गैलीलियो ने अपनी पुस्तक "टू न्यू. साइंसेज़" में कहा है कि "उन उन्नयनों के लिए जिनके मान $45^{\circ}$ से बराबर मात्रा द्वारा अधिक या कम हैं, क्षेतिज परास बराबर होते हैं" । इस कथन को सिद्ध कीजिए ।
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Answer For a projectile launched with velocity
$v _{ o }$ at an angle $\theta_{ o },$ the range is given by
$R=\frac{v_{o}^{2} \sin 2 \theta_{0}}{g}$
Now, for angles, $\left(45^{\circ}+\alpha\right)$ and $\left(45^{\circ}-\alpha\right), 2 \theta_{0}$ is $\left(90^{\circ}+2 \alpha\right)$ and $\left(90^{\circ}-2 \alpha\right),$ respectively. The values of $\sin \left(90^{\circ}+2 \alpha\right)$ and $\sin \left(90^{\circ}-2 \alpha\right)$ are
the same, equal to that of $\cos 2 \alpha .$ Therefore, ranges are equal for elevations which exceed or fall short of $45^{\circ}$ by equal amounts $\alpha$
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एक पत्थर क्षैतिज से $30^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया गया है। प्रक्षेपण बिन्दु पर पत्थर की गतिज ऊर्जा तथा उड़ान के उच्चतम बिन्दु पर इसकी गतिज ऊर्जा का अनुपात होगा:
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नीचे दिए गए चित्र के अनुसार, किसी सर्कस में एक निष्पादक/प्रदर्शक एक सेब को $45 \,m$ की ऊंचाई पर स्थित एक छल्ले की ओर फेंकता है जिसे ऊपर स्थित किसी दूसरे प्रदर्शक ने पकड़ा हुआ है. फेकनेवाला प्रदर्शक छल्ले की ओर निशाना साधता है और $24 \,m / s$ की चाल से सेब को फेकता है. जिस क्षण फेंकने-वाले के हाथ से सेब निकलता है उसी क्षण दूसरा प्रदर्शक छल्ले को छोड़ देता है. छल्ला सीधे नीचे की ओर गिरता है. भूमी की सतह से ........... $m$ ऊंचाई पर सेब छल्ले से होकर गुजरेगा?
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एक m द्रव्यमान की गेंद को ऊध्र्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है तथा दूसरी $2m$ द्रव्यमान की गेंद को ऊध्र्वाधर से $\theta $ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। दोनों गेंदें हवा में समान समय के लिए रहती हैं, तो गेंदों द्वारा प्राप्त ऊँचाईयों का अनुपात है
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क्षैतिज से $42^{\circ}$ तथा $48^{\circ}$ पर समान प्रारम्भिक वेग से प्रक्षेपित दो प्रक्षेप्यों का परास तथा ऊँचाई क्रमशः $R _{1}, R _{2}$ तथा $H _{1}, H _{2}$ हैं। सत्य विकल्प चुनिये।
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एक गेंद जिसकी गतिज ऊर्जा E है, क्षैतिज से $45°$ पर फेंकी जाती है। इसकी उड़ान के दौरान उच्चतम बिन्दु पर गतिज ऊर्जा होगी
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