यदि $a$ और $d$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,तो निम्नलिखित श्रेणी के $(n + 1)$ पदों का योग $a{C_0} - (a + d){C_1} + (a + 2d){C_2} - \dots$ क्या होगा?

निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^4, x^5$ और $x^6$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,तो $n$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ है,तो $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$ का मान क्या होगा?

$r=0, 1, \ldots, 10$ के लिए,मान लीजिए कि $A_{r}, B_{r}$ और $C_{r}$ क्रमशः $(1+x)^{10}$,$(1+x)^{20}$ और $(1+x)^{30}$ के विस्तार में $x^{r}$ के गुणांकों को दर्शाते हैं। तो $\sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ...... + C_{15}x^{15}$ है,तो $C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = $