माना $f$ एक धनात्मक फलन है तथा

${I_1} = \int_{1 - k}^k {x\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$, ${I_2} = \int_{1 - k}^k {\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$

जहाँ $2k - 1 > 0$, तब ${I_1}/{I_2}$ का मान होगा

माना एक फलन $f [0,1]$ मे ऋणोत्तर तथा $(0,1)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $\int_{0}^{ x } \sqrt{1-\left( f ^{\prime}( t )\right)^{2}} dt =\int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$, $0 \leq x \leq 1$ तथा $f (0)=0$, है, तो $\lim \limits_{ x \rightarrow 0} \frac{1}{ x ^{2}} \int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$

माना $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$ के लिए $\mathrm{S}_0(\mathrm{x})=\mathrm{x}$,

$\mathrm{S}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}+\mathrm{k} \int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$, हैं, जहाँ

$\mathrm{C}_0=1, \mathrm{C}_{\mathrm{k}}=1-\int_0^{\mathrm{l}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}, \mathrm{k}=1,2,3 \ldots$ हैं। 

तो $\mathrm{S}_2(3)+6 \mathrm{C}_3$ बराबर है

$\ln x e$ आधार के सापेक्ष $x$ के लघुगणक को इंगित करता है। मान लीजिए $S \subset R$ उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय है, जहाँ फलन $\ln \left(x^2-1\right)$ पूर्णतः परिभाषित है । तब फलनों $f: S \rightarrow R$ की संख्या, जो अवकलनीय हैं एवं $f^{\prime}(x)=\ln \left(x^2-1\right)$ को सभी $x \in S$ तथा $f(2)=0$ को संतुष्ट करते है :

${F_1}(x) = \int_2^x {(2t - 5)\,dt} $ तथा  ${F_2}(x) = \int_0^x {2t\,dt,} $ का प्रतिच्छेद  बिंदु है

$\sum\limits_{k = 1}^n {\int_0^1 {f(k - 1 + x)\,dx} }  = . . . ..$