IIT JEE 1972 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $x = -5 + 2\sqrt{-4} = -5 + 4i$.
તેથી $x + 5 = 4i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x + 5)^2 = (4i)^2$.
$x^2 + 10x + 25 = -16$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + 10x + 41 = 0$.
હવે,$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ને $x^2 + 10x + 41$ વડે ભાગતા,
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$.
કારણ કે $x^2 + 10x + 41 = 0$ છે,તેથી પદાવલિની કિંમત $0 \times (x^2 - x + 4) - 160 = -160$ થશે.

(B) Let $S = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {^nC_k} (a - k)$.
This can be written as $S = a \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {^nC_k} - \sum_{k=0}^{n} (-1)^k k {^nC_k}$.
We know that $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {^nC_k} = (1 - 1)^n = 0$ for $n \ge 1$.
Also, $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k {^nC_k} = 0$ for $n > 1$ because $k {^nC_k} = n {^{n-1}C_{k-1}}$, and the sum becomes $n \sum_{k=1}^{n} (-1)^k {^{n-1}C_{k-1}} = n(1 - 1)^{n-1} = 0$.
Thus, $S = a(0) - 0 = 0$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0,3)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 3$ અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 3)^2 = h^2$ છે.
આ વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $8$ એકમનો અંતઃખંડ કાપે છે. સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$(x - h)^2 + (0 - 3)^2 = h^2$,જેનું સાદું રૂપ $(x - h)^2 + 9 = h^2$ અથવા $(x - h)^2 = h^2 - 9$ થાય છે.
આમ,$x = h \pm \sqrt{h^2 - 9}$.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $(h + \sqrt{h^2 - 9}) - (h - \sqrt{h^2 - 9}) = 2\sqrt{h^2 - 9}$ છે.
અંતઃખંડ $8$ આપેલ હોવાથી,$2\sqrt{h^2 - 9} = 8$,તેથી $\sqrt{h^2 - 9} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા $h^2 - 9 = 16$,તેથી $h^2 = 25$,જેનો અર્થ છે કે $h = \pm 5$.
ત્રિજ્યા $r = |h|$ હોવાથી,$r = 5$ મળે છે.

(C) $x = 1$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 1$ આગળ વિધેયની કિંમત મેળવીશું.
આપેલ છે કે $f(1) = 2$.
$x \ne 1$ માટે,$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 3}{x + 1}$.
હવે,$x \to 1$ માટે લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$.
અહીં $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1$ અને $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $-1$ છે.
પરંતુ,$f(1) = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(B) આપણે નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\int x \cos^2 x \, dx = \int x \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{4}$.
બીજા ભાગ માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરો: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = x$ અને $dv = \cos 2x \, dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx \right) = \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{1}{4} \int \sin 2x \, dx$.
$= \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) = \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8}$.
બંને ભાગોને જોડતા: $\frac{x^2}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\int x \sin^2 x \, dx = \int x \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx$
$= \frac{1}{2} \int x \, dx - \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) - \frac{1}{2} \left[ x \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) - \int 1 \cdot \frac{\sin 2x}{2} \, dx \right]$
$= \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4} \sin 2x + \frac{1}{2} \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx$
$= \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4} \sin 2x + \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) + c$
$= \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4} \sin 2x - \frac{1}{8} \cos 2x + c$.