श्रेणी S = frac{1}{1 times 3 times 5} + frac{ | vedclass

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Question

(B) इस श्रेणी में $20$ पद हैं,जिन्हें दो अलग-अलग श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में $10$ पद हैं।मान लीजिए $S = S_1 + S_2$,जह

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$\frac{6070}{14973}$

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(B) इस श्रेणी में $20$ पद हैं,जिन्हें दो अलग-अलग श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में $10$ पद हैं।मान लीजिए $S = S_1 + S_2$,जहाँ $S_1 = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$ और $S_2 = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$.$S_1$ के लिए,सामान्य पद $a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{4} [\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}]$ है।$S_1$ का $n=1$ से $10$ तक योग: $S_1 = \frac{1}{4} [(\frac{1}{1 	imes 3} - \frac{1}{3 	imes 5}) + (\frac{1}{3 	imes 5} - \frac{1}{5 	imes 7}) + \dots + (\frac{1}{19 	imes 21} - \frac{1}{21 	imes 23})] = \frac{1}{4} [\frac{1}{3} - \frac{1}{483}] = \frac{1}{4} [\frac{161-1}{483}] = \frac{160}{4 	imes 483} = \frac{40}{483}$.$S_2$ के लिए,सामान्य पद $b_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} [\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}]$ है।$S_2$ का $n=1$ से $10$ तक योग: $S_2 = \frac{1}{3} [(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{28} - \frac{1}{31})] = \frac{1}{3} [1 - \frac{1}{31}] = \frac{1}{3} [\frac{30}{31}] = \frac{10}{31}$.कुल योग $S = S_1 + S_2 = \frac{40}{483} + \frac{10}{31} = \frac{40 	imes 31 + 10 	imes 483}{483 	imes 31} = \frac{1240 + 4830}{14973} = \frac{6070}{14973}$.

श्रेणी $S = \frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{5 \times 7 \times 9} + \frac{1}{7 \times 10} + \dots$ के $20$ पदों तक का योग क्या है?

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$10, 100, 200, 310, ?$

$13, 25, 61, 121, 205, (?)$

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