निम्नलिखित श्रेणी frac{C_0}{2} - frac{C_1}{3} | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $(1 - x)^n = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + (-1)^n C_n x^n$। दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$

Vedclass · Answer

(D) हम जानते हैं कि $(1 - x)^n = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + (-1)^n C_n x^n$। दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^1 x(1 - x)^n dx = \int_0^1 (C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots) dx$। $RHS$ का मान: $\left[ \frac{C_0x^2}{2} - \frac{C_1x^3}{3} + \frac{C_2x^4}{4} - \dots \right]_0^1 = \frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \dots$। $LHS$ में $1 - x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -dt$: $\int_1^0 (1 - t)t^n (-dt) = \int_0^1 (t^n - t^{n+1}) dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$। अतः,योग $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ है।

निम्नलिखित श्रेणी $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ के $(n + 1)$ पदों का योग क्या है?

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मान लीजिए $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . + C_mx^m$,जहाँ $C_r = {}^mC_r$ और $A = C_1C_3 + C_2C_4 + C_3C_5 + . . . + C_{m-2}C_m$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

यदि $3 \leq r \leq 30$ के लिए,$\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r} = \binom{m}{r}$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(1+x)^{15}$ के विस्तार में अंतिम आठ क्रमागत गुणांकों का योग क्या है?

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $

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