समीकरण $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}0&x&{16}\\x&5&7\\0&9&x\end{array}\,} \right| = 0$ के मूल हैं

माना $[\lambda]$ महत्तम पूर्णांक $\leq \lambda$ हैं। $\lambda$ के सभी मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =4$, $3 x +2 y +5 z =3,9 x +4 y +(28+[\lambda]) z =[\lambda]$ का हल है, का समुच्चय है

माना $\lambda$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =6$; $4 x +\lambda y -\lambda z =\lambda-2$; $3 x +2 y -4 z =-5$ के अनन्त हल हैं। तो $\lambda$ जिस द्विघात समीकरण का एक मूल है, वह है 

समीकरण  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&4&{20}\\1&{ - 2}&5\\1&{2x}&{5{x^2}}\end{array}\,} \right| = 0$ के मूल हैं

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a \ne p,b \ne q,c \ne r$ और $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}p&b&c\\{p + a}&{q + b}&{2c}\\a&b&r\end{array}\,} \right|$ =$0,$ तो $\frac{p}{{p - a}} + \frac{q}{{q - b}} + \frac{r}{{r - c}} = $