यदि $a$ और $d$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,तो निम्नलिखित श्रेणी के $(n + 1)$ पदों का योग $a{C_0} - (a + d){C_1} + (a + 2d){C_2} - \dots$ क्या होगा?

मान लीजिए $S_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,और $S_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
कथन $(A) : S_3 = 55 \times 2^9$
कारण $(R) : S_1 = 90 \times 2^8$ और $S_2 = 10 \times 2^8$

यदि $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ और $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$ है। यदि $5 \alpha = 6 \beta$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $(1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ..... + a_{50}x^{50}$ है,तो $a_0 + a_2 + a_4 + ..... + a_{50}$ है :

योगफल ज्ञात कीजिए: $\left( \binom{21}{1} - \binom{10}{1} \right) + \left( \binom{21}{2} - \binom{10}{2} \right) + \left( \binom{21}{3} - \binom{10}{3} \right) + \dots + \left( \binom{21}{10} - \binom{10}{10} \right) = $