જેના નાભિઓ $(6, 4)$ અને $(-4, 4)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 2$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો અતિવલય $5x^2 - 9y^2 - 20x - 18y - 34 = 0$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ જે ધન $X$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે તે $x + by + c = 0$ હોય,તો $b^2 + c^2 =$

અતિવલય $9x^2 - 16y^2 - 18x - 32y - 151 = 0$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?

ધારો કે $a$ અને $b$ એવા ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $a > 1$ અને $b < a$ થાય. ધારો કે $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું બિંદુ છે જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે. ધારો કે $\Delta$ એ $P$ આગળના સ્પર્શક,$P$ આગળના અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જો $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા દર્શાવે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

$y = 2x$ ને સમાંતર અતિવલય $3x^2 - 2y^2 + 4x - 6y = 0$ ની જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

વક્ર $3x^2 - y^2 = 8$ ના અભિલંબનું સમીકરણ,જે રેખા $x + 3y = 10$ ને સમાંતર હોય,તે શોધો.