Height and Distance Questions in Gujarati

(B) ધારો કે પદાર્થની ઊંચાઈ $h$ છે અને બીજા અવલોકન બિંદુથી ટેકરીના પાયા સુધીનું અંતર $x$ છે.
$\triangle BCD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ACD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.

(B) ધારો કે $BC$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $CD$ એ ધ્વજદંડની ઊંચાઈ છે,જ્યાં $BC = x$ અને $CD = h$.
ધારો કે બિંદુ $A$ એ ટાવરના પાયા $B$ થી $y$ મીટર દૂર છે.
આપેલ છે કે ટાવર અને ધ્વજદંડ બિંદુ $A$ પર સમાન ખૂણા $\theta$ બનાવે છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{y}$.
$\triangle ABD$ માં,કુલ ખૂણો $2\theta$ છે અને કુલ ઊંચાઈ $BD = BC + CD = x + h$ છે.
તેથી,$\tan 2\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{x+h}{y}$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2(x/y)}{1-(x/y)^2} = \frac{x+h}{y}$
$\frac{2xy}{y^2-x^2} = \frac{x+h}{y}$
$h = \frac{2xy^2}{y^2-x^2} - x = \frac{x(x^2+y^2)}{y^2-x^2}$.

(C) ધારો કે અવલોકનકારનું સ્થાન $A$ છે. વિમાનની ઊંચાઈ $h = 1 \ km$ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $D$ અને અંતિમ સ્થાન $E$ છે.
$\Delta DAP$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{DP}{AP}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{AP}$ $\Rightarrow AP = \frac{1}{\sqrt{3}} \ km$.
$\Delta EAQ$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{EQ}{AQ} = \frac{1}{AP + PQ} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ}$.
$PQ$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ = \sqrt{3}$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
વિમાન દ્વારા કાપેલું અંતર $PQ = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$ છે,જે $10 \ s$ માં કાપેલું છે.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2/\sqrt{3} \ km}{10 \ s} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{10} \ km/s$.
$km/h$ માં ફેરવતા: $\text{ઝડપ} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \times 3600 \ km/h = \frac{7200}{10\sqrt{3}} = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(B) $\triangle ECD$ માં,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{CD} \Rightarrow CD = h \cot 3 \alpha \quad \dots(i)$
$\triangle EBD$ માં,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{BD} \Rightarrow BD = h \cot 2 \alpha \quad \dots(ii)$
$\triangle EAD$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{AD} \Rightarrow AD = h \cot \alpha \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$AB = AD - BD = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha) \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$BC = BD - CD = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha) \quad \dots(v)$
$(iv)$ ને $(v)$ વડે ભાગતા:
$\frac{AB}{BC} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને બીજા બિંદુથી થાંભલાના પાયા સુધીનું અંતર $x$ છે.
$\triangle BDA$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x$.
$\triangle BCA$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20+x}$.
સમીકરણમાં $x = h$ મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20+h}$
$20+h = \sqrt{3}h$
$20 = h(\sqrt{3}-1)$
$h = \frac{20}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$h = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \ m$.