निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए

$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)=-\sqrt{2} \sin x$

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It is known that $\cos A-\cos B=-2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

$\therefore$ $L.H.S.$ $=\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)$

$=-2 \sin \left\{\frac{\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)+\left(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\right)}{2}\right\} \cdot \sin \left\{\frac{\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)}{2}\right\}$

$=-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \sin x$

$=-2 \sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \sin x$

$=-2 \sin \frac{\pi}{4} \sin x$

$=-2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sin x$

$=-\sqrt{2} \sin x$

$= R . H.S.$

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$\left(1+\tan 1^{\circ}\right)\left(1+\tan 2^{\circ}\right)\left(1+\tan 3^{\circ}\right) \ldots . .\left(1+\tan 45^{\circ}\right)$ का गुणनफल (product) इसके समान है:

  • [KVPY 2010]

यदि $(1 + \sin A)(1 + \sin B)(1 + \sin C)$

$ = (1 - \sin A)(1 - \sin B)(1 - \sin C),$ तब प्रत्येक पक्ष बराबर है

यदि $a\,{\cos ^3}\alpha + 3a\,\cos \alpha \,{\sin ^2}\alpha = m$ तथा  $a\,{\sin ^3}\alpha + 3a\,{\cos ^2}\alpha \sin \alpha = n,$ हो, तब ${(m + n)^{2/3}} + {(m - n)^{2/3}}$ बराबर है 

सिद्ध कीजिएः

$2 \sin ^{2} \frac{3 \pi}{4}+2 \cos ^{2} \frac{\pi}{4}+2 \sec ^{2} \frac{\pi}{3}=10$

यदि $A = 130^\circ $ तथा $x = \sin A + \cos A,$ तब