एक चुनाव में $5$ उम्मीदवार और $3$ रिक्तियां हैं। एक मतदाता अधिकतम $3$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है,तो वह कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

कथन-$1$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में $^9C_3$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।
कथन-$2$: $9$ स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को $^9C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

$5$ सेब,$4$ आम,$3$ संतरे और $2$ अन्य प्रकार के फलों में से प्रत्येक का $1$ फल है। प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक फल चुनने के तरीकों की संख्या है

$\binom{15}{8} + \binom{15}{9} - \binom{15}{6} - \binom{15}{7} = \dots$

समुच्चय $S = \{(r, k) : k \in Z \text{ और } ^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{(k^2-3)}\}$ में अवयवों की संख्या है:

$5$ लड़कियों और $7$ लड़कों की एक कक्षा पर विचार करें। यदि दो विशिष्ट लड़के $A$ और $B$ एक ही टीम में रहने से इनकार करते हैं,तो इस कक्षा से $2$ लड़कियों और $3$ लड़कों की कितनी अलग-अलग टीमें बनाई जा सकती हैं?