અતિવલય $9x^2 - 16y^2 - 18x - 32y - 151 = 0$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?

એક અતિવલયમાં,જો અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ કરતા બમણી હોય,તો તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર ..... એકમ છે.

ધારો કે $X$-અક્ષ એ અતિવલય $H$ ની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) છે અને $Y$-અક્ષ એ તેની અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) છે. જો $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત હોય,અને જો $(5, 4)$ એ $H$ પરનું બિંદુ હોય,તો $H$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ હોય અને $a^2-b^2=45$ હોય,તો $ab=$

$x^{2} - y^{2} - 4x + 4y + 16 = 0$ દ્વારા દર્શાવતા શાંકવની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

બે અતિવલયો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોનું સમીકરણ શું છે?