यदि mathop {lim }limits_{n to infty } n cos l | vedclass

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Question

(A) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } n \cos \left( \frac{\pi }{4n} ight) \sin \left( \frac{\pi }{4n} ight)$ है।सर्वसमिका

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$\frac{\pi }{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } n \cos \left( \frac{\pi }{4n} ight) \sin \left( \frac{\pi }{4n} ight)$ है।सर्वसमिका $\sin(2	heta) = 2 \sin 	heta \cos 	heta$ का उपयोग करने के लिए $2$ से गुणा और भाग करने पर:$L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{n}{2} \left( 2 \sin \left( \frac{\pi }{4n} ight) \cos \left( \frac{\pi }{4n} ight) ight)$$L = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } n \sin \left( \frac{\pi }{2n} ight)$माना $x = \frac{\pi }{2n}$. जब $n 	o \infty$,तब $x 	o 0$. और $n = \frac{\pi }{2x}$.$L = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0 } \left( \frac{\pi }{2x} ight) \sin(x)$$L = \frac{\pi }{4} \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0 } \frac{\sin x}{x}$चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0 } \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए $L = \frac{\pi }{4} 	imes 1 = \frac{\pi }{4}$.अतः,$k = \frac{\pi }{4}$.

यदि $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n \cos \left( \frac{\pi }{4n} \right) \sin \left( \frac{\pi }{4n} \right) = k$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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