\, mL$ છે.
$(d)$ $n$ ટીપાંનું કદ બ્યુરેટ અથવા માપન નળાકારનો ઉપયોગ કરીને જાણીતી સંખ્યાના ટીપાંનું કુલ કદ માપીને અને પછી તેને $n$ વડે ભાગીને ગણી શકાય છે.
$(e)$ જો $n$ ટીપાં $1\, mL$ બનાવે,તો એક ટીપાનું કદ $\frac{1}{n}\, mL$ થાય. દ્રાવણની સાંદ્રતા $\frac{1}{400}\, mL$ પ્રતિ $mL$ હોવાથી,એક ટીપામાં ઓલિક એસિડનું કદ $\frac{1}{400n}\, mL$ થશે.

(N/A) વ્યાખ્યા મુજબ,$1$ પાર્સેક એ અંતર છે જ્યાં $1 AU$ લંબાઈનો ચાપ $1^{\prime \prime}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
$1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$ અને $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$ હોવાથી,$1^{\prime \prime} = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ rad}$ થાય.
તેથી,$1 \text{ parsec} = \frac{1 AU}{1^{\prime \prime}} = \frac{180 \times 3600}{\pi} AU \approx 2.06 \times 10^{5} AU$.
$(b)$ સૂર્યનો કોણીય વ્યાસ $1 AU$ અંતરે $0.5^{\circ} = 30^{\prime}$ છે. $2$ પાર્સેક $(2 \times 2.06 \times 10^{5} AU)$ ના અંતરે,તારાનો કોણીય વ્યાસ $\alpha = \frac{0.5^{\circ}}{2 \times 2.06 \times 10^{5}} \approx 1.21 \times 10^{-6} \text{ degrees} \approx 0.0044^{\prime \prime}$ થાય.
$100$ ગણા મેગ્નિફિકેશન સાથે,દેખીતું કદ $100 \times 0.0044^{\prime \prime} = 0.44^{\prime \prime}$ થાય. $0.44^{\prime \prime} < 1^{\prime}$ હોવાથી,તારો સ્પષ્ટ દેખાશે નહીં અને વાતાવરણીય અશાંતિને કારણે તે માત્ર એક બિંદુ તરીકે દેખાશે.
$(c)$ મંગળનો વ્યાસ $0.5 \times D_{Earth}$ છે. કોણીય કદ $\theta = \frac{\text{Diameter}}{\text{Distance}}$. $0.5 AU$ અંતરે,$\theta_{Mars} = \frac{0.5 \times D_{Earth}}{0.5 AU} = \frac{D_{Earth}}{1 AU} \approx 0.5^{\circ} = 30^{\prime}$ થાય.
$100$ ગણા મેગ્નિફિકેશન સાથે,દેખીતું કદ $100 \times 30^{\prime} = 3000^{\prime} = 50^{\circ}$ થશે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = 60^{\prime}$ (આર્કની મિનિટ).
તેથી,$1^{\prime} = (1/60)^{\circ}$.
ડિગ્રીને રેડિયનમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
તેથી,$1^{\prime} = \left(\frac{1}{60}\right) \times \left(\frac{\pi}{180}\right) \text{ rad}$.
$\pi \approx 3.14159$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$1^{\prime} = \frac{3.14159}{10800} \text{ rad} \approx 2.9088 \times 10^{-4} \text{ rad}$.
ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.91 \times 10^{-4} \text{ rad}$ મળે છે.

(B) $100$ ટીપાંનું કુલ કદ $V_{total} = 100 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $r = \left(\frac{3}{40 \pi}\right)^{1/3} \times 10^{-3} \, cm$,તેથી $r^3 = \frac{3}{40 \pi} \times 10^{-9} \, cm^3$.
$V_{total} = 100 \times \frac{4}{3} \pi \times \frac{3}{40 \pi} \times 10^{-9} = 10^{-8} \, cm^3$.
સ્તરની જાડાઈ $t_T$ એ $Area \times t_T = V_{total}$ દ્વારા મળે છે.
$4 \, cm^2 \times t_T = 10^{-8} \, cm^3 \implies t_T = 0.25 \times 10^{-8} = 25 \times 10^{-10} \, cm$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $t_T = 25 \times 10^{-12} \, m$.
ઓલિક એસિડની સાંદ્રતા $0.01$ છે,તેથી ઓલિક એસિડના સ્તરની જાડાઈ $t_0 = 0.01 \times t_T$ થશે.
$t_0 = 0.01 \times 25 \times 10^{-12} \, m = 25 \times 10^{-14} \, m$.
$x \times 10^{-14} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 25$ મળે છે.

(B) વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = \frac{\ell}{\theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
આપેલ છે $\ell = 4.4 \; ly = 4.4 \times 9.46 \times 10^{15} \; m$.
ખૂણો $\theta = 4'' = \frac{4}{3600} \times \frac{\pi}{180} \; rad$.
આ કિંમતો મૂકતા,$R = \frac{4.4 \times 9.46 \times 10^{15}}{\frac{4}{3600} \times \frac{\pi}{180}} \; m$.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi R$ છે.
$4$ પરિભ્રમણ માટે,કુલ અંતર $D = 4 \times 2\pi R = 8\pi R$.
ઝડપ $v = 8 \; AU/s = 8 \times 1.5 \times 10^{11} \; m/s$.
લાગતો સમય $t = \frac{D}{v} = \frac{8\pi R}{v} = \frac{8\pi}{v} \times \frac{\ell}{\theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{8 \times \pi \times 4.4 \times 9.46 \times 10^{15}}{8 \times 1.5 \times 10^{11} \times (\frac{4}{3600} \times \frac{\pi}{180})}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $t \approx 4.5 \times 10^{10} \; s$ મળે છે.

(C) કોણીય વ્યાસ $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = \frac{d}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સૂર્યનો વ્યાસ છે અને $r$ એ પૃથ્વીથી અંતર છે.
પ્રથમ,કોણીય વ્યાસને સેકન્ડ $(s)$ માંથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરો:
$\theta = 2000 \,s = \frac{2000}{60 \times 60} \text{ ડિગ્રી} = \frac{2000}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
આપેલ છે $r = 1.5 \times 10^{11} \,m$.
સૂત્ર $d = \theta \times r$ માં કિંમતો મૂકતા:
$d = \left( \frac{2000}{3600} \times \frac{\pi}{180} \right) \times (1.5 \times 10^{11})$
$d = \left( \frac{20}{36} \times \frac{\pi}{180} \right) \times 1.5 \times 10^{11}$
$d \approx (0.555 \times 0.01745) \times 1.5 \times 10^{11}$
$d \approx 0.00969 \times 1.5 \times 10^{11} \approx 1.45 \times 10^{9} \,m$.

(C) ગ્રહનું પૃથ્વીથી અંતર $D$ છે અને વેધશાળામાં ગ્રહના વ્યાસ $d$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$ છે.
સમતલ ખૂણાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે:
$\theta = \frac{\text{ચાપની લંબાઈ}}{\text{ત્રિજ્યા}}$
અહીં,ચાપની લંબાઈ એ ગ્રહનો વ્યાસ $d$ છે અને ત્રિજ્યા એ અંતર $D$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{d}{D}$.
વ્યાસ $d$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$d = D \theta$.

(B) આપેલ છે,તારની સાચી લંબાઈ $l_0 = 3.678 \,cm$.
સાધન $A$ દ્વારા માપન $l_A = 3.5 \,cm$.
સાધન $B$ દ્વારા માપન $l_B = 3.38 \,cm$.
ચોકસાઈ (Accuracy) એ નક્કી કરે છે કે માપેલ મૂલ્ય સાચા મૂલ્યની કેટલું નજીક છે। $A$ માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ $|3.678 - 3.5| = 0.178 \,cm$ છે,અને $B$ માટે $|3.678 - 3.38| = 0.298 \,cm$ છે. $0.178 < 0.298$ હોવાથી,માપન $A$ વધુ સચોટ છે.
ચોકસાઈ (Precision) એ સાધનના રિઝોલ્યુશન અથવા દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી થાય છે. સાધન $A$ એક દશાંશ સ્થળ સુધી માપે છે,જ્યારે સાધન $B$ બે દશાંશ સ્થળ સુધી માપે છે. તેથી,સાધન $B$ વધુ ચોક્કસ છે.

(A) સાધનનું લઘુત્તમ માપ એ તેના દ્વારા માપી શકાતું સૌથી નાનું મૂલ્ય છે.
આપેલ અવલોકનો $1.24 \ mm, 1.25 \ mm, 1.23 \ mm$ અને $1.21 \ mm$ છે,જે તમામ મિલીમીટરમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી બે અંક સુધી નોંધાયેલા છે.
આનો અર્થ એ છે કે સાધન સોળમાં ભાગ $(0.01 \ mm)$ સુધીના ફેરફારોને માપી શકે છે.
તેથી,સાધનનું લઘુત્તમ માપ $0.01 \ mm$ છે.