AP EAMCET 2009 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) विशिष्ट घूर्णन का सूत्र $[\alpha] = \frac{\alpha}{l \times c}$ है,जहाँ $\alpha$ डिग्री में प्रेक्षित घूर्णन है,$l$ डेसीमीटर $(dm)$ में पथ की लंबाई है और $c$ $g/mL$ में सांद्रता है।
दिया गया है: $\alpha = -1.2^{\circ}$,$l = 5 \ cm = 0.5 \ dm$,और $c = 6.15 \ g / 100 \ mL = 0.0615 \ g/mL$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $[\alpha] = \frac{-1.2}{0.5 \times 0.0615} = \frac{-1.2}{0.03075} = -39^{\circ}$.

(A) ओजोनोलिसिस से गुजरने वाले एल्कीन की संरचना निर्धारित करने के लिए,उत्पादों के कार्बोनिल ऑक्सीजन परमाणुओं को आमने-सामने रखें और $O$ परमाणुओं को द्वि-आबंध $(C=C)$ से बदलें।
एसीटैल्डिहाइड $CH_3CHO$ है और एसीटोन $(CH_3)_2CO$ है।
उन्हें संरेखित करने पर: $CH_3(H)C=O + O=C(CH_3)_2$ प्राप्त होता है।
ऑक्सीजन परमाणुओं को हटाकर और कार्बनों को द्वि-आबंध से जोड़ने पर $CH_3(H)C=C(CH_3)_2$ प्राप्त होता है।
संरचना $CH_3-CH=C(CH_3)_2$ है।
सबसे लंबी श्रृंखला में $4$ कार्बन परमाणु हैं और $2$-स्थिति पर एक मिथाइल समूह है,इसलिए $IUPAC$ नाम $2$-मिथाइल-$2$-ब्यूटीन है।

(C) दिया गया है,$x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ और $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
माना $t = \tan \theta$,तब $\theta = \tan^{-1} t$.
तब $\sqrt{1+t^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec \theta$ होगा।
अतः,$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
और $y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
चूंकि $x = \tan^{-1} t$ और $y = \tan^{-1} t$,इसलिए $y = x$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(A) दिया गया है,$z=\tan (y+a x)+\sqrt{y-a x}$
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_x = \sec^2(y+ax) \cdot a + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}} \cdot (-a)$
$z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} [a \sec^2(y+ax) - \frac{a}{2\sqrt{y-ax}}] = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}$
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_y = \sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} [\sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}] = 2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}$
अब,$z_{xx} - a^2 z_{yy}$ की गणना करें:
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = [2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}] - a^2 [2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}]$
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} - 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) + \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} = 0$

(B) माना पोटेशियम एसीटेट की सांद्रता $x \ M$ है। हेंडरसन-हेसलबाक समीकरण का उपयोग करते हुए:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
दिया गया है: $pH = 4.8$,$K_a = 1.8 \times 10^{-5}$,$pK_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) \approx 4.74$.
एसिड के मोल $= 20 \ mL \times 0.1 \ M = 2 \ mmol$.
लवण के मोल $= 50 \ mL \times x \ M = 50x \ mmol$.
समीकरण में मान रखने पर:
$4.8 = 4.74 + \log \frac{50x}{2}$
$0.06 = \log(25x)$
$25x = 10^{0.06} \approx 1.148$
$x = \frac{1.148}{25} \approx 0.0459 \ M \approx 0.04 \ M$.

(D) बफर क्षमता,$\beta = \frac{dC_{HA}}{dpH}$.
यहाँ,$dC_{HA}$ विलयन के प्रति लीटर मिलाए गए एसिड के मोलों की संख्या है।
$dC_{HA} = \frac{\text{एसेटिक एसिड के मोल}}{\text{आयतन (लीटर में)}} = \frac{0.12 / 60}{250 / 1000} = \frac{0.002}{0.25} = 0.008 \ M$.
$pH$ में परिवर्तन $dpH = 0.02$ है।
अतः,$\beta = \frac{0.008}{0.02} = 0.4$.

(C) दिया गया है,$y=e^{a \sin ^{-1} x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = e^{a \sin ^{-1} x} \cdot \frac{a}{\sqrt{1-x^2}}$
$\Rightarrow y_1 \sqrt{1-x^2} = ay$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1-x^2) y_1^2 = a^2 y^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1-x^2) 2 y_1 y_2 - 2x y_1^2 = a^2 2y y_1$
$2y_1$ से भाग देने पर:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 - a^2 y = 0$
$n$-वें अवकलज के लिए लेबनीज प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(1-x^2) y_{n+2} + n(-2x) y_{n+1} + \frac{n(n-1)}{2}(-2) y_n - (x y_{n+1} + n(1) y_n) - a^2 y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - 2nx y_{n+1} - n(n-1) y_n - x y_{n+1} - n y_n - a^2 y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - (2n+1) x y_{n+1} - (n^2 - n + n + a^2) y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - (2n+1) x y_{n+1} = (n^2 + a^2) y_n$

(B) दिया गया है,$f(x)=x^3+3x-2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x)=3x^2+3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in [2,3]$ के लिए $x^2 \geq 0$ है,इसलिए $f'(x) = 3x^2+3 \geq 3 > 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[2,3]$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान फलन के लिए,परिसर $[f(2), f(3)]$ होता है।
$x=2$ पर,$f(2) = 2^3 + 3(2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12$।
$x=3$ पर,$f(3) = 3^3 + 3(3) - 2 = 27 + 9 - 2 = 34$।
इसलिए,$f(x)$ का परिसर $[12, 34]$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,बिंदु की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \left( \frac{2 - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x) e^x \, dx$
$I = \int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int e^x \cot x \, dx$
प्रथम पद $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = \cot x$,तो $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx = -e^x \cot x - \int (-e^x \cot x) \, dx = -e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (-e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx) - \int e^x \cot x \, dx + c$
$I = -e^x \cot x + c$.

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $y = (a + bx + cx^2)e^x$
इसे $y e^{-x} = a + bx + cx^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:
प्रथम अवकलज: $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = b + 2cx$
$\Rightarrow y' e^{-x} - y e^{-x} = b + 2cx$
द्वितीय अवकलज: $\frac{d}{dx}(y' e^{-x} - y e^{-x}) = 2c$
$\Rightarrow y'' e^{-x} - y' e^{-x} - (y' e^{-x} - y e^{-x}) = 2c$
$\Rightarrow y'' e^{-x} - 2y' e^{-x} + y e^{-x} = 2c$
तृतीय अवकलज: $\frac{d}{dx}(y'' e^{-x} - 2y' e^{-x} + y e^{-x}) = 0$
$\Rightarrow y''' e^{-x} - y'' e^{-x} - 2(y'' e^{-x} - y' e^{-x}) + (y' e^{-x} - y e^{-x}) = 0$
$\Rightarrow y''' - y'' - 2y'' + 2y' + y' - y = 0$
$\Rightarrow y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sin(x+y) \tan(x+y) - 1$
माना $x+y = z$। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 1$।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dz}{dx} - 1 = \sin z \tan z - 1$
$\frac{dz}{dx} = \sin z \tan z = \sin z \cdot \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{\sin^2 z}{\cos z}$
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{\cos z}{\sin^2 z} dz = \int dx$
माना $\sin z = t$,तब $\cos z dz = dt$। समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{t^2} dt = x + c$
$- \frac{1}{t} = x + c$
चूंकि $t = \sin z$,इसलिए $-\operatorname{cosec} z = x + c$,जिसे सरल करने पर $x + \operatorname{cosec}(x+y) = C$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि यदि कोई रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,तो उसके दिक्-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होते हैं और वे सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं।
दी गई व्यंजक: $E = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$E = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) + (\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
पदों को सरल करने पर:
$E = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
यहाँ $-\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha$,$-\sin^2 \beta + \sin^2 \beta$,और $-\sin^2 \gamma + \sin^2 \gamma$ कट जाएंगे।
अतः,$E = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$.
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $1$ है।

(C) दिया गया है: $P(E_1) = \frac{1}{4}$,$P(E_2 / E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_1 / E_2) = \frac{1}{4}$।
चरण $1$: $P(E_1 \cap E_2)$ ज्ञात करें।
$P(E_2 / E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{1/4} \Rightarrow P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$।
चरण $2$: $P(E_2)$ ज्ञात करें।
$P(E_1 / E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(E_2)} \Rightarrow P(E_2) = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$। ($iv$ से मेल खाता है)
चरण $3$: $P(E_1 \cup E_2)$ ज्ञात करें।
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$। ($ii$ से मेल खाता है)
चरण $4$: $P(\bar{E}_1 / \bar{E}_2)$ ज्ञात करें।
$P(\bar{E}_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{1 - P(E_1 \cup E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1 - 5/8}{1 - 1/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$। ($vi$ से मेल खाता है)
चरण $5$: $P(E_1 / \bar{E}_2)$ ज्ञात करें।
$P(E_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$। ($i$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $(A)$-$iv$,$(B)$-$ii$,$(C)$-$vi$,$(D)$-$i$ है।

(A) यहाँ $X$ एक द्विपद चर है जिसका परास $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $n = 6$ है।
द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$P(X=2) = 4 P(X=4)$ है।
मान रखने पर:
${ }^6 C_2 p^2 q^4 = 4 \cdot { }^6 C_4 p^4 q^2$
चूँकि ${ }^6 C_2 = 15$ और ${ }^6 C_4 = 15$,इसलिए:
$15 p^2 q^4 = 4 \cdot 15 p^4 q^2$
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$q^2 = 4 p^2$
$(1-p)^2 = 4 p^2$
$1 - 2p + p^2 = 4 p^2$
$3p^2 + 2p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर:
$(3p - 1)(p + 1) = 0$
इससे $p = \frac{1}{3}$ या $p = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि प्रायिकता $p$ अंतराल $[0, 1]$ में होनी चाहिए,इसलिए हम $p = -1$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$p = \frac{1}{3}$।

(C) एल्युमिनियम जलीय $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके सोडियम टेट्राहाइड्रॉक्सोएल्युमिनेट$(III)$ बनाता है।
अभिक्रिया: $2Al(s) + 2NaOH(aq) + 6H_2O(l) \longrightarrow 2Na[Al(OH)_4](aq) + 3H_2(g)$।
जलीय विलयन में,यह प्रजाति अष्टफलकीय संकुल $[Al(H_2O)_2(OH)_4]^-$ के रूप में मौजूद होती है,जिसमें $Al$ की समन्वय संख्या $6$ है।

(D) सिलिकॉन टेट्राक्लोराइड $(SiCl_4)$ का जल-अपघटन इस प्रकार होता है:
$SiCl_4 + 4H_2O \longrightarrow H_4SiO_4 + 4HCl$
यहाँ,'$X$' सिलिसिक अम्ल $(H_4SiO_4)$ है।
$1000^{\circ} C$ पर गर्म करने पर,सिलिसिक अम्ल का निर्जलीकरण होता है:
$H_4SiO_4 \xrightarrow{\Delta, 1000^{\circ} C} SiO_2 + 2H_2O$
यहाँ,'$Y$' सिलिकॉन डाइऑक्साइड $(SiO_2)$ है।
अतः,'$X$' $H_4SiO_4$ है और '$Y$' $SiO_2$ है।

(C) कथन $(A)$ सत्य है: क्षार धातुएं $K$,$Rb$ और $Cs$ अधिक ऑक्सीजन के साथ अभिक्रिया करके $MO_2$ प्रकार के सुपरऑक्साइड बनाती हैं।
कारण $(R)$ असत्य है: सुपरऑक्साइड की स्थिरता $K$ से $Cs$ तक बढ़ती है क्योंकि क्षार धातु धनायन का बड़ा आकार जालक ऊर्जा में कमी के माध्यम से बड़े सुपरऑक्साइड आयन $(O_2^-)$ को स्थिर करता है,लेकिन दिया गया कारण वैज्ञानिक रूप से गलत तरीके से प्रस्तुत किया गया है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(C) $Cd$ का द्रव्यमान $= 0.9 \ g$।
$Cl_2$ का द्रव्यमान $= 1.5 \ g - 0.9 \ g = 0.6 \ g$।
$Cl$ का परमाणु भार $= 35.5 \ g/mol$।
$CdCl_2$ में $Cl_2$ का द्रव्यमान $= 2 \times 35.5 = 71 \ g/mol$।
रासायनिक तुल्यता के नियम के अनुसार:
$\frac{Cd \text{ का द्रव्यमान}}{Cd \text{ का परमाणु भार}} = \frac{Cl_2 \text{ का द्रव्यमान}}{Cl_2 \text{ का तुल्यांकी भार}}$।
$\frac{0.9}{x} = \frac{0.6}{71}$।
$x = \frac{0.9 \times 71}{0.6} = 1.5 \times 71 = 106.5 \ g/mol$।

(B) चरण $1$: $A$ का मूलानुपाती सूत्र निर्धारित करें।
$C = 85.71 \% = \frac{85.71}{12} = 7.14$; $\frac{7.14}{7.14} = 1$
$H = 14.29 \% = \frac{14.29}{1} = 14.29$; $\frac{14.29}{7.14} = 2$
मूलानुपाती सूत्र $= CH_2$.
चरण $2$: $A$ का आणविक सूत्र निर्धारित करें।
आणविक द्रव्यमान $= 2 \times \text{वाष्प घनत्व} = 2 \times 14 = 28$.
$n = \frac{28}{14} = 2$.
आणविक सूत्र $= (CH_2)_2 = C_2H_4$ (एथीन)।
चरण $3$: अभिक्रिया अनुक्रम।
$A$ है $CH_2=CH_2$।
$CH_2=CH_2 + Cl_2/H_2O \rightarrow HO-CH_2-CH_2-Cl$ ($B$,एथिलीन क्लोरोहाइड्रिन)।
$HO-CH_2-CH_2-Cl + KCN \rightarrow HO-CH_2-CH_2-CN$ (नाभिकरागी प्रतिस्थापन)।
$HO-CH_2-CH_2-CN + H_3O^+ \rightarrow HO-CH_2-CH_2-COOH$ ($C$,$3$-हाइड्रॉक्सीप्रोपेनोइक अम्ल)।

(A) परहाइड्रोल एक $30\% \ w/v$ $H_2O_2$ विलयन है,जो $100$ आयतन $H_2O_2$ के बराबर होता है।
इसका अर्थ है कि $1 \ mL$ परहाइड्रोल $STP$ पर $100 \ mL$ $O_2$ उत्पन्न करता है।
परिवर्तन के लिए अभिक्रिया है: $2SO_2 + O_2 \rightarrow 2SO_3$।
स्टोइकोमेट्री के अनुसार,$2 \ L$ $SO_2$ को पूर्ण परिवर्तन के लिए $1 \ L$ $O_2$ की आवश्यकता होती है।
आवश्यक $O_2$ का आयतन = $1 \ L = 1000 \ mL$।
अतः,आवश्यक परहाइड्रोल का आयतन = $\frac{1000 \ mL}{100} = 10 \ mL$।

(B) आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k T$ है।
यहाँ,$k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है $(k = \frac{R}{N_A})$,$T$ केल्विन में तापमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
दिया गया है: $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर:
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \left( \frac{8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \right) \times 300 \ K$.
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1} \times 300 \ K$.
$KE_{avg} \approx 6.21 \times 10^{-21} \ J \ \text{molecule}^{-1}$.

(A) $1 \ mol$ इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $6.023 \times 10^4 \ J$ है।
चूंकि $1 \ mol = 6.023 \times 10^{23} \ \text{परमाणु}$,इसलिए $1 \ \text{इलेक्ट्रॉन}$ की $KE$:
$KE = \frac{6.023 \times 10^4 \ J}{6.023 \times 10^{23}} = 1.0 \times 10^{-19} \ J$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 3.313 \times 10^{-19} \ J$.
थ्रेशोल्ड ऊर्जा $(Phi)$ आपतित फोटॉन ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Phi = E - KE = 3.313 \times 10^{-19} \ J - 1.0 \times 10^{-19} \ J = 2.313 \times 10^{-19} \ J$.

(A) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{m^2v^2}$.
गतिज ऊर्जा $(KE = \frac{1}{2}mv^2)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$mv^2 = \frac{h^2}{m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$KE = \frac{1}{2} \times \frac{h^2}{m\lambda^2}$.
इसका अर्थ है कि $KE \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$ होगा।
अतः,अनुपात $25: 9$ है।

(C) सिलिंडर $A$ के लिए (समदाबी प्रक्रिया): दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T_A$ है। दिया गया है $\Delta T_A = 42 ~K$ और एकपरमाण्विक गैस के लिए $C_P = \frac{5}{2} R$ है। अतः,$Q = n \left(\frac{5}{2} R\right) (42) = 105 nR$ है।
सिलिंडर $B$ के लिए (समआयतनिक प्रक्रिया): दी गई ऊष्मा $Q = n C_V \Delta T_B$ है। एकपरमाण्विक गैस के लिए $C_V = \frac{3}{2} R$ है।
चूंकि दी गई ऊष्मा समान है,इसलिए $n \left(\frac{3}{2} R\right) \Delta T_B = 105 nR$ होगा।
$\frac{3}{2} \Delta T_B = 105 \implies \Delta T_B = 105 \times \frac{2}{3} = 70 ~K$।

(B) लक्ष्य अभिक्रिया $Na_2O_{(s)} + SO_{3(g)} \longrightarrow Na_2SO_{4(s)}$ प्राप्त करने के लिए,हम दिए गए समीकरणों को इस प्रकार संयोजित करते हैं:
$2 \times (A) + \frac{1}{2} \times (C) - (B) = 2(-146) + \frac{1}{2}(259) - 418 = -292 + 129.5 - 418 = -580.5 \ kJ \approx -581 \ kJ$.

(C) दिया गया है: $\Delta H_f(H) = 218 \ kJ/mol$
$H$ परमाणु के एक मोल के निर्माण के लिए अभिक्रिया है: $\frac{1}{2} H_2 \rightarrow H ; \Delta H = 218 \ kJ/mol$
$H-H$ की बंध वियोजन ऊर्जा उस अभिक्रिया के लिए आवश्यक ऊर्जा है: $H_2 \rightarrow 2H$
अतः,$\Delta H_{bond} = 2 \times 218 \ kJ/mol = 436 \ kJ/mol$
$kJ/mol$ को $kcal/mol$ में बदलने के लिए,हम $1 \ kcal = 4.18 \ kJ$ रूपांतरण कारक का उपयोग करते हैं
$\Delta H_{bond} = \frac{436}{4.18} \ kcal/mol \approx 104.3 \ kcal/mol$
इस प्रकार,$H-H$ बंध ऊर्जा लगभग $104 \ kcal/mol$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिटों के बीच की दूरी है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य का $10^{\text{वाँ}}$ उच्चिष्ठ $y_1$ दूरी पर है:
$y_1 = \frac{10 \lambda_1 D}{d}$
द्वितीय स्थिति के लिए,$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य का $5^{\text{वाँ}}$ उच्चिष्ठ $y_2$ दूरी पर है:
$y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$
अब,अनुपात $\left(\frac{y_1}{y_2}\right)$ की गणना करने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{10 \lambda_1 D}{d}}{\frac{5 \lambda_2 D}{d}}$
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{10 \lambda_1}{5 \lambda_2} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$

(A) माना केंद्रीय दीप्त फ्रिंज पर तीव्रता $I_1 = I_{max} = 4I_0$ है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है कि $y = \frac{\beta}{4} = \frac{\lambda D}{4d}$,अतः $P_2$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{(\lambda D / 4d)d}{D} = \frac{\lambda}{4}$ है।
संगत कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi / 2)$ द्वारा दी जाती है।
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,$I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_{max} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2$।