Pipes and Cistern Questions in Hindi

(C) पाइप $A$ टंकी को $2$ घंटे में भरता है,इसलिए $1$ घंटे में यह टंकी का $\frac{1}{2}$ भाग भरता है।
पाइप $B$ टंकी को $6$ घंटे में भरता है,इसलिए $1$ घंटे में यह टंकी का $\frac{1}{6}$ भाग भरता है।
पाइप $A$ सुबह $10$ बजे खोला गया था। सुबह $11$ बजे तक,इसने $1$ घंटे काम किया और टंकी का $\frac{1}{2}$ भाग भर दिया।
टंकी का शेष भाग $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
सुबह $11$ बजे,दोनों पाइप $A$ और $B$ खुले हैं। उनकी संयुक्त दक्षता प्रति घंटा $= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ भाग प्रति घंटा।
शेष $\frac{1}{2}$ भाग को भरने में लगा समय $= \frac{\text{शेष भाग}}{\text{संयुक्त दक्षता}} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ घंटे।
$\frac{3}{4}$ घंटे $= \frac{3}{4} \times 60 = 45$ मिनट।
अतः,टंकी सुबह $11:45$ बजे भर जाएगी।

(A) मान लीजिए पाइप $A$ द्वारा लिया गया समय $x$ घंटे है। चूंकि पाइप $A$,पाइप $B$ का आधा समय लेता है,इसलिए पाइप $B$ द्वारा लिया गया समय $2x$ घंटे है।
पाइप $A$ और $B$ की संयुक्त दर $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x}$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह संयुक्त दर पाइप $C$ की दर से दोगुनी है (क्योंकि वे $C$ की तुलना में आधा समय लेते हैं)। इसलिए,पाइप $C$ की दर $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2x} = \frac{3}{4x}$ है।
तीनों पाइप एक साथ $6$ घंटे $40$ मिनट लेते हैं,जो $6 + \frac{40}{60} = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ घंटे है।
तीनों पाइपों की संयुक्त दर $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{3}{4x} = \frac{1}{20/3} = \frac{3}{20}$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{4+2+3}{4x} = \frac{3}{20} \Rightarrow \frac{9}{4x} = \frac{3}{20}$.
$12x = 180 \Rightarrow x = 15$ घंटे।

(D) माना टंकी की कुल क्षमता $1$ इकाई है।
नल $A$ द्वारा भरने की दर $= \frac{1}{4}$ इकाई प्रति घंटा।
नल $B$ द्वारा भरने की दर $= \frac{1}{6}$ इकाई प्रति घंटा।
नल $C$ द्वारा खाली करने की दर $= \frac{1}{3}$ इकाई प्रति घंटा।
जब तीनों नलों को एक साथ खोला जाता है,तो भरने की शुद्ध दर:
$= \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right)$ इकाई प्रति घंटा।
$= \left(\frac{3 + 2 - 4}{12}\right) = \frac{1}{12}$ इकाई प्रति घंटा।
अतः,टंकी को पूरी तरह भरने में लगा समय शुद्ध दर का व्युत्क्रम होगा:
$= \frac{1}{1/12} = 12$ $hours$.

(A) माना टंकी की कुल क्षमता $3, 4$ और $1$ का ल.स.प. है,जो $12$ इकाई है।
पाइप $A$ की दक्षता $= +4$ इकाई/घंटा।
पाइप $B$ की दक्षता $= +3$ इकाई/घंटा।
पाइप $C$ की दक्षता $= -12$ इकाई/घंटा।
पाइप $A$ को $3 \text{ pm}$ बजे खोला जाता है। $5 \text{ pm}$ तक,इसने $2$ घंटे काम किया है। किया गया कार्य $= 2 \times 4 = 8$ इकाई।
पाइप $B$ को $4 \text{ pm}$ बजे खोला जाता है। $5 \text{ pm}$ तक,इसने $1$ घंटा काम किया है। किया गया कार्य $= 1 \times 3 = 3$ इकाई।
$5 \text{ pm}$ तक किया गया कुल कार्य $= 8 + 3 = 11$ इकाई।
$5 \text{ pm}$ बजे,तीनों पाइप खुले हैं। शुद्ध दक्षता $= 4 + 3 - 12 = -5$ इकाई/घंटा।
इसका मतलब है कि टंकी $5$ इकाई/घंटा की दर से खाली हो रही है।
$11$ इकाई को खाली करने में लगा समय $= \frac{11}{5} \text{ घंटे} = 2 \text{ घंटे और } 12 \text{ मिनट}$।
अतः,टंकी $5 \text{ pm} + 2 \text{ घंटे } 12 \text{ मिनट} = 7:12 \text{ pm}$ बजे खाली हो जाएगी।

(D) माना कि तेज पाइप द्वारा टंकी को भरने में लिया गया समय $x$ मिनट है।
चूंकि दूसरा पाइप तीन गुना धीमा है,इसलिए उसे टंकी भरने में $3x$ मिनट लगेंगे।
तेज पाइप द्वारा $1$ मिनट में किया गया कार्य $\frac{1}{x}$ है और धीमे पाइप द्वारा $\frac{1}{3x}$ है।
चूंकि दोनों मिलकर टंकी को $36$ मिनट में भरते हैं,इसलिए उनकी संयुक्त कार्य दर $\frac{1}{36}$ है।
अतः,$\frac{1}{x} + \frac{1}{3x} = \frac{1}{36}$।
$3x$ से गुणा करने पर,हमें $3 + 1 = \frac{3x}{36}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4 = \frac{x}{12}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$x = 48$ मिनट।
धीमे पाइप द्वारा लिया गया समय $3x = 3 \times 48 = 144$ मिनट है।
$144$ मिनट का अर्थ है $2$ घंटे और $24$ मिनट।

(B) माना टंकी की क्षमता $C$ गैलन है।
पहला पाइप टंकी को $24$ मिनट में भरता है,इसलिए इसकी दर $\frac{C}{24}$ गैलन/मिनट है।
दूसरा पाइप टंकी को $40$ मिनट में भरता है,इसलिए इसकी दर $\frac{C}{40}$ गैलन/मिनट है।
तीसरा पाइप $30$ गैलन/मिनट की दर से टंकी को खाली करता है।
जब तीनों पाइप खुले होते हैं,तो भरने की कुल दर $\frac{C}{24} + \frac{C}{40} - 30$ गैलन/मिनट होती है।
चूंकि टंकी $1$ घंटे ($60$ मिनट) में भर जाती है,इसलिए हमारे पास है:
$60 \times (\frac{C}{24} + \frac{C}{40} - 30) = C$
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{5C + 3C}{120} - 30 = \frac{C}{60}$
$\frac{8C}{120} - 30 = \frac{C}{60}$
$\frac{C}{15} - 30 = \frac{C}{60}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर:
$4C - 1800 = C$
$3C = 1800$
$C = 600$
अतः,टंकी की क्षमता $600$ गैलन है।