Number Series Questions in Gujarati

(A) ચાલો શ્રેણીમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$107 - 71 = 36 = 6^2$
$71 - 46 = 25 = 5^2$
$46 - 30 = 16 = 4^2$
$30 - 21 = 9 = 3^2$
$21 - 19 = 2 \neq 2^2$
$19 - 16 = 3 \neq 1^2$
વર્ગોની પેટર્ન $(6^2, 5^2, 4^2, 3^2)$ જોતા,આગળનો તફાવત $2^2 = 4$ અને ત્યારબાદ $1^2 = 1$ હોવો જોઈએ.
જો આપણે $19$ ને $17$ વડે બદલીએ,તો શ્રેણી $16, 17, 21, 30, 46, 71, 107$ બને છે.
તફાવત આ મુજબ થશે: $107-71=36 (6^2)$,$71-46=25 (5^2)$,$46-30=16 (4^2)$,$30-21=9 (3^2)$,$21-17=4 (2^2)$,અને $17-16=1 (1^2)$.
આમ,શ્રેણીમાં ખોટી સંખ્યા $19$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી ફિબોનાકી શ્રેણીના તર્કને અનુસરે છે,જેમાં દરેક પદ તેના આગળના બે પદોનો સરવાળો છે.
$7 + 9 = 16$
$9 + 16 = 25$
$16 + 25 = 41$
$25 + 41 = 66$
$41 + 66 = 107$
$66 + 107 = 173$
આપેલી શ્રેણીમાં,$68$ એ ખોટી સંખ્યા છે કારણ કે $25$ અને $41$ નો સરવાળો $66$ થાય છે,$68$ નહીં.

(C) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$4 \times 0.5 = 2$
$2 \times 1.5 = 3$
$3 \times 2.5 = 7.5$
$7.5 \times 3.5 = 26.25$
$26.25 \times 4.5 = 118.125$
આપેલ શ્રેણી $4, 2, 3.5, 7.5, 26.25, 118.125$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રીજું પદ $3.5$ ખોટું છે. તેની જગ્યાએ $3$ હોવું જોઈએ.

(B) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$16 \times 0.25 = 4$
$4 \times 0.5 = 2$
$2 \times 0.75 = 1.5$
$1.5 \times 1.0 = 1.5$
$1.5 \times 1.25 = 1.875$
આપેલ શ્રેણી $16, 4, 2, 1.5, 1.75, 1.875$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પદ $1.75$ ખોટું છે. સાચું પદ $1.5$ હોવું જોઈએ.

(C) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક તપાસો:
$3 \times 3 + 1 = 10$
$10 \times 3 + 2 = 32$
$32 \times 3 + 4 = 100$
આ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ નીચે મુજબ હશે:
$100 \times 3 + 8 = 308$
આમ,સાચો જવાબ $308$ છે.

(D) આ શ્રેણી નીચે મુજબના નિયમનું પાલન કરે છે: $\text{પછીનું પદ} = (\text{અગાઉનું પદ} \times n) - 2$,જ્યાં $n$ એ $1$ થી શરૂ થતો ક્રમ છે.
પગલું $1$: $5 \times 1 - 2 = 3$
પગલું $2$: $3 \times 2 - 2 = 4$
પગલું $3$: $4 \times 3 - 2 = 10$
પગલું $4$: $10 \times 4 - 2 = 38$
આમ,ખૂટતું પદ $10$ છે.

(B) આ શ્રેણી નીચે મુજબના નિયમનું પાલન કરે છે: $(\text{અગાઉનું પદ} \times n) + n^2$,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે.
$5 \times 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6$
$6 \times 2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$
$16 \times 3 + 3^2 = 48 + 9 = 57$
$57 \times 4 + 4^2 = 228 + 16 = 244$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $16$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $3, 10, 21, x, 51$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$10 - 3 = 7$
$21 - 10 = 11$
અહીં તફાવત $7$ અને $11$ છે જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
જો આપણે આગળના તફાવત $13$ અને $17$ લઈએ,તો:
$21 + 13 = 34$
$34 + 17 = 51$
આ તર્ક શ્રેણીને સંતોષે છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $34$ છે.

(D) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન $x_n = x_{n-1} \times 2 + (2n - 3)$ છે,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે.
પગલું $1$: $5 \times 2 + 1 = 11$
પગલું $2$: $11 \times 2 + 3 = 25$
પગલું $3$: $25 \times 2 + 5 = 55$
પગલું $4$: $55 \times 2 + 7 = 117$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $25$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણી છે: $12, 14, 17, 13, 8, 14, 21, 13, 4, ?$
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક સમજીએ:
$12 + 2 = 14$
$14 + 3 = 17$
$17 - 4 = 13$
$13 - 5 = 8$
$8 + 6 = 14$
$14 + 7 = 21$
$21 - 8 = 13$
$13 - 9 = 4$
અહીં ક્રિયાઓનો તર્ક આ મુજબ છે: $+2, +3, -4, -5, +6, +7, -8, -9, ...$
આ શ્રેણી મુજબ,હવે પછીની ક્રિયા $+10$ હોવી જોઈએ.
તેથી,આગામી સંખ્યા $4 + 10 = 14$ થશે.

(B) શ્રેણીની પેટર્ન આ નિયમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $a_{n+1} = (a_n \div 2) - 2$.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$1788 \div 2 - 2 = 894 - 2 = 892$
$892 \div 2 - 2 = 446 - 2 = 444$
$444 \div 2 - 2 = 222 - 2 = 220$
$220 \div 2 - 2 = 110 - 2 = 108$
જો કે,આપેલી શ્રેણીમાં $108$ ને બદલે $112$ છે.
$108$ સાથે પછીનું પદ તપાસતા: $108 \div 2 - 2 = 54 - 2 = 52$.
$52$ સાથે પછીનું પદ તપાસતા: $52 \div 2 - 2 = 26 - 2 = 24$.
આમ,$108$ પેટર્નમાં બંધબેસે છે અને $112$ બંધબેસતું નથી,તેથી $112$ એ ખોટી સંખ્યા છે.

(D) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$289 - 225 = 64 = 8^{2}$
$374 - 289 = 85$
$397 - 374 = 23$
$415 - 397 = 18$
$424 - 415 = 9 = 3^{2}$
ચાલો ઘટતી જતી સંખ્યાઓના વર્ગ ઉમેરીને પેટર્ન ફરીથી તપાસીએ:
$225 + 8^{2} = 225 + 64 = 289$
$289 + 7^{2} = 289 + 49 = 338$
$338 + 6^{2} = 338 + 36 = 374$
$374 + 5^{2} = 374 + 25 = 399$
$399 + 4^{2} = 399 + 16 = 415$
$415 + 3^{2} = 415 + 9 = 424$
આપેલ શ્રેણી $(225, 289, 374, 397, 415, 424)$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $397$ ખોટું છે કારણ કે ત્યાં $399$ હોવું જોઈએ.

(B) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$5 \times 1.5 = 7.5$
$7.5 \times 1.5 = 11.25$
$11.25 \times 1.5 = 16.875$
$16.875 \times 1.5 = 25.3125$
તફાવતો તપાસતા:
$7.5 - 5 = 2.5$
$11.25 - 7.5 = 3.75$
$17.5 - 11.25 = 6.25$
$29.75 - 17.5 = 12.25$
$50 - 29.75 = 20.25$
$91.25 - 50 = 41.25$
તફાવતોની પેટર્ન જોતા: $2.5, 3.75, 6.25, 12.25, 20.25, 41.25$.
અહીં $17.5$ એ શ્રેણીમાં બંધબેસતી નથી કારણ કે તે ગુણોત્તર શ્રેણી $a_n = a_{n-1} \times 1.5$ નું પાલન કરતી નથી.

(D) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$35 \times 2 + 48 = 118$
$118 \times 2 + 44 = 280$
$280 \times 2 + 40 = 600$
$600 \times 2 + 36 = 1236$
$1236 \times 2 + 32 = 2504$
$2504 \times 2 + 28 = 5036$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,પદ $1238$ ખોટું છે કારણ કે ત્યાં $1236$ હોવું જોઈએ.

(A) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$10 \times 1 + 2 = 12$
$12 \times 2 + 4 = 28$
$28 \times 3 + 6 = 90$
$90 \times 4 + 8 = 368$
$368 \times 5 + 10 = 1850$
$1850 \times 6 + 12 = 11112$
આપેલ શ્રેણી $10, 12, 28, 90, 368, 1840, 1112$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $1840$ ખોટું છે કારણ કે ત્યાં $1850$ હોવું જોઈએ,અને પરિણામે છેલ્લું પદ $1112$ પણ પેટર્ન મુજબ ખોટું છે. જોકે,વિચલનનો પ્રથમ મુદ્દો ઓળખતા,$1840$ એ ખોટી સંખ્યા છે.

(B) આપેલ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓ ધરાવે છે.
શ્રેણી $1$ (ઉપરની હરોળ): $80, 130, 180, 230$. અહીં,દરેક પદમાં $50$ નો વધારો થાય છે $(80+50=130, 130+50=180, 180+50=230)$.
શ્રેણી $2$ (નીચેની હરોળ): $900, (A), (B), (C), (D), (E)$.
ઉપરની અને નીચેની હરોળ વચ્ચેનો સંબંધ જોતા:
$80 \rightarrow 900$ (તફાવત $+820$ છે)
$50 \rightarrow (A) = 900 - 30 = 870$
$130 \rightarrow (B) = 870 + 80 = 950$
$100 \rightarrow (C) = 950 - 30 = 920$
$180 \rightarrow (D) = 920 + 80 = 1000$
$150 \rightarrow (E) = 1000 - 30 = 970$
આમ,નીચેની હરોળ માટેની પેટર્ન $-30$ અને $+80$ છે. આ મુજબ,$(E) = 970$ થાય.

(A) પ્રથમ શ્રેણી નીચે મુજબની પેટર્ન અનુસરે છે:
$1st$ પદ $= 60$
$2nd$ પદ $= 60 \times 2 + 1 = 121$
$3rd$ પદ $= 121 + 10 = 131$
$4th$ પદ $= 131 \times 2 + 2 = 264$
$5th$ પદ $= 264 + 20 = 284$
$6th$ પદ $= 284 \times 2 + 3 = 571$
$7th$ પદ $= 571 + 30 = 601$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી શ્રેણી માટે જે $120$ થી શરૂ થાય છે:
$1st$ પદ $= 120$
$2nd$ પદ $(A) = 120 \times 2 + 1 = 241$
$3rd$ પદ $(B) = 241 + 10 = 251$
$4th$ પદ $(C) = 251 \times 2 + 2 = 504$
$5th$ પદ $(D) = 504 + 20 = 524$

(D) પ્રથમ શ્રેણી નીચે મુજબની પેટર્ન અનુસરે છે: $x_{n+1} = x_n \times 2 + (n-1)$,જ્યાં $n$ એ $1$ થી શરૂ થતો પદ ક્રમાંક છે.
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 + 1 = 9$
$9 \times 2 + 2 = 20$
$20 \times 2 + 3 = 43$
$43 \times 2 + 4 = 90$
તે જ પેટર્ન $3$ થી શરૂ થતી બીજી શ્રેણી પર લાગુ કરતા:
$1$લું પદ $= 3$
$2$જું પદ $= 3 \times 2 = 6$ $(A)$
$3$જું પદ $= 6 \times 2 + 1 = 13$ $(B)$
$4$થું પદ $= 13 \times 2 + 2 = 28$ $(C)$
$5$મું પદ $= 28 \times 2 + 3 = 59$ $(D)$
$6$ઠું પદ $= 59 \times 2 + 4 = 122$ $(E)$
આમ,$(D)$ ની કિંમત $59$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી ક્રમિક પૂર્ણાંકોના વર્ગોના વારાફરતી સરવાળા અને બાદબાકીના તર્ક પર આધારિત છે,જે $4^2, 3^2, 6^2, 5^2, 8^2, 7^2$ થી શરૂ થાય છે.
પ્રથમ હરોળ માટે:
$200 - 4^2 = 184$
$184 + 3^2 = 193$
$193 - 6^2 = 157$
$157 + 5^2 = 182$
$182 - 8^2 = 118$
$118 + 7^2 = 167$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળમાં $150$ થી શરૂઆત કરતા:
$(A) = 150 - 4^2 = 150 - 16 = 134$
$(B) = 134 + 3^2 = 134 + 9 = 143$
$(C) = 143 - 6^2 = 143 - 36 = 107$
$(D) = 107 + 5^2 = 107 + 25 = 132$
$(E) = 132 - 8^2 = 132 - 64 = 68$

(D) પ્રથમ શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$1^{st}$ પદ $= 4$
$2^{nd}$ પદ $= 4 \times 3.5 = 14$
$3^{rd}$ પદ $= 14 \times 3 = 42$
$4^{th}$ પદ $= 42 \times 3.5 = 147$
$5^{th}$ પદ $= 147 \times 4 = 588$
$6^{th}$ પદ $= 588 \times 3.5 = 2058$
$7^{th}$ પદ $= 2058 \times 5 = 10290$
આ જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી શ્રેણી જે $8$ થી શરૂ થાય છે તેના માટે:
$1^{st}$ પદ $= 8$
$2^{nd}$ પદ $(A) = 8 \times 3.5 = 28$
$3^{rd}$ પદ $(B) = 28 \times 3 = 84$
$4^{th}$ પદ $(C) = 84 \times 3.5 = 294$
અહીં $294$ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(C) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન આ મુજબ છે: $\times 1 + 1, \div 2 - 2, \times 3 + 3, \div 4 - 4, \times 5 + 5, \dots$
$19$ થી શરૂ થતી બીજી હરોળ માટે:
$A = 19 \times 1 + 1 = 20$
$B = 20 \div 2 - 2 = 8$
$C = 8 \times 3 + 3 = 27$
$D = 27 \div 4 - 4 = 6.75 - 4 = 2.75$
$E = 2.75 \times 5 + 5 = 13.75 + 5 = 18.75$
તેથી,$(E)$ ની જગ્યાએ આવતી સંખ્યા $18.75$ છે.

(B) આ શ્રેણી $4.5$ ના ગુણાંક ઉમેરવાની પેટર્ન અનુસરે છે $(4.5, 9.0, 13.5, 18.0, 22.5, \dots)$
બીજી હરોળ માટે:
$A = 21 + 4.5 = 25.5$
$B = 25.5 + 9.0 = 34.5$
$C = 34.5 + 13.5 = 48.0$
$D = 48.0 + 18.0 = 66.0$
$E = 66.0 + 22.5 = 88.5$
તેથી,$(E)$ ની જગ્યાએ $88.5$ આવશે.

(B) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક આ મુજબ છે: $12 \times 2 + 2 = 26$,$26 \div 2 - 2 = 11$,$11 \times 3 + 3 = 36$,$36 \div 3 - 3 = 9$.
તે જ તર્કને બીજી હરોળમાં $7$ થી શરૂ કરીને લાગુ કરતા:
$A = 7 \times 2 + 2 = 16$
$B = 16 \div 2 - 2 = 6$
$C = 6 \times 3 + 3 = 21$
$D = 21 \div 3 - 3 = 4$
$E = 4 \times 4 + 4 = 20$
તેથી,$(C)$ ની જગ્યાએ $21$ આવશે.

(A) આપેલી શ્રેણી $11, 28, 55, 92, 139, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$28 - 11 = 17$
$55 - 28 = 27$
$92 - 55 = 37$
$139 - 92 = 47$
તફાવતો $17, 27, 37, 47$ છે,જે $10$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
શ્રેણીમાં આગળનો તફાવત $47 + 10 = 57$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $139 + 57 = 196$ છે.

(D) આ શ્રેણી $3$ થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ સાથે ગુણાકાર કરવાની પેટર્ન અનુસરે છે.
$1^{st}$ પદ: $2$
$2^{nd}$ પદ: $2 \times 3 = 6$
$3^{rd}$ પદ: $6 \times 5 = 30$
$4^{th}$ પદ: $30 \times 7 = 210$
$5^{th}$ પદ: $210 \times 9 = 1890$
$6^{th}$ પદ: $1890 \times 11 = 20790$
આપેલ શ્રેણી $2, 6, 30, 210, 2520, 20790$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $2520$ એ ખોટી સંખ્યા છે,કારણ કે ત્યાં $1890$ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલી શ્રેણી $0, 3, 8, 15, 24, 35, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$3 - 0 = 3$
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$35 - 24 = 11$
તફાવત એ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ છે: $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$
તેથી,પછીનો તફાવત $13$ હોવો જોઈએ.
આમ,પછીનું પદ $35 + 13 = 48$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,આ શ્રેણી $n^2 - 1$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$:
$1^2 - 1 = 0$
$2^2 - 1 = 3$
$3^2 - 1 = 8$
$4^2 - 1 = 15$
$5^2 - 1 = 24$
$6^2 - 1 = 35$
$7^2 - 1 = 48$
તેથી,પછીની સંખ્યા $48$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $1, 6, 27, 108, \dots$ છે.
ચાલો પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1 \times 3^0 = 1$
$2 \times 3^1 = 6$
$3 \times 3^2 = 27$
$4 \times 3^3 = 108$
આ પેટર્ન મુજબ,પછીનું પદ $5 \times 3^4$ હોવું જોઈએ.
$5 \times 81 = 405$.
તેથી,શ્રેણીનું પછીનું પદ $405$ છે.

(B) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$4 \times 2 + 2 = 10$
$10 \times 3 + 3 = 33$
$33 \times 4 + 4 = 136$
આ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ:
$136 \times 5 + 5 = 680 + 5 = 685$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $n = 1, 2, 3, 4, 5, \dots$ માટે $n^{3} + n^{2}$ ની પેટર્ન અનુસરે છે.
$n=1$ માટે: $1^{3} + 1^{2} = 1 + 1 = 2$
$n=2$ માટે: $2^{3} + 2^{2} = 8 + 4 = 12$
$n=3$ માટે: $3^{3} + 3^{2} = 27 + 9 = 36$
$n=4$ માટે: $4^{3} + 4^{2} = 64 + 16 = 80$
આ પેટર્ન મુજબ,$n=5$ માટેનું આગામી પદ:
$5^{3} + 5^{2} = 125 + 25 = 150$

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક તપાસો:
$2 \times 3 + 12 = 18$
$18 \times 3 + 12 = 66$
$66 \times 3 + 12 = 210$
$210 \times 3 + 12 = 642$
વૈકલ્પિક રીતે,દરેક પદ $T_n$ એ $T_{n+1} = (T_n + 4) \times 3$ ના નિયમને અનુસરે છે.
છેલ્લા પદ માટે આ નિયમ લાગુ પાડતા:
$(642 + 4) \times 3 = 646 \times 3 = 1938$.

(A) આપેલ શ્રેણી $8, 64, 216, 512, \dots$ છે.
આ સંખ્યાઓને બેકી સંખ્યાઓના ઘન તરીકે લખી શકાય છે:
$2^3 = 8$
$4^3 = 64$
$6^3 = 216$
$8^3 = 512$
આ પેટર્નને અનુસરીને,પછીનું પદ $10$ નો ઘન હોવું જોઈએ.
તેથી,$10^3 = 1000$.

(B) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S = 3, 13, 27, 50, 87, 143, \dots$ છે.
પગલું $1$: પ્રથમ તફાવત શોધો:
$13 - 3 = 10$
$27 - 13 = 14$
$50 - 27 = 23$
$87 - 50 = 37$
$143 - 87 = 56$
પ્રથમ તફાવતની શ્રેણી $10, 14, 23, 37, 56$ છે.
પગલું $2$: દ્વિતીય તફાવત શોધો:
$14 - 10 = 4$
$23 - 14 = 9$
$37 - 23 = 14$
$56 - 37 = 19$
દ્વિતીય તફાવતની શ્રેણી $4, 9, 14, 19$ છે.
પગલું $3$: તૃતીય તફાવત શોધો:
$9 - 4 = 5$
$14 - 9 = 5$
$19 - 14 = 5$
તૃતીય તફાવત $5$ અચળ છે.
પગલું $4$: શ્રેણી આગળ વધારો:
દ્વિતીય તફાવતની શ્રેણીનું પછીનું પદ $19 + 5 = 24$ થશે.
પ્રથમ તફાવતની શ્રેણીનું પછીનું પદ $56 + 24 = 80$ થશે.
આપેલી શ્રેણીનું પછીનું પદ $143 + 80 = 223$ થશે.

(C) ચાલો આપેલી શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ: $4, 30, 160, 810, 4060, \dots$
પગલું $1$: $(4 + 2) \times 5 = 6 \times 5 = 30$
પગલું $2$: $(30 + 2) \times 5 = 32 \times 5 = 160$
પગલું $3$: $(160 + 2) \times 5 = 162 \times 5 = 810$
પગલું $4$: $(810 + 2) \times 5 = 812 \times 5 = 4060$
આ જ પેટર્નને અનુસરીને,પછીનું પદ છે:
$(4060 + 2) \times 5 = 4062 \times 5 = 20310$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો ગુણોત્તર શોધીને શ્રેણીની પેટર્ન તપાસો:
$72 / 108 = 2/3$
$48 / 72 = 2/3$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં દરેક પદને $2/3$ વડે ગુણવાથી પછીનું પદ મળે છે.
ધારો કે ખૂટતું પદ $x$ છે.
તેથી,$x = 243 \times (2/3) = 81 \times 2 = 162$.
ચકાસણી માટે,$162 \times (2/3) = 54 \times 2 = 108$.
આ પેટર્ન સાચી છે. આમ,ખૂટતી સંખ્યા $162$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણીમાં ભાત (pattern) તપાસો: $24, 96, 384, 1536$.
$24 \times 4 = 96$
$96 \times 4 = 384$
$384 \times 4 = 1536$
દરેક પદ અગાઉના પદને $4$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$24$ ની પહેલાનું ખૂટતું પદ $(x)$ શોધવા માટે: $x \times 4 = 24$.
$x = 24 / 4 = 6$.
તેથી,ખૂટતું પદ $6$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $336, 210, 120, x, 24$ છે.
ઘન (cubes) પર આધારિત પેટર્ન તપાસો:
$336 = 7^3 - 7 = 343 - 7 = 336$
$210 = 6^3 - 6 = 216 - 6 = 210$
$120 = 5^3 - 5 = 125 - 5 = 120$
આ પેટર્ન મુજબ,પછીનું પદ $4^3 - 4 = 64 - 4 = 60$ હોવું જોઈએ.
છેલ્લું પદ તપાસતા: $3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.
આમ,ખૂટતું પદ $60$ છે.

(C) શ્રેણીમાં તર્ક નીચે મુજબ છે:
$5 \times 2 + 4 = 14$
$14 \times 2 + 4 = 32$
$32 \times 2 + 4 = 68$
$68 \times 2 + 4 = 140$
તેથી,ખૂટતું પદ $68$ છે.

(A) શ્રેણીમાં તર્ક તપાસો:
$2 \times 4 + 12 = 20$
$20 \times 4 + 12 = 92$
$92 \times 4 + 14 = 382$
$382 \times 4 + 4 = 1532$
આ શ્રેણીમાં ખૂટતી સંખ્યા $92$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણીની પેટર્ન તપાસો:
$5 = 1^2 + 4$
$10 = 2^2 + 6$ (આ પદ $n^2 + 4$ ની પેટર્ન અનુસરતું નથી)
$13 = 3^2 + 4$
$20 = 4^2 + 4$
$29 = 5^2 + 4$
$10$ સિવાયના તમામ પદો $n^2 + 4$ ની પેટર્ન અનુસરે છે,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે.
તેથી,અસંગત પદ $10$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $4096, 3072, 2048, 1728, 1296$.
અહીં,$1728$ એ $12^3$ $(12 \times 12 \times 12)$ છે,જે એક પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.
બાકીની સંખ્યાઓ $4096$ ($16^3$ છે પણ તે $2^{12}$ પણ છે),$3072$,$2048$,અને $1296$ પૂર્ણ ઘન નથી.
તેથી,$1728$ એ અસંગત પદ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $n = 1, 2, 3, 4, 5$ માટે $n^{3} + n$ પેટર્ન અનુસરે છે.
$n=1$ માટે: $1^{3} + 1 = 1 + 1 = 2$
$n=2$ માટે: $2^{3} + 2 = 8 + 2 = 10$
$n=3$ માટે: $3^{3} + 3 = 27 + 3 = 30$
$n=4$ માટે: $4^{3} + 4 = 64 + 4 = 68$
$n=5$ માટે: $5^{3} + 5 = 125 + 5 = 130$
આપેલ શ્રેણી $2, 10, 30, 70, 130$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $70$ એ ખોટું પદ છે કારણ કે સાચી કિંમત $68$ હોવી જોઈએ.
તેથી,અસંગત સંખ્યા $70$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરો: $10, 25, 49, 81, 121$.
સંખ્યાઓની પેટર્ન તપાસો:
$25 = 5^2$
$49 = 7^2$
$81 = 9^2$
$121 = 11^2$
$10$ સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ $5$ થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના વર્ગ છે.
તેથી,$10$ એ અલગ પડતી સંખ્યા છે.

(C) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$190 - 166 = 24$
$166 - 145 = 21$
$145 - 128 = 17$
$128 - 112 = 16$
$112 - 100 = 12$
$100 - 91 = 9$
હવે,તફાવતોનો તફાવત જોઈએ:
$24 - 21 = 3$
$21 - 17 = 4$
$17 - 16 = 1$
તફાવતની શ્રેણી આદર્શ રીતે $24, 21, 18, 15, 12, 9$ જેવી ઘટતી શ્રેણી હોવી જોઈએ.
જો આપણે $128$ ને $127$ વડે બદલીએ,તો શ્રેણી $190, 166, 145, 127, 112, 100, 91$ બને છે.
તફાવત આ મુજબ થશે:
$190 - 166 = 24$
$166 - 145 = 21$
$145 - 127 = 18$
$127 - 112 = 15$
$112 - 100 = 12$
$100 - 91 = 9$
આ એક સુસંગત પેટર્ન બનાવે છે જ્યાં તફાવત દરેક વખતે $3$ જેટલો ઘટે છે.
તેથી,$128$ એ અસંગત પદ છે.

(C) આ શ્રેણીમાં $2$ વડે ગુણીને $1$ ઉમેરવા અને ત્યારબાદ $3$ વડે ગુણીને $1$ ઉમેરવાની પ્રક્રિયા વારાફરતી થાય છે.
$1 \times 2 + 1 = 3$
$3 \times 3 + 1 = 10$
$10 \times 2 + 1 = 21$
$21 \times 3 + 1 = 64$
$64 \times 2 + 1 = 129$
$129 \times 3 + 1 = 388$ ($356$ ના બદલે)
$388 \times 2 + 1 = 777$
આમ,$356$ એ શ્રેણીના તર્ક સાથે બંધબેસતું નથી,તેથી તે અસંગત પદ છે.

(C) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$445 \div 2 - 1 = 222.5 - 1 = 221.5$ (આશરે $221$)
$221 \div 2 - 1 = 110.5 - 1 = 109.5$ (આશરે $109$)
$109 \div 2 - 1 = 54.5 - 1 = 53.5$ (અપેક્ષિત $53.5$ છે,પરંતુ $46$ આપેલ છે)
$53.5 \div 2 - 1 = 26.75 - 1 = 25.75$ (આશરે $25$)
$25 \div 2 - 1 = 12.5 - 1 = 11.5$ (આશરે $11$)
$11 \div 2 - 1 = 5.5 - 1 = 4.5$ (આશરે $4$)
$(x \div 2 - 1)$ પેટર્ન મુજબ,$46$ સંખ્યા શ્રેણીમાં બંધબેસતી નથી કારણ કે અપેક્ષિત મૂલ્ય $53.5$ છે.

(B) પ્રથમ હરોળ માટેની પેટર્ન આ મુજબ છે:
$4 \times 1 + 2 = 6$
$6 \times 2 + 3 = 15$
$15 \times 3 + 4 = 49$
$49 \times 4 + 5 = 201$
$201 \times 5 + 6 = 1011$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળમાં $15$ થી શરૂઆત કરતા:
$A = 15 \times 1 + 2 = 17$
$B = 17 \times 2 + 3 = 37$
$C = 37 \times 3 + 4 = 115$
$D = 115 \times 4 + 5 = 465$
આમ,$D$ ની કિંમત $465$ છે.

(B) આ શ્રેણી નીચે મુજબના તર્કને અનુસરે છે: $\times 1^2 + 1^2, \times 2 - 2, \times 3^2 + 3^2, \times 4 - 4, \dots$
પગલું $1$: $A = 4 \times 1^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ ગણો.
પગલું $2$: $B = 5 \times 2 - 2 = 10 - 2 = 8$ ગણો.
પગલું $3$: $C = 8 \times 3^2 + 3^2 = 8 \times 9 + 9 = 72 + 9 = 81$ ગણો.
તેથી,$C$ ની કિંમત $81$ છે.

(D) આ શ્રેણીમાં એકાંતરે પદો માટે ચોક્કસ તર્ક રહેલો છે.
આપેલ વિકલ્પો અને શ્રેણીના તર્ક મુજબ,$B$ ની કિંમત $228$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $228$ છે.

(A) પ્રથમ હરોળ અને બીજી હરોળની સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સંબંધ તપાસો.
બીજી હરોળમાં પ્રથમ સંખ્યા $34$ છે.
તર્ક મુજબ,દરેક અંકમાં $2$ ઉમેરતા:
$3+2 = 5$
$4+2 = 6$
તેથી,$A = 56$ મળે છે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$(-1) \times 5 + 5 = 0$
$0 \times 5 + 10 = 10$
$10 \times 5 + 15 = 65$
$65 \times 5 + 20 = 345$
$345 \times 5 + 25 = 1750$
હવે $-2$ થી શરૂ કરીને બીજી હરોળમાં સમાન તર્ક લાગુ કરો:
$A = (-2) \times 5 + 5 = -10 + 5 = -5$
$B = (-5) \times 5 + 10 = -25 + 10 = -15$
$C = (-15) \times 5 + 15 = -75 + 15 = -60$
$D = (-60) \times 5 + 20 = -300 + 20 = -280$
$E = (-280) \times 5 + 25 = -1400 + 25 = -1375$
તેથી,$E$ ની કિંમત $-1375$ છે.