Percentage Questions in Hindi

(B) $x \%$ का $y + y \%$ का $x = \left(\frac{x}{100} \times y\right) + \left(\frac{y}{100} \times x\right)$
$= \frac{xy}{100} + \frac{xy}{100}$
$= \frac{2xy}{100}$
$= 2 \%$ का $xy$

(C) प्रतिशत को दशमलव रूप में बदलने के लिए,प्रतिशत मान को $100$ से विभाजित किया जाता है।
$0.35 \% = \frac{0.35}{100} = 0.0035$.
अतः,किसी संख्या का $0.35 \%$ उस संख्या को $0.0035$ से गुणा करने के बराबर है।

(B) दिया गया है कि $x$ का $8 \% = y$ का $4 \%$ है।
इसे $\frac{8}{100} \times x = \frac{4}{100} \times y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर,हमें $8x = 4y$ प्राप्त होता है।
$8$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{4y}{8} = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $x$ का $20 \%$ ज्ञात करना है।
$x$ का $20 \% = \frac{20}{100} \times x$ है।
$x = \frac{y}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{20}{100} \times \frac{y}{2} = \frac{10}{100} \times y$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का $20 \% = y$ का $10 \%$ है।

(B) माना कि लुप्त संख्या $a$ है।
दिया गया समीकरण है: $\frac{x}{100} \times y + \frac{a}{100} \times x = \frac{x}{100} \times (x + y)$.
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर: $xy + ax = x(x + y)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $xy + ax = x^2 + xy$.
दोनों पक्षों से $xy$ घटाने पर: $ax = x^2$.
$x$ से भाग देने पर (मान लें कि $x \neq 0$): $a = x$.
अतः,लुप्त प्रतिशत $x \%$ है।

(C) दिया गया है कि $x = y$ का $125 \%。$
इसे $x = \frac{125}{100} y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $x = \frac{5}{4} y$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ के पदों में ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $\frac{4}{5}$ से गुणा करते हैं।
$y = \frac{4}{5} x$।
भिन्न को दशमलव में बदलने पर,$\frac{4}{5} = 0.8$ होता है।
अतः,$y = 0.8 x$।

(B) $25 \%$ का $25 \%$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिशत को भिन्न में बदलते हैं:
$25 \% = \frac{25}{100} = 0.25$
अब,दोनों मानों का गुणा करें:
$0.25 \times 0.25 = 0.0625$
वैकल्पिक रूप से,भिन्नों का उपयोग करके:
$\frac{25}{100} \times \frac{25}{100} = \frac{625}{10000} = 0.0625$

(C) $80$ से $60 \%$ कम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $80$ के $60 \%$ को $80$ में से घटाते हैं।
चरण $1$: $80$ का $60 \%$ निकालें।
$80$ का $60 \% = \frac{60}{100} \times 80 = 0.6 \times 80 = 48$.
चरण $2$: इस मान को $80$ में से घटाएं।
$80 - 48 = 32$.
वैकल्पिक रूप से,यदि कोई संख्या $80$ से $60 \%$ कम है,तो वह $80$ का $(100 \% - 60 \%) = 40 \%$ है।
$80$ का $40 \% = \frac{40}{100} \times 80 = 0.4 \times 80 = 32$.

(B) $₹ 850$ का $20 \%$ का $30 \%$ का $20 \%$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिशत को भिन्न में बदलेंगे:
$20 \% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
$30 \% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$20 \% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
अब,इन भिन्नों का दी गई राशि के साथ गुणा करें:
$= \frac{20}{100} \times \frac{30}{100} \times \frac{20}{100} \times 850$
$= \frac{1}{5} \times \frac{3}{10} \times \frac{1}{5} \times 850$
$= \frac{3}{250} \times 850$
$= \frac{3 \times 85}{25} = \frac{3 \times 17}{5} = \frac{51}{5} = 10.20$
अतः,परिणाम $₹ 10.20$ है।

(C) इन मानों की तुलना करने के लिए,हम उन सभी को दशमलव रूप में बदलते हैं:
$1$. $16 \frac{2}{3} \% = \frac{50}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$
$2$. $6 \frac{2}{3} \% = \frac{20}{3} \times \frac{1}{100} = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$
$3$. $0.3 = 0.3000$
दशमलव मानों की तुलना करने पर: $0.3000 > 0.1667 > 0.0667$ प्राप्त होता है।
अतः,$0.3$ सबसे बड़ा मान है।

(A) सबसे पहले,प्रत्येक प्रतिशत पद की गणना करें:
$40 \%$ का $20 \% = \frac{40}{100} \times \frac{20}{100} = \frac{800}{10000} = \frac{8}{100} = 8 \%$
$30 \%$ का $25 \% = \frac{30}{100} \times \frac{25}{100} = \frac{750}{10000} = \frac{7.5}{100} = 7.5 \%$
$50 \%$ का $28 \% = \frac{50}{100} \times \frac{28}{100} = \frac{1400}{10000} = \frac{14}{100} = 14 \%$
अब,इन मानों को जोड़ें:
$8 \% + 7.5 \% + 14 \% = 29.5 \%$
अतः,सही उत्तर $29.5 \%$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ का $90 \% = B$ का $30 \%$ है।
इसे $\frac{90}{100} \times A = \frac{30}{100} \times B$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $90A = 30B$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $B = \frac{90}{30} A = 3A$ है।
हमें यह भी दिया गया है कि $B = A$ का $x \%$,जिसका अर्थ है $B = \frac{x}{100} \times A$ है।
$B$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $3A = \frac{x}{100} \times A$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $A$ से विभाजित करने पर ($A \neq 0$ मानते हुए),हमें $3 = \frac{x}{100}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 3 \times 100 = 300$।

(C) हम जानते हैं कि $1$ मीट्रिक टन $= 1000$ $kg$ होता है।
साथ ही,$1$ क्विंटल $= 100$ $kg$ होता है।
इसलिए,$1$ क्विंटल $25$ $kg = 100$ $kg + 25$ $kg = 125$ $kg$ होगा।
प्रतिशत ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं: $\frac{125 \text{ kg}}{1000 \text{ kg}} \times 100 \%$.
$= \frac{125}{10} \% = 12.5 \%$.
$12.5 \%$ को $12 \frac{1}{2} \%$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया है कि $x$ का $12 \% = y$ का $6 \%$.
इसे $\frac{12}{100} x = \frac{6}{100} y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $12x = 6y$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $y = 2x$ या $x = 0.5y$.
हमें यह ज्ञात करना है कि $x$ का $18 \%$ $y$ के कितने प्रतिशत के बराबर है।
$x$ का $18 \% = \frac{18}{100} x$.
इस व्यंजक में $x = 0.5y$ रखने पर:
$\frac{18}{100} \times (0.5y) = \frac{9}{100} y$.
अतः,$x$ का $18 \%$ $y$ के $9 \%$ के बराबर है।

(B) माना कि तीसरी संख्या $100$ है।
चूँकि पहली संख्या तीसरी संख्या से $30 \%$ कम है,इसलिए पहली संख्या $= 100 - 30 = 70$ है।
चूँकि दूसरी संख्या तीसरी संख्या से $37 \%$ कम है,इसलिए दूसरी संख्या $= 100 - 37 = 63$ है।
हमें यह ज्ञात करना है कि दूसरी संख्या पहली संख्या से कितने प्रतिशत कम है।
पहली और दूसरी संख्या के बीच का अंतर $= 70 - 63 = 7$ है।
प्रतिशत कमी $= \left( \frac{\text{अंतर}}{\text{पहली संख्या}} \times 100 \right) \% = \left( \frac{7}{70} \times 100 \right) \% = 10 \%$.

(A) माना कि दूसरी संख्या $100$ है।
तब,पहली संख्या $100 + 20 = 120$ होगी।
दोनों संख्याओं के बीच का अंतर $120 - 100 = 20$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि दूसरी संख्या पहली संख्या से कितने प्रतिशत कम है,हम पहली संख्या के सापेक्ष प्रतिशत कमी की गणना करते हैं:
अभीष्ट प्रतिशत $= \left( \frac{\text{अंतर}}{\text{पहली संख्या}} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{20}{120} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{1}{6} \times 100 \right) \% = \frac{100}{6} \% = 16 \frac{2}{3} \%$.

(B) मान लीजिए $B$ की आय $100$ है।
चूंकि $A$ की आय $B$ की आय से $25 \%$ कम है,इसलिए $A$ की आय $= 100 - 25 = 75$ होगी।
अब,हमें यह ज्ञात करना है कि $B$ की आय $A$ की आय से कितने प्रतिशत अधिक है।
अंतर $= 100 - 75 = 25$ है।
अधिक प्रतिशत $= (\text{अंतर} / A\text{ की आय}) \times 100$।
अधिक प्रतिशत $= (25 / 75) \times 100 = (1 / 3) \times 100 = 33 \frac{1}{3} \%$।

(A) माना कि तीसरी संख्या $x$ है।
तब,पहली संख्या $= 0.07x$ और दूसरी संख्या $= 0.28x$ है।
हमें यह ज्ञात करना है कि पहली संख्या,दूसरी संख्या का कितना प्रतिशत है।
अभीष्ट प्रतिशत $= (\frac{\text{पहली संख्या}}{\text{दूसरी संख्या}}) \times 100 \%$.
$= (\frac{0.07x}{0.28x}) \times 100 \%$.
$= (\frac{7}{28}) \times 100 \%$.
$= \frac{1}{4} \times 100 \% = 25 \%$.

(A) माना कि तीसरी संख्या $100$ है।
चूंकि पहली संख्या तीसरी संख्या से $60 \%$ अधिक है,इसलिए पहली संख्या $= 100 + 60 = 160$ है।
चूंकि दूसरी संख्या तीसरी संख्या से $20 \%$ अधिक है,इसलिए दूसरी संख्या $= 100 + 20 = 120$ है।
हमें दूसरी संख्या को पहली संख्या के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना है।
अभीष्ट प्रतिशत $= \left( \frac{\text{दूसरी संख्या}}{\text{पहली संख्या}} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{120}{160} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{3}{4} \times 100 \right) \% = 75 \%$.

(A) माना कि तीसरी संख्या $100$ है।
चूँकि पहली संख्या तीसरी संख्या से $20 \%$ अधिक है,इसलिए पहली संख्या $= 100 + 20 = 120$ होगी।
चूँकि दूसरी संख्या तीसरी संख्या से $10 \%$ अधिक है,इसलिए दूसरी संख्या $= 100 + 10 = 110$ होगी।
हमें यह ज्ञात करना है कि पहली संख्या,दूसरी संख्या से कितने प्रतिशत अधिक है।
अंतर $= 120 - 110 = 10$.
अधिक प्रतिशत $= \left( \frac{\text{अंतर}}{\text{दूसरी संख्या}} \times 100 \right) \%$.
अधिक प्रतिशत $= \left( \frac{10}{110} \times 100 \right) \% = \frac{100}{11} \% = 9 \frac{1}{11} \%$.
अतः,पहली संख्या दूसरी संख्या से $9 \frac{1}{11} \%$ अधिक है.

(B) मान लीजिए कि खाना पकाने के तेल की प्रारंभिक कीमत $100$ इकाई है और प्रारंभिक खपत $100$ इकाई है।
प्रारंभिक व्यय = $100 \times 100 = 10000$ इकाई।
$15 \%$ वृद्धि के बाद नई कीमत = $115$ इकाई।
व्यय को $10000$ इकाई पर स्थिर रखने के लिए,मान लीजिए कि नई खपत $x$ है।
$115 \times x = 10000$
$x = \frac{10000}{115} = \frac{2000}{23} \approx 86.95$ इकाई।
खपत में कमी = $100 - 86.95 = 13.05$ इकाई।
प्रतिशत कमी के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{कमी} \% = \left( \frac{P}{100+P} \times 100 \right) \%$,जहाँ $P = 15$ है।
$\text{कमी} \% = \left( \frac{15}{115} \times 100 \right) \% = \left( \frac{3}{23} \times 100 \right) \% = \frac{300}{23} \% = 13 \frac{1}{23} \%$.

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक संख्या $100$ है।
चरण $1$: संख्या को $20 \%$ बढ़ाएं।
नया मान $= 100 + (100 \text{ का } 20 \%) = 100 + 20 = 120$.
चरण $2$: नए मान को $20 \%$ घटाएं।
अंतिम मान $= 120 - (120 \text{ का } 20 \%) = 120 - 24 = 96$.
चरण $3$: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना करें।
शुद्ध परिवर्तन $= \text{अंतिम मान} - \text{प्रारंभिक मान} = 96 - 100 = -4$.
प्रतिशत परिवर्तन $= \left( \frac{-4}{100} \right) \times 100 = -4 \%$.
ऋणात्मक चिह्न $4 \%$ की कमी को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक वेतन $100$ है।
$50 \%$ की कमी के बाद,नया वेतन $100 - (100 \text{ का } 50 \%) = 100 - 50 = 50$ हो जाता है।
अब,घटे हुए वेतन में $50 \%$ की वृद्धि की जाती है,इसलिए अंतिम वेतन $50 + (50 \text{ का } 50 \%) = 50 + 25 = 75$ हो जाता है।
कुल हानि $100 - 75 = 25$ है।
अतः,प्रतिशत हानि $\frac{25}{100} \times 100 = 25 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{शुद्ध परिवर्तन} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$,जहाँ $x = -50$ और $y = 50$.
$\text{शुद्ध परिवर्तन} = -50 + 50 + \frac{(-50 \times 50)}{100} = 0 - 25 = -25 \%$.
ऋणात्मक चिह्न $25 \%$ की हानि को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए कि शहर की प्रारंभिक जनसंख्या $100$ है।
पहले वर्ष के बाद,जनसंख्या में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए नई जनसंख्या $100 - 20 = 80$ है।
दूसरे वर्ष के बाद,शेष $80$ जनसंख्या में $25 \%$ की कमी होती है। कमी $\frac{25}{100} \times 80 = 20$ है।
अंतिम जनसंख्या $80 - 20 = 60$ है।
जनसंख्या में कुल कमी $100 - 60 = 40$ है।
अतः,प्रतिशत कमी $\frac{40}{100} \times 100 = 40 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Net } \% \text{ change} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$.
यहाँ,$x = -20$ और $y = -25$.
कुल परिवर्तन $= -20 - 25 + \frac{(-20) \times (-25)}{100} = -45 + 5 = -40 \%$.
ऋणात्मक चिह्न $40 \%$ की कमी को दर्शाता है।

(B) माना बिल की राशि $x$ है।
$35 \%$ की एक छूट का अर्थ है कि ग्राहक $x$ का $65 \%$ भुगतान करता है,अर्थात $0.65x$.
$20 \%$ और $20 \%$ की दो क्रमिक छूटें $D = \left(20 + 20 - \frac{20 \times 20}{100}\right) \% = (40 - 4) \% = 36 \%$ की एक एकल छूट के बराबर हैं।
इसका अर्थ है कि ग्राहक $x$ का $(100 - 36) \% = 64 \%$ भुगतान करता है,अर्थात $0.64x$.
दोनों छूटों की राशि के बीच का अंतर ₹ $22$ दिया गया है।
अतः,$x$ का $36 \% - x$ का $35 \% = 22$.
$x$ का $1 \% = 22$.
$x = 22 \times 100 = 2200$.
अतः,बिल की राशि ₹ $2200$ है।

(B) मान लीजिए वस्तु का मूल मूल्य $100$ है।
चूंकि दुकानदार मूल्य $25 \%$ अधिक अंकित करता है,इसलिए अंकित मूल्य $100 + 25 = 125$ हो जाता है।
वह अंकित मूल्य पर $12 \%$ की छूट देता है।
छूट की राशि $= 12 \% \text{ of } 125 = \frac{12}{100} \times 125 = 15$.
विक्रय मूल्य $= \text{अंकित मूल्य} - \text{छूट} = 125 - 15 = 110$.
चूंकि विक्रय मूल्य $(110)$ मूल मूल्य $(100)$ से अधिक है,इसलिए लाभ होता है।
लाभ प्रतिशत $= \frac{\text{विक्रय मूल्य} - \text{मूल मूल्य}}{\text{मूल मूल्य}} \times 100 = \frac{110 - 100}{100} \times 100 = 10 \%$.
वैकल्पिक रूप से,शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{शुद्ध परिवर्तन} = x + y + \frac{xy}{100}$,जहाँ $x = 25$ और $y = -12$.
शुद्ध परिवर्तन $= 25 - 12 + \frac{25 \times (-12)}{100} = 13 - 3 = 10 \%$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए यह $10 \%$ लाभ है।

(A) $x \%$ और $y \%$ की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य छूट $\left(x + y - \frac{xy}{100}\right) \%$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले दुकानदार के लिए,क्रमिक छूट $20 \%$ और $10 \%$ है।
समतुल्य छूट $= 20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} = 30 - 2 = 28 \%$.
छूट की राशि $= ₹ 1000$ का $28 \% = \frac{28}{100} \times 1000 = ₹ 280$.
दूसरे दुकानदार के लिए,क्रमिक छूट $15 \%$ और $15 \%$ है।
समतुल्य छूट $= 15 + 15 - \frac{15 \times 15}{100} = 30 - 2.25 = 27.75 \%$.
छूट की राशि $= ₹ 1000$ का $27.75 \% = \frac{27.75}{100} \times 1000 = ₹ 277.50$.
दोनों दुकानदारों द्वारा दी गई छूटों के बीच का अंतर $= ₹ 280 - ₹ 277.50 = ₹ 2.50$.

(B) माना प्रारंभिक कर $T$ है और प्रारंभिक खपत $C$ है। प्रारंभिक राजस्व $R_1 = T \times C$ है।
परिवर्तनों के बाद:
नया कर $T' = T - 10\% \text{ of } T = 0.9T$.
नई खपत $C' = C + 10\% \text{ of } C = 1.1C$.
नया राजस्व $R_2 = T' \times C' = (0.9T) \times (1.1C) = 0.99 \times (T \times C) = 0.99R_1$.
वैकल्पिक रूप से,शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए:
शुद्ध $\% \text{ परिवर्तन} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$,जहाँ $x = -10$ और $y = 10$ है।
शुद्ध $\% \text{ परिवर्तन} = \left(-10 + 10 + \frac{(-10)(10)}{100}\right) \% = (0 - 1) \% = -1 \%$.
अतः,राजस्व में $1 \%$ की कमी होती है।

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ ज्ञात करने का सूत्र $S = 4 \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
चूँकि $4$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है $(S \propto r^2)$।
जब किसी राशि में $x \%$ और फिर $y \%$ का परिवर्तन होता है,तो कुल प्रतिशत परिवर्तन $\left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$ के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ त्रिज्या में $10 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $x = 10$ और $y = 10$ रखने पर:
कुल प्रतिशत परिवर्तन $= \left(10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100}\right) \% = (20 + 1) \% = 21 \%$.

(B) हम जानते हैं कि,$\text{प्राप्तियां} = \text{कीमत} \times \text{बिक्री}$.
मान लीजिए प्रारंभिक कीमत $100$ है और प्रारंभिक बिक्री $100$ है। प्रारंभिक प्राप्तियां $= 100 \times 100 = 10000$.
नई कीमत $= 100 - 15 = 85$.
नई बिक्री $= 100 + 35 = 135$.
नई प्राप्तियां $= 85 \times 135 = 11475$.
प्राप्तियों में परिवर्तन $= 11475 - 10000 = 1475$.
प्रतिशत परिवर्तन $= \frac{1475}{10000} \times 100 = 14.75 \% = 14 \frac{3}{4} \%$.
वैकल्पिक रूप से,शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$.
यहाँ,$x = -15$ और $y = 35$.
शुद्ध परिवर्तन $= -15 + 35 + \frac{(-15 \times 35)}{100} = 20 - 5.25 = 14.75 \% = 14 \frac{3}{4} \%$ वृद्धि।

(B) माना वर्ग की मूल भुजा $s$ है।
मूल क्षेत्रफल $A_1 = s^2$ है।
यदि भुजा को $30 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नई भुजा $s' = s + 0.30s = 1.3s$ होगी।
नया क्षेत्रफल $A_2 = (1.3s)^2 = 1.69s^2$ होगा।
क्षेत्रफल में वृद्धि $= A_2 - A_1 = 1.69s^2 - s^2 = 0.69s^2$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $= \left( \frac{0.69s^2}{s^2} \right) \times 100 = 69 \%$.
वैकल्पिक रूप से,दो क्रमिक परिवर्तनों के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $x + y + \frac{xy}{100}$,जहाँ $x = 30$ और $y = 30$ है।
शुद्ध परिवर्तन $= 30 + 30 + \frac{30 \times 30}{100} = 60 + 9 = 69 \%.$

(B) माना वर्ग की भुजा $s$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $s^2$ है।
जब लंबाई में $30 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L = s(1 + 0.30) = 1.3s$ हो जाती है।
जब चौड़ाई में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई चौड़ाई $B = s(1 + 0.20) = 1.2s$ हो जाती है।
बने आयत का क्षेत्रफल $L \times B = (1.3s) \times (1.2s) = 1.56s^2$ है।
क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $1.56s^2 - s^2 = 0.56s^2$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{0.56s^2}{s^2} \times 100 = 56 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Net } \% = x + y + \frac{xy}{100} = 30 + 20 + \frac{30 \times 20}{100} = 50 + 6 = 56 \%$.

(A) माना आयत की मूल भुजाएँ $L$ और $W$ हैं। मूल क्षेत्रफल $A = L \times W$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई भुजाएँ $L' = L(1 + 0.10) = 1.1L$ और $W' = W(1 - 0.20) = 0.8W$ हैं।
नया क्षेत्रफल $A' = L' \times W' = (1.1L) \times (0.8W) = 0.88 \times (L \times W) = 0.88A$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $A' - A = 0.88A - A = -0.12A$ है।
त्रुटि प्रतिशत $\left( \frac{-0.12A}{A} \right) \times 100 = -12 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Net Change} = \left( x + y + \frac{xy}{100} \right) \%$.
यहाँ,$x = 10$ और $y = -20$ है। इन मानों को रखने पर: $\text{Net Change} = \left( 10 - 20 + \frac{10 \times (-20)}{100} \right) \% = (-10 - 2) \% = -12 \%$.
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है। अतः,त्रुटि $12 \%$ की कमी है।

(A) मान लीजिए कि मूल लंबाई $L$ है और मूल चौड़ाई $B$ है। मूल क्षेत्रफल $A = L \times B$ है।
वृद्धि के बाद,नई लंबाई $L' = L + 0.10L = 1.10L$ और नई चौड़ाई $B' = B + 0.20B = 1.20B$ हो जाती है।
नया क्षेत्रफल $A' = L' \times B' = (1.10L) \times (1.20B) = 1.32 \times (L \times B) = 1.32A$ होगा।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{A' - A}{A} \times 100 = \frac{1.32A - A}{A} \times 100 = 0.32 \times 100 = 32 \%$ है।
वैकल्पिक रूप से,दो क्रमिक परिवर्तनों $x$ और $y$ के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए:
शुद्ध $\%$ परिवर्तन $= (x + y + \frac{xy}{100}) \% = (10 + 20 + \frac{10 \times 20}{100}) \% = (30 + 2) \% = 32 \%$।

(A) हम जानते हैं कि: $\text{कर} \times \text{खपत} = \text{व्यय}$.
मान लीजिए प्रारंभिक कर $T$ है और प्रारंभिक खपत $C$ है। प्रारंभिक व्यय $= T \times C$.
नया कर $= T + 20\% \text{ of } T = 1.2T$.
नई खपत $= C - 20\% \text{ of } C = 0.8C$.
नया व्यय $= 1.2T \times 0.8C = 0.96(T \times C)$.
व्यय में परिवर्तन $= 0.96(T \times C) - (T \times C) = -0.04(T \times C)$.
प्रतिशत परिवर्तन $= -0.04 \times 100 = -4\%$.
वैकल्पिक रूप से,शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\left(x + y + \frac{xy}{100}\right) \%$.
यहाँ,$x = 20$ और $y = -20$.
शुद्ध परिवर्तन $= \left(20 - 20 + \frac{20 \times (-20)}{100}\right) \% = (0 - 4) \% = -4 \%$.
अतः,व्यय में $4 \%$ की कमी होती है।

(A) मान लीजिए कि मूल कीमत $P$ है और बेची गई इकाइयों की मूल संख्या $N$ है। मूल राजस्व $R_1 = P \times N$ है।
कीमत में $30 \%$ की कमी के बाद,नई कीमत $P' = P - 0.30P = 0.70P$ है।
बिक्री में $20 \%$ की वृद्धि के बाद,बेची गई इकाइयों की नई संख्या $N' = N + 0.20N = 1.20N$ है।
नया राजस्व $R_2 = P' \times N' = (0.70P) \times (1.20N) = 0.84 \times (P \times N) = 0.84R_1$ है।
राजस्व में प्रतिशत परिवर्तन को इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: $\text{Net } \% \text{ change} = (x + y + \frac{xy}{100}) \%$,जहाँ $x = -30$ और $y = +20$ है।
मान रखने पर: $(-30 + 20 + \frac{-30 \times 20}{100}) \% = (-10 - 6) \% = -16 \%$.
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है। अतः,राजस्व में $16 \%$ की कमी होती है।

(A) मान लीजिए कि $3$ वर्ष पहले जनसंख्या $P_0$ थी।
दिया गया है,वर्तमान जनसंख्या $P = 90.51$ लाख,दर $r = 10 \%$,और समय $n = 3$ वर्ष।
जनसंख्या वृद्धि का सूत्र $P = P_0 \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$ है।
मान रखने पर: $90.51 = P_0 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^3$.
$90.51 = P_0 \left(1.1\right)^3$.
$90.51 = P_0 \times 1.331$.
$P_0 = \frac{90.51}{1.331} = 68$.
अतः,$3$ वर्ष पहले जनसंख्या $68$ लाख थी।

(B) माना मशीन का क्रय मूल्य $X$ है।
यहाँ मूल्यह्रास की दर $r = 10 \%$ प्रति वर्ष और समय $n = 3$ वर्ष है।
वर्तमान मूल्य $P$ का सूत्र है: $P = X \times (1 - \frac{r}{100})^n$.
दिए गए मानों को रखने पर: $8748 = X \times (1 - \frac{10}{100})^3$.
$8748 = X \times (0.9)^3$.
$8748 = X \times 0.729$.
$X = \frac{8748}{0.729} = 12000$.
अतः,मशीन का क्रय मूल्य $₹ 12000$ था।

(D) मान लीजिए कि वर्ष $1997$ में आय $X$ थी।
यह दिया गया है कि आय में प्रति वर्ष $20 \%$ की वृद्धि होती है।
वर्ष $1999$ में आय $= X \times (1 + \frac{20}{100})^2$.
$42664000 = X \times (1.2)^2$.
$42664000 = X \times 1.44$.
$X = \frac{42664000}{1.44}$.
$X = 29627777.78$.
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक जनसंख्या $P = 32000$,वृद्धि दर $r = 15\%$,और समय $n = 2$ वर्ष।
जनसंख्या वृद्धि का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है।
मान रखने पर:
$A = 32000 \times (1 + \frac{15}{100})^2$
$A = 32000 \times (1.15)^2$
$A = 32000 \times 1.3225$
$A = 42320$.
अतः,$2$ वर्षों के बाद जनसंख्या $42320$ होगी।

(B) मशीन का प्रारंभिक मूल्य,$P = 6250$.
प्रथम वर्ष के लिए मूल्यह्रास की दर,$r_1 = 10 \%$.
द्वितीय वर्ष के लिए मूल्यह्रास की दर,$r_2 = 20 \%$.
तृतीय वर्ष के लिए मूल्यह्रास की दर,$r_3 = 30 \%$.
$3$ वर्षों के बाद मशीन का मूल्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$V = P \times (1 - \frac{r_1}{100}) \times (1 - \frac{r_2}{100}) \times (1 - \frac{r_3}{100})$
$V = 6250 \times (1 - \frac{10}{100}) \times (1 - \frac{20}{100}) \times (1 - \frac{30}{100})$
$V = 6250 \times (\frac{90}{100}) \times (\frac{80}{100}) \times (\frac{70}{100})$
$V = 6250 \times 0.9 \times 0.8 \times 0.7$
$V = 6250 \times 0.504$
$V = 3150$.
अतः,$3$ वर्षों के बाद मशीन का मूल्य $Rs$ $3150$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $2$ वर्ष पहले जनसंख्या $P$ थी।
दिया गया है कि जनसंख्या पहले वर्ष में $12 \%$ बढ़ती है और दूसरे वर्ष में $10 \%$ घटती है।
वर्तमान जनसंख्या $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होती है:
$A = P \times (1 + \frac{12}{100}) \times (1 - \frac{10}{100})$
दिए गए मानों को रखने पर:
$50400 = P \times (1.12) \times (0.90)$
$50400 = P \times (1.12 \times 0.90)$
$50400 = P \times 1.008$
$P = \frac{50400}{1.008}$
$P = 50000$
अतः,$2$ वर्ष पहले जनसंख्या $50000$ थी।

(C) मान लीजिए कि कुल पॉकेट मनी $₹ A$ है।
अपनी राशि का $20 \%$ खोने के बाद,शेष राशि $A \times (1 - 0.20) = 0.80A$ है।
इसके बाद वह इस शेष राशि का $25 \%$ खर्च करता है। खर्च करने के बाद बची हुई राशि $0.80A \times (1 - 0.25) = 0.80A \times 0.75$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतिम राशि $₹ 480$ है।
अतः,$0.80A \times 0.75 = 480$.
$0.60A = 480$.
$A = \frac{480}{0.60} = 800$.
इसलिए,कुल पॉकेट मनी $₹ 800$ थी।

(B) माना सेना की मूल संख्या $A$ है।
युद्ध में $10 \%$ खोने के बाद,शेष संख्या $A \times (1 - 0.10) = 0.9A$ है।
बीमारियों के कारण शेष में से $10 \%$ खोने के बाद,संख्या $0.9A \times (1 - 0.10) = 0.9A \times 0.9 = 0.81A$ हो जाती है।
बाकी बचे लोगों में से $10 \%$ के घायल होने के बाद,अंतिम सक्रिय संख्या $0.81A \times (1 - 0.10) = 0.81A \times 0.9 = 0.729A$ हो जाती है।
दिया गया है कि अंतिम संख्या $729000$ है,इसलिए:
$0.729A = 729000$
$A = \frac{729000}{0.729}$
$A = 1000000$
अतः,मूल संख्या $1000000$ सैनिक थी।

(A) मान लीजिए कि वृद्धि से पहले दैनिक मजदूरी $₹ A$ थी।
प्रश्न के अनुसार,मजदूरी में $25 \%$ की वृद्धि हुई है,इसलिए नई मजदूरी $A + 0.25A = 1.25A$ है।
यह दिया गया है कि नई मजदूरी $₹ 25$ है,इसलिए हमारे पास समीकरण है:
$1.25A = 25$
$A$ का मान ज्ञात करने पर:
$A = \frac{25}{1.25}$
$A = \frac{2500}{125}$
$A = 20$
अतः,वृद्धि से पहले दैनिक मजदूरी $₹ 20$ थी।

(B) माना परीक्षा के अधिकतम अंक $M$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक अंक $M$ का $15\%$ हैं।
छात्र ने $80$ अंक प्राप्त किए और वह $70$ अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया,जिसका अर्थ है कि उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक अंक $(80 + 70) = 150$ हैं।
इसलिए,हम समीकरण बना सकते हैं: $0.15 \times M = 150$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{150}{0.15} = \frac{15000}{15} = 1000$.
अतः,परीक्षा के लिए अधिकतम अंक $1000$ हैं।

(B) मान लीजिए $H$ इतिहास में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का समुच्चय है और $G$ भूगोल में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(H) = 30 \%$,$n(G) = 35 \%$,और $n(H \cap G) = 27 \%$.
कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत इस सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$n(H \cup G) = n(H) + n(G) - n(H \cap G)$
$n(H \cup G) = 30 \% + 35 \% - 27 \% = 38 \%$.
परीक्षा में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = $100 \% - n(H \cup G) = 100 \% - 38 \% = 62 \%$.
मान लीजिए परीक्षा में बैठने वाले कुल छात्रों की संख्या $x$ है।
दिया गया है कि $x$ का $62 \% = 248$.
$\frac{62}{100} \times x = 248$
$x = \frac{248 \times 100}{62} = 4 \times 100 = 400$.
अतः,परीक्षा में बैठने वाले छात्रों की कुल संख्या $400$ है।

(C) माना मासिक किराया $₹x$ है।
वार्षिक किराया $12x$ होगा।
प्रति वर्ष रखरखाव और मरम्मत = $12x$ का $12.5 \% = 0.125 \times 12x = 1.5x$.
वार्षिक कर = $₹325$.
शुद्ध वार्षिक आय = (कुल वार्षिक किराया) - (रखरखाव और मरम्मत) - (कर) = $12x - 1.5x - 325 = 10.5x - 325$.
निवेश पर वार्षिक लाभ = $₹100000$ का $5.5 \% = 0.055 \times 100000 = ₹5500$.
शुद्ध वार्षिक आय को वार्षिक लाभ के बराबर रखने पर:
$10.5x - 325 = 5500$
$10.5x = 5825$
$x = \frac{5825}{10.5} \approx ₹554.76$.
अतः,मासिक किराया लगभग $₹554.76$ है।

(B) कुल उम्मीदवार $= 2000$.
लड़कों की संख्या $= 900$.
लड़कियों की संख्या $= 2000 - 900 = 1100$.
उत्तीर्ण हुए लड़कों की संख्या $= 900$ का $32 \% = \frac{32}{100} \times 900 = 288$.
उत्तीर्ण हुई लड़कियों की संख्या $= 1100$ का $38 \% = \frac{38}{100} \times 1100 = 418$.
कुल उत्तीर्ण उम्मीदवार $= 288 + 418 = 706$.
कुल अनुत्तीर्ण उम्मीदवार $= 2000 - 706 = 1294$.
अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों का प्रतिशत $= \left( \frac{1294}{2000} \times 100 \right) \% = \frac{1294}{20} \% = 64.7 \%$.

(B) मान लीजिए उसका वेतन $₹ x$ है।
घर के किराए के लिए $10\%$ काटने के बाद,शेष राशि $x \times (1 - 0.10) = 0.90x$ है।
वह शेष राशि का $15\%$ शिक्षा पर खर्च करता है,इसलिए बची हुई राशि $0.90x \times (1 - 0.15) = 0.90x \times 0.85 = 0.765x$ है।
वह इस शेष राशि का $10\%$ कपड़ों पर खर्च करता है,इसलिए अंतिम शेष राशि $0.765x \times (1 - 0.10) = 0.765x \times 0.90 = 0.6885x$ है।
दिया गया है कि अंतिम शेष राशि $₹ 1377$ है,इसलिए:
$0.6885x = 1377$
$x = \frac{1377}{0.6885}$
$x = 2000$
अतः,उसका वेतन $₹ 2000$ है।

(A) मान लीजिए सोने की प्रारंभिक कीमत $100$ है और प्रारंभिक मात्रा $100$ इकाई है।
प्रारंभिक खर्च $= 100 \times 100 = 10000$.
सोने की नई कीमत $= 100 + 30 = 130$.
मान लीजिए नई मात्रा $x$ इकाई है।
चूंकि खर्च समान रहता है,$130 \times x = 10000$.
$x = \frac{10000}{130} = \frac{1000}{13} = 76 \frac{12}{13}$ इकाई।
मात्रा में कमी $= 100 - 76 \frac{12}{13} = 23 \frac{1}{13} \%$.
वैकल्पिक रूप से,सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{कमी} = \frac{\text{प्रतिशत वृद्धि}}{100 + \text{प्रतिशत वृद्धि}} \times 100 \%$.
$\text{कमी} = \frac{30}{100 + 30} \times 100 \% = \frac{30}{130} \times 100 \% = \frac{300}{13} \% = 23 \frac{1}{13} \%$.