જો $a \ne 6,b,c$ એ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{2b}&{2c}\\3&b&c\\4&a&b\end{array}\,} \right| = 0 $ નું સમાધાન કરે છે તો $abc = $

ધારો કે $a ,b ,c $ માટે $b + c \ne 0$ . જો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + 1}&{a - 1}\\{ - b}&{b + 1}&{b - 1}\\c&{c - 1}&{c + 1}\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1}&{b + 1}&{c - 1}\\{a - 1}&{b - 1}&{c + 1}\\{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}} \bullet a}&{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \bullet b}&{{{\left( { - 1} \right)}^n} \bullet c}\end{array}} \right| = 0$ તો $n$ મેળવો.

$\alpha, \beta \in R$ માટે, ધારો કે સુરેખ સમીકરણ સંહતિ  $x-y+z=5$ ; $2 x+2 y+\alpha z=8$ ; $3 x-y+4 z=\beta$ ને અસંખ્ય ઉકેલો છે. તો $\alpha$ અને $\beta$ એ $........$ ના બીજ છે.

જો $f(\theta ) =\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\cos {\mkern 1mu} \theta }&1\\
{ - \sin {\mkern 1mu} \theta }&1&{ - \cos {\mkern 1mu} \theta }\\
{ - 1}&{\sin {\mkern 1mu} \theta }&1
\end{array}} \right|$ અને $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $f(\theta )$ ની મહતમ અને ન્યૂનતમ કિમતો હોય તો $(A , B)$ મેળવો.

$\lambda $ ની . . . . કિમત માટે સમીકરણની સંહતિ $2x - y - z = 12,$ $x - 2y + z = - 4,$ $x + y + \lambda z = 4$ ને એકપણ ઉકેલ શકય નથી.

કિમત મેળવો  : $\left|\begin{array}{rrr}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$