IIT JEE 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ માટે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
અહીં પ્રક્રિયા $P/V = 1$ છે, જેનો અર્થ છે કે $P = V^1$, અથવા $PV^{-1} = \text{constant}$.
આને $PV^x = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = -1$ મળે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3R}{2}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1 - (-1)}$.
$C = \frac{3R}{2} + \frac{R}{2} = \frac{4R}{2} = 2R$.

(B) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{Ae} = \frac{4FL}{\pi D^2 e}$ છે.
આપેલ છે: $L = 2 \,m$, $F = 1.0 \times 9.8 \,N$, $e = 0.8 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta e = 0.05 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.4 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta D = 0.01 \times 10^{-3} \,m$.
પ્રથમ, $Y$ નું મૂલ્ય ગણો:
$Y = \frac{4 \times 9.8 \times 2}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times (0.8 \times 10^{-3})} = \frac{78.4}{\pi \times 0.16 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-3}} \approx 1.95 \times 10^{11} \,N/m^2 \approx 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$.
હવે, સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા $\frac{\Delta Y}{Y}$ ગણો:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta e}{e}$.
$F$ અને $L$ ચોક્કસ હોવાથી, $\frac{\Delta F}{F} = 0$ અને $\frac{\Delta L}{L} = 0$.
$\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \left( \frac{0.05}{0.8} \right) = 2(0.025) + 0.0625 = 0.05 + 0.0625 = 0.1125$.
નિર્પેક્ષ અનિશ્ચિતતા $\Delta Y = 0.1125 \times Y = 0.1125 \times 1.95 \times 10^{11} \approx 0.22 \times 10^{11} \,N/m^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, $\Delta Y \approx 0.2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
આમ, $Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \,N/m^2$.

(A) રેઝોનન્સ કોલમ પ્રયોગમાં, ટ્યુનિંગ ફોર્કને નળીના ખુલ્લા છેડાની ઉપર રાખવામાં આવે છે। ધ્વનિ તરંગો નળીમાં અસરકારક રીતે પ્રસરણ પામે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોન્ગ્સને શિરોલંબ સમતલમાં રાખવામાં આવે છે।
એક છેડે બંધ નળી માટે, રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે એર કોલમની લંબાઈ $L$ એ શરત $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ સંતોષે, જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે અને $n = 1, 2, 3, ...$ છે।
પ્રથમ રેઝોનન્સ $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$ પર થાય છે અને બીજું રેઝોનન્સ $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ પર થાય છે।
આ બંનેની બાદબાકી કરતા, આપણને $L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે।
આમ, બે રેઝોનેટિંગ એર કોલમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત હવામાં ધ્વનિની તરંગલંબાઇના અડધા ભાગ જેટલો હોય છે।

(B) પાણીની મુક્ત સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ $dx$ ઊંચાઈની એક ઉભી લંબચોરસ પટ્ટીનો વિચાર કરો. આ પટ્ટીની પહોળાઈ બીકરનો વ્યાસ છે,જે $2R$ છે.
$x$ ઊંડાઈએ દબાણ $P(x) = P_0 + \rho g x$ છે.
આ પટ્ટી પર દબાણ દ્વારા લાગતું બળ $dF_p = P(x) \cdot (2R) dx = (P_0 + \rho g x) 2R dx$ છે.
આનું $x = 0$ થી $x = h$ સુધી સંકલન કરતા,દબાણને કારણે લાગતું કુલ બળ $F_p = \int_0^h (P_0 + \rho g x) 2R dx = 2R [P_0 x + \frac{1}{2} \rho g x^2]_0^h = 2 P_0 R h + R \rho g h^2$ મળે છે.
વધુમાં,વિભાગની ઉપરની ધાર પર પૃષ્ઠતાણને કારણે બળ લાગે છે. સપાટી પર વિભાગની લંબાઈ $2R$ છે,તેથી પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_T = T \cdot (2R) = 2RT$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું બળ દબાણના બળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,બળનું કુલ મૂલ્ય $F = |F_p - F_T| = |2 P_0 R h + R \rho g h^2 - 2 RT|$ થશે.

(C) આપેલ વિદ્યુતભારોની ગોઠવણી એ $z$-અક્ષ પર મૂકાયેલ વિદ્યુત ડાયપોલ છે,જેમાં ધન વિદ્યુતભાર $(0, 0, a/2)$ પર અને ઋણ વિદ્યુતભાર $(0, 0, -a/2)$ પર છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ પર વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે મળતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત ડાયપોલ માટે,વિષુવવૃત્તીય સમતલ એ $xy$-સમતલ $(z = 0)$ છે.
$xy$-સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ,ધન વિદ્યુતભારથી અંતર અને ઋણ વિદ્યુતભારથી અંતર સમાન હોય છે,તેથી $xy$-સમતલ પર દરેક જગ્યાએ સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોય છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $(-a, 0, 0)$ છે,જે $xy$-સમતલ પર આવેલું છે,તેથી $V_i = 0$.
અંતિમ સ્થાન $(0, a, 0)$ છે,જે પણ $xy$-સમતલ પર આવેલું છે,તેથી $V_f = 0$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W_e = -\Delta U = -q_0(V_f - V_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_0$ એ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર છે.
$V_f = V_i = 0$ હોવાથી,થતું કાર્ય $W_e = -q_0(0 - 0) = 0$ થાય છે.

(B) સિંગલ ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ માટે, $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$He^{+}$ માટે $Z=2$ આપેલ છે.
પ્રારંભિક કક્ષા માટે, $r_2 = 105.8 \ pm$:
$105.8 = 52.9 \times \frac{n_2^2}{2} \implies n_2^2 = \frac{105.8 \times 2}{52.9} = 4 \implies n_2 = 2$.
અંતિમ કક્ષા માટે, $r_1 = 26.45 \ pm$:
$26.45 = 52.9 \times \frac{n_1^2}{2} \implies n_1^2 = \frac{26.45 \times 2}{52.9} = 1 \implies n_1 = 1$.
આમ, સંક્રમણ $n=2$ થી $n=1$ માં થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$\Delta E = 2.2 \times 10^{-18} \times (2)^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 2.2 \times 10^{-18} \times 4 \times \left( 1 - 0.25 \right) = 8.8 \times 10^{-18} \times 0.75 = 6.6 \times 10^{-18} \ J$.
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 10^{-18}} = 3 \times 10^{-8} \ m = 30 \ nm$.