यदि (1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = (1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ..... + a_{50}x^{50}$ है।$x = 1$ रखने पर,$f(1) = (1 + 1 + 1)^{25} = 3^{25} = a_0 + a_1 + a

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सम (even)

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = (1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ..... + a_{50}x^{50}$ है।$x = 1$ रखने पर,$f(1) = (1 + 1 + 1)^{25} = 3^{25} = a_0 + a_1 + a_2 + ..... + a_{50}$ प्राप्त होता है।$x = -1$ रखने पर,$f(-1) = (1 - 1 + 1)^{25} = 1^{25} = 1 = a_0 - a_1 + a_2 - ..... + a_{50}$ प्राप्त होता है।दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$f(1) + f(-1) = 3^{25} + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + ..... + a_{50})$ प्राप्त होता है।अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + ..... + a_{50} = \frac{3^{25} + 1}{2}$ है।चूंकि $3^{25}$ विषम है,$3^{25} + 1$ सम है।$3^{25} + 1 = (1 + 2)^{25} + 1 = (1 + ^{25}C_1(2) + ^{25}C_2(2^2) + ..... + 2^{25}) + 1 = 2[1 + ^{25}C_1 + ^{25}C_2(2) + ..... + 2^{24}]$ है।$2$ से विभाजित करने पर,हमें $1 + ^{25}C_1 + ^{25}C_2(2) + ..... + 2^{24}$ प्राप्त होता है,जो स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।

यदि $(1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ..... + a_{50}x^{50}$ है,तो $a_0 + a_2 + a_4 + ..... + a_{50}$ है :

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