Number Series Questions in Hindi

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$14 \times 1 - 2 = 12$
$12 \times 2 - 3 = 21$
$21 \times 3 - 4 = 59$
$59 \times 4 - 5 = 231$
$231 \times 5 - 6 = 1149$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$1149 \times 6 - 7 = 6894 - 7 = 6887$

(B) दी गई श्रृंखला $12$ से शुरू होने वाली सम संख्याओं के घन (cubes) हैं।
$12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728$
$14^3 = 14 \times 14 \times 14 = 2744$
$16^3 = 16 \times 16 \times 16 = 4096$
$18^3 = 18 \times 18 \times 18 = 5832$
$20^3 = 20 \times 20 \times 20 = 8000$
$22^3 = 22 \times 22 \times 22 = 10648$
इस तर्क के अनुसार,अगला पद $24^3$ होगा।
$24^3 = 24 \times 24 \times 24 = 13824$.

(C) श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है:
$120 \div 8 = 15$
$15 \times 7 = 105$
$105 \div 6 = 17.5$
$17.5 \times 5 = 87.5$
भाग और गुणा के वैकल्पिक पैटर्न और घटती हुई संख्याओं $(8, 7, 6, 5, 4)$ का पालन करते हुए:
अगली क्रिया $4$ से भाग देने की है।
$87.5 \div 4 = 21.875$

(D) यह श्रृंखला जोड़ों के एक पैटर्न का पालन करती है जहाँ प्रत्येक क्रमिक जोड़े में अंतर $4$ से बढ़ता है।
जोड़ा $1$: $3, 6$ (अंतर = $3$)
जोड़ा $2$: $21, 28$ (अंतर = $7$)
जोड़ा $3$: $55, 66$ (अंतर = $11$)
जोड़ा $4$: $x, 120$ (अंतर = $15$)
चूंकि अंतर $3, 7, 11, 15$ हैं ($4$ के सामान्य अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी),इसलिए अगला अंतर $15$ होना चाहिए।
अतः,$x = 120 - 15 = 105$।

(D) दी गई श्रृंखला इस प्रकार है: $529, 841, 961, 1369, 1681, 1849, \dots$
ये संख्याएँ $23$ से शुरू होने वाली क्रमिक अभाज्य संख्याओं के वर्ग हैं:
$23^2 = 529$
$29^2 = 841$
$31^2 = 961$
$37^2 = 1369$
$41^2 = 1681$
$43^2 = 1849$
$43$ के बाद अगली अभाज्य संख्या $47$ है।
अतः,अगला पद $47^2 = 2209$ होगा।

(C) यह श्रृंखला इस नियम का पालन करती है: $(n_i \times x + y \times x)$,जहाँ $x$,$7$ से शुरू होकर $1$ की कमी के साथ घटता है,और $y$,$2$ से शुरू होकर $1$ की वृद्धि के साथ बढ़ता है।
चरण $1$: $3 \times 7 + 2 \times 7 = 21 + 14 = 35$
चरण $2$: $35 \times 6 + 3 \times 6 = 210 + 18 = 228$ ($226$ के स्थान पर)
चरण $3$: $228 \times 5 + 4 \times 5 = 1140 + 20 = 1160$
चरण $4$: $1160 \times 4 + 5 \times 4 = 4640 + 20 = 4660$
चरण $5$: $4660 \times 3 + 6 \times 3 = 13980 + 18 = 13998$
अतः,श्रृंखला में गलत संख्या $226$ है।

(B) यह श्रृंखला निम्नलिखित नियम का पालन करती है: $n_{i} \times (8-i) - (8-i)$,जहाँ $i$ पहले चरण से शुरू होने वाला अनुक्रम है।
चरण $1$: $18 \times 7 - 7 = 126 - 7 = 119$
चरण $2$: $119 \times 6 - 6 = 714 - 6 = 708$
चरण $3$: $708 \times 5 - 5 = 3540 - 5 = 3535$
चरण $4$: $3535 \times 4 - 4 = 14140 - 4 = 14136$
चरण $5$: $14136 \times 3 - 3 = 42408 - 3 = 42405$
दी गई श्रृंखला के साथ गणना किए गए मानों की तुलना करने पर,$3534$ गलत संख्या है क्योंकि वहां $3535$ होना चाहिए।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न है: $(n \times \text{स्थान}) + (\text{स्थान} + 1)$।
$4 \times 1 + 2 = 6$
$6 \times 2 + 3 = 15$ (जो $18$ नहीं है)
$15 \times 3 + 4 = 49$
$49 \times 4 + 5 = 201$
$201 \times 5 + 6 = 1011$
चूंकि $18$ के स्थान पर $15$ होना चाहिए, इसलिए गलत संख्या $18$ है।

(A) यह श्रृंखला इस तर्क का पालन करती है: $(x_n \times k) + (y_n \times k)$,जहाँ प्रत्येक चरण में $k$ का मान $1$ कम हो जाता है।
$2 \times 6 + 7 \times 6 = 12 + 42 = 54$
$54 \times 5 + 6 \times 5 = 270 + 30 = 300$
$300 \times 4 + 5 \times 4 = 1200 + 20 = 1220$
$1220 \times 3 + 4 \times 3 = 3660 + 12 = 3672$
चूँकि $3672 \neq 3674$,इसलिए संख्या $3674$ गलत है।
अगले पद की जाँच करने पर: $3672 \times 2 + 3 \times 2 = 7344 + 6 = 7350$,जो श्रृंखला से मेल खाता है।

(D) माना कि दी गई श्रृंखला $0, 5, 18, 43, 84, 145, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$5 - 0 = 5$
$18 - 5 = 13$
$43 - 18 = 25$
$84 - 43 = 41$
$145 - 84 = 61$
अंतर $5, 13, 25, 41, 61$ हैं।
अब,दूसरे क्रम का अंतर ज्ञात करें:
$13 - 5 = 8$
$25 - 13 = 12$
$41 - 25 = 16$
$61 - 41 = 20$
दूसरे क्रम के अंतर $8, 12, 16, 20$ हैं,जो $4$ के सामान्य अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अगला दूसरे क्रम का अंतर $20 + 4 = 24$ होगा।
इसलिए,अगला प्रथम क्रम का अंतर $61 + 24 = 85$ होगा।
श्रृंखला का अगला पद $145 + 85 = 230$ है।

(D) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$10 \times 1 + (1 \times 7) = 10 + 7 = 17$
$17 \times 2 + (2 \times 7) = 34 + 14 = 48$
$48 \times 3 + (3 \times 7) = 144 + 21 = 165$
$165 \times 4 + (4 \times 7) = 660 + 28 = 688$
$688 \times 5 + (5 \times 7) = 3440 + 35 = 3475$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद है:
$3475 \times 6 + (6 \times 7) = 20850 + 42 = 20892$

(C) यह श्रृंखला $3$ के क्रमिक गुणकों के साथ बढ़ते हुए अंतर पर आधारित है।
$1 \times 3 = 3$
$3 \times 8 = 24$
$24 \times 15 = 360$
$360 \times 24 = 8640$
$8640 \times 35 = 302400$
आइए गुणकों का विश्लेषण करें: $3, 8, 15, 24, 35, ...$
इन गुणकों के बीच का अंतर है: $8-3=5$,$15-8=7$,$24-15=9$,$35-24=11$.
अगला अंतर $13$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला गुणक $35 + 13 = 48$ होगा।
अतः,अगला पद $302400 \times 48 = 14515200$ है।

(B) यह श्रृंखला $(\text{पद} \times n) + (2 \times n)$ के नियम का पालन करती है,जहाँ $n$ $1$ से शुरू होने वाला अनुक्रम है।
$12 \times 1 + 2 \times 1 = 12 + 2 = 14$
$14 \times 2 + 2 \times 2 = 28 + 4 = 32$
$32 \times 3 + 2 \times 3 = 96 + 6 = 102$
$102 \times 4 + 2 \times 4 = 408 + 8 = 416$
$416 \times 5 + 2 \times 5 = 2080 + 10 = 2090$
इस पैटर्न के अनुसार,अगला पद है:
$2090 \times 6 + 2 \times 6 = 12540 + 12 = 12552$

(A) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$10 \times \frac{3}{2} = 15$
$15 \times \frac{4}{4} = 15$
$15 \times \frac{5}{6} = 12.5$
$12.5 \times \frac{6}{8} = 9.375$
$9.375 \times \frac{7}{10} = 6.5625$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $\frac{8}{12}$ से गुणा किया जाता है:
$6.5625 \times \frac{8}{12} = 6.5625 \times \frac{2}{3} = 4.375$

(D) इस श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$3 \times 7 + 1 = 22$
$22 \times 6 + 2 = 134$
$134 \times 5 + 3 = 673$
$673 \times 4 + 4 = 2696$
$2696 \times 3 + 5 = 8093$
अतः,लुप्त पद $134$ है।

(A) यह श्रृंखला इस नियम का पालन करती है: $(\text{पिछला पद} \times n) + (n \times (8-n))$,जहाँ $n$ $1$ से शुरू होने वाला क्रम सूचकांक है।
$n=1$ के लिए: $(6 \times 1) + (1 \times 7) = 6 + 7 = 13$.
$n=2$ के लिए: $(13 \times 2) + (2 \times 6) = 26 + 12 = 38$.
$n=3$ के लिए: $(38 \times 3) + (3 \times 5) = 114 + 15 = 129$.
$n=4$ के लिए: $(129 \times 4) + (4 \times 4) = 516 + 16 = 532$.
$n=5$ के लिए: $(532 \times 5) + (5 \times 3) = 2660 + 15 = 2675$.
अतः,लुप्त संख्या $129$ है।

(C) इस श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$17 \times 0.5 + 0.5 = 9$
$9 \times 1 + 1 = 10$
$10 \times 1.5 + 1.5 = 16.5$
$16.5 \times 2 + 2 = 35$
$35 \times 2.5 + 2.5 = 90$
इस तर्क के अनुसार,लुप्त पद $10$ है।

(A) इस श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$3 \times 1 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
$4 \times 2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
$12 \times 3 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
$45 \times 4 + 4^2 = 180 + 16 = 196$
इस तर्क का पालन करते हुए,लुप्त पद $45$ है।

(B) दी गई संख्या श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है:
$16 \times 0.5 = 8$
$8 \times 1.5 = 12$
$12 \times 2.5 = 30$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगली संख्या $3.5$ से गुणा करके प्राप्त की जाती है:
$30 \times 3.5 = 105$
अतः,लुप्त संख्या $105$ है।

(A) यह श्रृंखला निम्नलिखित तर्क का पालन करती है: $n_{i} \times i + i \times (6-i)$,जहाँ $i$ $1$ से शुरू होने वाला पद क्रमांक है।
प्रथम पद के लिए: $7 \times 1 + 1 \times 5 = 7 + 5 = 12$.
द्वितीय पद के लिए: $12 \times 2 + 2 \times 4 = 24 + 8 = 32$.
तृतीय पद के लिए: $32 \times 3 + 3 \times 3 = 96 + 9 = 105$.
चतुर्थ पद के लिए: $105 \times 4 + 4 \times 2 = 420 + 8 = 428$.
अतः,अगला पद $428$ है।

(A) दी गई श्रृंखला क्रमिक अभाज्य संख्याओं के वर्गों से बनी है।
श्रृंखला इस प्रकार है: $2^{2}, 3^{2}, 5^{2}, ?, 11^{2}, 13^{2}, 17^{2}, 19^{2}$।
क्रम में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं।
लुप्त पद $7$ का वर्ग है।
अतः,लुप्त पद $7^{2} = 49$ है।

(A) श्रृंखला का पैटर्न पिछले दो पदों के योग में एक बढ़ते हुए स्थिरांक को जोड़ने पर आधारित है।
मान लीजिए कि पद $T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_6$ हैं।
$T_3 = T_1 + T_2 + 2 = 3 + 8 + 2 = 13$
$T_4 = T_2 + T_3 + 3 = 8 + 13 + 3 = 24$
$T_5 = T_3 + T_4 + 4 = 13 + 24 + 4 = 41$
$T_6 = T_4 + T_5 + 5 = 24 + 41 + 5 = 70$
अतः,लुप्त पद $70$ है।

(C) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
प्रथम श्रृंखला: $45, 47, 49, 51, 53$ (प्रत्येक पद में $2$ की वृद्धि होती है)।
द्वितीय श्रृंखला: $54, ?, 56, 57$ (यह क्रमिक पूर्णांकों की एक श्रृंखला है)।
द्वितीय श्रृंखला में,पद $54, 55, 56, 57$ हैं।
अतः,लुप्त पद $55$ है।

(A) यह श्रृंखला एक ऐसे पैटर्न का पालन करती है जिसमें सम स्थानों पर स्थित पद उनके आस-पास के पदों का गुणनफल हैं।
$6 \times 3 = 18$
$3 \times 7 = 21$
$7 \times ? = 56$
लुप्त पद ज्ञात करने के लिए,हम $?$ के लिए हल करते हैं: $? = 56 / 7 = 8$.
अतः,अगला पद $8$ है।

(B) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$1^{st}$ श्रृंखला: $2, 4, 6, \dots$ (सम संख्याएँ जो $2$ की वृद्धि के साथ आगे बढ़ती हैं)
इस श्रृंखला का अगला पद $6 + 2 = 8$ है।
$2^{nd}$ श्रृंखला: $15, 12, 7, \dots$
अंतर का पैटर्न इस प्रकार है: $15 - 3 = 12$,$12 - 5 = 7$।
अगला अंतर $-7$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $7 - 7 = 0$ है।
इसलिए,लुप्त पद $8$ और $0$ हैं।

(A) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है।
श्रृंखला $1$: $20, 19, 17, 14, ?$
पैटर्न: $20 \xrightarrow{-1} 19 \xrightarrow{-2} 17 \xrightarrow{-3} 14 \xrightarrow{-4} 10$
अतः,पहली लुप्त संख्या $10$ है।
श्रृंखला $2$: $20, 16, 13, 11, ?$
पैटर्न: $20 \xrightarrow{-4} 16 \xrightarrow{-3} 13 \xrightarrow{-2} 11 \xrightarrow{-1} 10$
अतः,दूसरी लुप्त संख्या $10$ है।
इसलिए,लुप्त संख्याएँ $10, 10$ हैं।

(D) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$(i)$ पहली श्रृंखला विषम स्थानों पर स्थित पदों से बनी है: $0, 3, 8, 15, 24, ?$
तर्क इस प्रकार है:
$0 + 3 = 3$
$3 + 5 = 8$
$8 + 7 = 15$
$15 + 9 = 24$
क्रमिक विषम संख्याओं $(3, 5, 7, 9, 11)$ को जोड़ने के इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $24 + 11 = 35$ होगा।
$(ii)$ दूसरी श्रृंखला सम स्थानों पर स्थित पदों से बनी है: $2, 5, 10, 17, 26$
यह $(n^2 + 1)$ के पैटर्न का पालन करती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ है।
चूंकि प्रश्न में $26$ के बाद का पद पूछा गया है,जो कि $11$वां पद है और यह पहली श्रृंखला का हिस्सा है। अतः,सही उत्तर $35$ है।

(C) यह श्रृंखला क्रमिक विषम संख्याओं की दो अलग-अलग श्रृंखलाओं को साथ रखकर बनाई गई है।
प्रत्येक पद के पहले अंक हैं: $1, 3, 5, 7, 9, 11$।
प्रत्येक पद के दूसरे अंक हैं: $3, 5, 7, 9, 11, 13$।
इन दोनों को मिलाने पर,श्रृंखला का अगला पद $1113$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$(i)$ पहली श्रृंखला विषम स्थानों पर स्थित पदों से बनी है: $625, 125, 25, 5$। प्रत्येक पद पिछले पद को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है $(625 \div 5 = 125, 125 \div 5 = 25, 25 \div 5 = 5)$।
$(ii)$ दूसरी श्रृंखला सम स्थानों पर स्थित पदों से बनी है: $5, 25, ?$। प्रत्येक पद पिछले पद को $5$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है $(5 \times 5 = 25, 25 \times 5 = 125)$।
अतः,लुप्त पद $125$ है।

(B) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का मिश्रण है:
श्रृंखला $(i)$ में $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th}$ पद शामिल हैं: $3, 7, 13, 21, 31, ...$
श्रृंखला $(i)$ के लिए पैटर्न: $3 (+4) = 7, 7 (+6) = 13, 13 (+8) = 21, 21 (+10) = 31$.
इस श्रृंखला का अगला पद $31 (+12) = 43$ होगा।
श्रृंखला $(ii)$ में $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th}, 10^{th}$ पद शामिल हैं: $4, 7, 13, 22, 34, ...$
श्रृंखला $(ii)$ के लिए पैटर्न: $4 (+3) = 7, 7 (+6) = 13, 13 (+9) = 22, 22 (+12) = 34$.
चूंकि प्रश्नवाचक चिह्न $11^{th}$ पद को दर्शाता है,इसलिए यह श्रृंखला $(i)$ के पैटर्न का पालन करता है।
अतः,लुप्त संख्या $31 + 12 = 43$ है।

(A) दी गई श्रृंखला $11, 10, ?, 100, 1001, 1000, 10001$ है।
क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न का अवलोकन करें:
$11 - 1 = 10$
$10 \times 10 + 1 = 101$
$101 - 1 = 100$
$100 \times 10 + 1 = 1001$
$1001 - 1 = 1000$
$1000 \times 10 + 1 = 10001$
यह पैटर्न $1$ घटाने और $10$ से गुणा करके $1$ जोड़ने के बीच बदलता रहता है।
अतः,लुप्त पद $10 \times 10 + 1 = 101$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $13, 32, 24, 43, 35, ?, 46, 65, 57, 76$ है।
यह श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$(i)$ पहली श्रृंखला में विषम स्थानों पर स्थित पद हैं: $13, 24, 35, 46, 57$। यहाँ,प्रत्येक पद में $11$ की वृद्धि होती है $(13+11=24, 24+11=35, 35+11=46, 46+11=57)$।
$(ii)$ दूसरी श्रृंखला में सम स्थानों पर स्थित पद हैं: $32, 43, ?, 65, 76$। यहाँ भी प्रत्येक पद में $11$ की वृद्धि होती है $(32+11=43, 43+11=54, 54+11=65, 65+11=76)$।
अतः,लुप्त पद $43 + 11 = 54$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $3$ मिश्रित श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$(i)$ $2, 4, 6, 8, ?$
$(ii)$ $1, 4, 7, 10$
$(iii)$ $2, 5, 8, 11$
श्रृंखला $(i)$ का विश्लेषण करने पर,हम देखते हैं कि इसमें क्रमिक सम संख्याएँ हैं: $2, 4, 6, 8, ...$
इस श्रृंखला में $8$ के बाद अगला पद $10$ आता है।
अतः,लुप्त पद $10$ है।

(C) अंश (numerator) के पैटर्न का विश्लेषण करें: $2, 4, ?, 11, 16$। अंतर $4-2=2$,$?-4=x$,$11-?=y$,$16-11=5$ है। अंतर $2, 3, 4, 5$ के क्रम में है। अतः,लुप्त अंश $4+3=7$ है।
हर (denominator) के पैटर्न का विश्लेषण करें: $3, 7, ?, 21, 31$। अंतर $7-3=4$,$?-7=x$,$21-?=y$,$31-21=10$ है। अंतर $4, 6, 8, 10$ के क्रम में है। अतः,लुप्त हर $7+6=13$ है।
इसलिए,लुप्त पद $\frac{7}{13}$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $960, 924, 852, 744, 600, 420, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$960 - 924 = 36 = 36 \times 1$
$924 - 852 = 72 = 36 \times 2$
$852 - 744 = 108 = 36 \times 3$
$744 - 600 = 144 = 36 \times 4$
$600 - 420 = 180 = 36 \times 5$
अंतर का पैटर्न $36 \times 1, 36 \times 2, 36 \times 3, 36 \times 4, 36 \times 5$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $36 \times 6 = 216$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $420 - 216 = 204$ होगा।

(C) लुप्त संख्या ज्ञात करने के लिए,क्रमिक पदों के बीच के पैटर्न को समझें:
$540 / 1800 = 0.3$
$162 / 540 = 0.3$
$48.6 / 162 = 0.3$
प्रत्येक पद पिछले पद को $0.3$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
अतः,लुप्त संख्या $= 48.6 \times 0.3 = 14.58$।

(C) दी गई श्रृंखला $280, 284, 300, ?, 400, 500$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$284 - 280 = 4 = 2^2$
$300 - 284 = 16 = 4^2$
इस पैटर्न के अनुसार,अगला अंतर $6^2 = 36$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त पद $300 + 36 = 336$ है।
सत्यापन के लिए,अगला अंतर $8^2 = 64$ होना चाहिए,यहाँ $400 - 336 = 64$ है,जो $8^2$ से मेल खाता है।
इसके बाद का अंतर $500 - 400 = 100 = 10^2$ है।
इस प्रकार,पैटर्न क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का योग है: $+2^2, +4^2, +6^2, +8^2, +10^2$।
लुप्त पद $336$ है।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$4 \times 1 + 1^2 = 5$
$5 \times 2 + 2^2 = 14$
$14 \times 3 + 3^2 = 51$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$51 \times 4 + 4^2 = 204 + 16 = 220$
सत्यापित करने के लिए,अगला पद इस प्रकार होना चाहिए:
$220 \times 5 + 5^2 = 1100 + 25 = 1125$
अतः,लुप्त पद $220$ है।

(A) यह श्रृंखला निम्नलिखित नियम का पालन करती है: $\times 6-1, \times 5-1, \times 4-1, \times 3-1, \times 2-1$.
चरण $1$: $8 \times 6 - 1 = 48 - 1 = 47$
चरण $2$: $47 \times 5 - 1 = 235 - 1 = 234$
चरण $3$: $234 \times 4 - 1 = 936 - 1 = 935$
चरण $4$: $935 \times 3 - 1 = 2805 - 1 = 2804$
चरण $5$: $2804 \times 2 - 1 = 5608 - 1 = 5607$
अतः,लुप्त संख्या $2804$ है।

(C) इस श्रृंखला का पैटर्न $3$ से शुरू होने वाले $3$ के क्रमिक गुणजों के योग पर आधारित है,जहाँ प्रत्येक अगला अंतर पिछले अंतर का दोगुना है:
$9 - 6 = 3$
$15 - 9 = 6$
$27 - 15 = 12$
$51 - 27 = 24$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $24 \times 2 = 48$ होना चाहिए।
अतः,अगली संख्या $51 + 48 = 99$ है।

(D) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$7 \times 1 + 1 = 8$
$8 \times 2 + 2 = 18$
$18 \times 3 + 3 = 57$
$57 \times 4 + 4 = 232$
$232 \times 5 + 5 = 1165$
अतः,लुप्त पद $57$ है।

(D) पैटर्न ज्ञात करने के लिए, क्रमिक पदों के बीच का अंतर निकालें:
$18 - 11 = 7$
$29 - 18 = 11$
$42 - 29 = 13$
$59 - 42 = 17$
$80 - 59 = 21$
$101 - 80 = 21$
अंतर $7, 11, 13, 17, \dots$ हैं जो क्रमिक अभाज्य संख्याएँ हैं।
इस पैटर्न के अनुसार, अगला अंतर $21$ के बजाय $19$ होना चाहिए।
$59 + 19 = 78$
इसके बाद, अगला अंतर $23$ होना चाहिए।
$78 + 23 = 101$
चूंकि $80$ पैटर्न में फिट नहीं बैठता है, इसलिए यह गलत संख्या है।

(B) श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करते हैं:
$(2 \times 1) + 7 = 9$
$(9 \times 2) + 14 = 32$
$(32 \times 3) + 21 = 117$
यहाँ $105$ के स्थान पर $117$ होना चाहिए,अतः $105$ गलत संख्या है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $32$ को गलत संख्या माना गया है।

(D) श्रृंखला का पैटर्न क्रमिक विषम संख्याओं के गुणन पर आधारित है: $\times 11, \times 9, \times 7, \times 5, \times 3, \times 1$।
आइए पदों की जाँच करें:
$5 \times 11 = 55$
$55 \times 9 = 495$
$495 \times 7 = 3465$
$3465 \times 5 = 17325$
$17325 \times 3 = 51975$
इसे दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर: $5, 55, 495, 3465, 17325, 34650, 51975$।
हम देख सकते हैं कि $34650$ गलत संख्या है क्योंकि $17325$ के बाद का पद $51975$ होना चाहिए।

(A) तीसरे पद से शुरू करके श्रृंखला के पैटर्न का अवलोकन करें: $18 \times 3 = 54$,$54 \times 3 = 162$,$162 \times 3 = 486$,और $486 \times 3 = 1458$।
यह दर्शाता है कि प्रत्येक पद पिछले पद को $3$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
यदि हम इस नियम को पहले पद $(2)$ पर लागू करें,तो दूसरा पद $2 \times 3 = 6$ होना चाहिए।
चूंकि दिया गया दूसरा पद $10$ है,इसलिए यह श्रृंखला में गलत संख्या है।

(C) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$12 - 8 = 4$
$24 - 12 = 12$
$46 - 24 = 22$
$72 - 46 = 26$
$108 - 72 = 36$
$152 - 108 = 44$
अंतरों की श्रृंखला $4, 12, 22, 26, 36, 44$ है। यह तर्कसंगत नहीं है।
यदि हम अंतरों का अंतर देखें:
$12 - 4 = 8$
$22 - 12 = 10$
$26 - 22 = 4$
$36 - 26 = 10$
$44 - 36 = 8$
यदि हम $4$ के गुणज जोड़ने का पैटर्न देखें (या $8$ का स्थिर अंतर),तो अंतरों की श्रृंखला $4, 12, 20, 28, 36, 44$ होनी चाहिए।
इस पैटर्न के साथ पदों की जाँच करने पर:
$8 + 4 = 12$
$12 + 12 = 24$
$24 + 20 = 44$ ($46$ के स्थान पर)
$44 + 28 = 72$
$72 + 36 = 108$
$108 + 44 = 152$
अतः,गलत संख्या $46$ है,जिसे $44$ होना चाहिए।

(D) दी गई श्रृंखला $16, 22, 40, 78, 144, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$22 - 16 = 6$
$40 - 22 = 18$
$78 - 40 = 38$
$144 - 78 = 66$
अब,इन अंतरों का भी अंतर (द्वितीय-क्रम का अंतर) ज्ञात करते हैं:
$18 - 6 = 12$
$38 - 18 = 20$
$66 - 38 = 28$
द्वितीय-क्रम के अंतरों में $8$ की वृद्धि हो रही है ($20 - 12 = 8$,$28 - 20 = 8$)।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,द्वितीय-क्रम का अगला अंतर $28 + 8 = 36$ होना चाहिए।
इसे प्रथम-क्रम के अंतिम अंतर में जोड़ने पर: $66 + 36 = 102$।
अंत में,इसे श्रृंखला के अंतिम पद में जोड़ने पर: $144 + 102 = 246$।
अतः,अगला पद $246$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $2, 6, 14, 30, ?, 126, 254$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर देखें:
$6 - 2 = 4$
$14 - 6 = 8$
$30 - 14 = 16$
अंतर $2$ की घातों के रूप में है,अर्थात $2^2, 2^3, 2^4, \dots$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $2^5 = 32$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $30 + 32 = 62$ है।
सत्यापन के लिए,अगला अंतर $2^6 = 64$ होना चाहिए,और $62 + 64 = 126$ होता है,जो श्रृंखला से मेल खाता है।
इस प्रकार,लुप्त संख्या $62$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $10, 14, 25, 55, 140, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$14 - 10 = 4$
$25 - 14 = 11$
$55 - 25 = 30$
$140 - 55 = 85$
अब,इन अंतरों के पैटर्न का विश्लेषण करें: $4, 11, 30, 85, ...$
$4 \times 3 - 1 = 11$
$11 \times 3 - 3 = 30$
$30 \times 3 - 5 = 85$
$85 \times 3 - 7 = 248$
अतः,अगला अंतर $248$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $140 + 248 = 388$ होगा।

(D) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$2 \times 3 + 5 = 11$
$11 \times 4 - 6 = 38$
$38 \times 5 + 7 = 197$
$197 \times 6 - 8 = 1182 - 8 = 1174$
चूंकि दी गई संख्या $1172$ है जबकि यह $1174$ होनी चाहिए,इसलिए $1172$ गलत संख्या है।
अगले पद की जाँच करने पर: $1174 \times 7 + 9 = 8218 + 9 = 8227$.
अंतिम पद की जाँच करने पर: $8227 \times 8 - 10 = 65816 - 10 = 65806$.
अतः,$1172$ गलत संख्या है।