Simple Interest Questions in Hindi

(A) साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$
जहाँ:
$P$ (मूलधन) = $Rs. 800$
$R$ (ब्याज की दर) = $5 \%$ प्रति वर्ष
$T$ (समय) = $3$ वर्ष
सूत्र में मान रखने पर:
$SI = \frac{800 \times 5 \times 3}{100}$
$SI = 8 \times 5 \times 3$
$SI = 40 \times 3 = 120$
अतः,साधारण ब्याज $Rs. 120$ है।

(C) साधारण ब्याज $(S.I.)$ का सूत्र इस प्रकार है: $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$
यहाँ,मूलधन $(P)$ = $Rs. 600$,साधारण ब्याज $(S.I.)$ = $Rs. 120$,और दर $(R)$ = $10 \%$.
सूत्र में मान रखने पर:
$120 = \frac{600 \times 10 \times T}{100}$
$120 = 60 \times T$
$T = \frac{120}{60} = 2$ वर्ष।
अतः,$2$ वर्ष का समय लगेगा।

(D) साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
दिया गया है: मूलधन $(P)$ = $Rs. 15000$,साधारण ब्याज $(SI)$ = $Rs. 4500$,समय $(T)$ = $5$ वर्ष।
दर $(R)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{SI \times 100}{P \times T}$।
मान रखने पर: $R = \frac{4500 \times 100}{15000 \times 5}$।
$R = \frac{450000}{75000} = 6 \%$।
अतः,ब्याज की दर $6 \%$ है।

(A) समय अंतराल में कुल राशि का अंतर $1400 - 1100 = Rs. 300$ है。
समय में अंतर $6 - 2 = 4$ वर्ष है。
चूंकि ब्याज $S.I.$ है,इसलिए $1$ वर्ष का ब्याज $\frac{300}{4} = Rs. 75$ है。
$2$ वर्षों के लिए,कुल $S.I. = 75 \times 2 = Rs. 150$ है。
मूलधन $P = \text{मिश्रधन} - S.I. = 1100 - 150 = Rs. 950$ है。
ब्याज की दर $R = \frac{S.I. \times 100}{P \times T} = \frac{75 \times 100}{950 \times 1} = \frac{7500}{950} = \frac{150}{19} = 7 \frac{17}{19} \%$ है。

(B) माना कि मूलधन $P$ है।
चूंकि धनराशि दोगुनी हो जाती है, इसलिए अंतिम राशि $2P$ हो जाती है।
अतः प्राप्त साधारण ब्याज (SI)
$SI = \text{मिश्रधन} - \text{मूलधन} = 2P - P = P$ होगा।
यहाँ समय अवधि $T = 8$ वर्ष दी गई है।
ब्याज की दर $(R)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$R = \frac{100 \times SI}{P \times T}$
मान रखने पर:
$R = \frac{100 \times P}{P \times 8} = \frac{100}{8} = 12.5\%$
अतः प्रति वर्ष ब्याज की दर $12.5\%$ है।

(B) साधारण ब्याज में मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P + \frac{P \times R \times T}{100}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है और $T$ समय है।
दिया गया है: $A = 450$,$R = 10 \%$,$T = 2 \text{ वर्ष}$.
मान रखने पर: $450 = P + \frac{P \times 10 \times 2}{100}$.
$450 = P + \frac{20P}{100} = P + 0.2P = 1.2P$.
$P = \frac{450}{1.2} = 375$.
अतः,उधार दी गई राशि $Rs. 375$ है।

(B) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = $Rs. 22400$,दर $(R)$ = $12\%$,समय $(T)$ = $7$ वर्ष।
साधारण ब्याज $(S.I.)$ = $\frac{P \times R \times T}{100} = \frac{22400 \times 12 \times 7}{100} = 224 \times 84 = Rs. 18816$।
कुल राशि = मूलधन + साधारण ब्याज = $22400 + 18816 = Rs. 41216$।

(B) दिया गया है: मूलधन $(P) = Rs. 7000$,मिश्रधन $(A) = Rs. 10500$,दर $(R) = 5 \% \text{ वार्षिक}$.
साधारण ब्याज $(SI) = A - P = 10500 - 7000 = Rs. 3500$.
साधारण ब्याज का सूत्र: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$.
मान रखने पर: $3500 = \frac{7000 \times 5 \times T}{100}$.
$3500 = 70 \times 5 \times T$.
$3500 = 350 \times T$.
$T = \frac{3500}{350} = 10 \text{ वर्ष}$.

(D) साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
दिया गया है: $SI = 4016.25$,$R = 9 \%$,$T = 5 \text{ वर्ष}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$4016.25 = \frac{P \times 9 \times 5}{100}$
$4016.25 = \frac{P \times 45}{100}$
$4016.25 = P \times 0.45$
$P = \frac{4016.25}{0.45}$
$P = 8925$.
अतः,मूलधन $Rs. 8925$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है।
दिया गया है कि राशि $6$ वर्षों में $2P$ हो जाती है,इसलिए साधारण ब्याज $(SI)$ = $\text{मिश्रधन }- \text{मूलधन }= 2P - P = P$ होगा।
सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करते हुए,$P = \frac{P \times R \times 6}{100}$।
$R$ के लिए हल करने पर,हमें $R = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \%$ प्रति वर्ष प्राप्त होता है।
अब,हम चाहते हैं कि राशि $4P$ हो जाए।
इसका अर्थ है कि आवश्यक $SI = 4P - P = 3P$ होगा।
पुनः सूत्र का उपयोग करते हुए: $3P = \frac{P \times (50/3) \times T}{100}$।
$3 = \frac{50 \times T}{300} \Rightarrow 3 = \frac{T}{6} \Rightarrow T = 18$ वर्ष।

(C) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R \%$ है।
$3$ वर्षों का ब्याज $= 800 - P$ और $4$ वर्षों का ब्याज $= 840 - P$ है।
$1$ वर्ष का ब्याज $= 840 - 800 = Rs. 40$ है।
यदि हम $800$ को मूलधन मानते हैं (प्रश्न के संदर्भ के अनुसार),तो ब्याज की दर $= \frac{40 \times 100}{800 \times 1} = 5 \%$ है।

(C) माना मूल राशि $P$ है।
दिया गया है: समय $T = 12$ वर्ष,दर $R_1 = 8 \%$,दर $R_2 = 12 \%$,लाभ $= 320$.
आशीष से प्राप्त साधारण ब्याज: $SI_2 = \frac{P \times T \times R_2}{100} = \frac{P \times 12 \times 12}{100} = \frac{144P}{100}$.
बैंक को भुगतान किया गया साधारण ब्याज: $SI_1 = \frac{P \times T \times R_1}{100} = \frac{P \times 12 \times 8}{100} = \frac{96P}{100}$.
लाभ प्राप्त ब्याज और भुगतान किए गए ब्याज के बीच का अंतर है:
$SI_2 - SI_1 = 320$
$\frac{144P}{100} - \frac{96P}{100} = 320$
$\frac{48P}{100} = 320$
$P = \frac{320 \times 100}{48} = \frac{32000}{48} = \frac{2000}{3} \approx 666.67$.
अतः,मूल राशि $Rs. 666.67$ है।

(D) माना कि वार्षिक किस्त $A$ है।
$T$ वर्षों में $R \%$ साधारण ब्याज की दर से $P$ ऋण को चुकाने के लिए वार्षिक किस्त का सूत्र है:
$A = \frac{100 P}{100 T + \frac{R T (T - 1)}{2}}$
दिया गया है:
$P = 1092$
$T = 3$
$R = 12$
सूत्र में मान रखने पर:
$A = \frac{100 \times 1092}{100 \times 3 + \frac{12 \times 3 \times (3 - 1)}{2}}$
$A = \frac{109200}{300 + \frac{12 \times 3 \times 2}{2}}$
$A = \frac{109200}{300 + 36}$
$A = \frac{109200}{336}$
$A = 325$
अतः,वार्षिक किस्त $Rs. 325$ होगी।

(C) माना कि दो राशियाँ $P_1$ और $P_2$ हैं। दिया गया है $R_1 = 6 \%$,$R_2 = 7 \%$ और $T = 2$ वर्ष।
कुल ब्याज का सूत्र: $\frac{P_1 \times 6 \times 2}{100} + \frac{P_2 \times 7 \times 2}{100} = 354$.
इसे सरल करने पर: $\frac{12P_1 + 14P_2}{100} = 354 \Rightarrow 12P_1 + 14P_2 = 35400 \Rightarrow 6P_1 + 7P_2 = 17700$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि पहली राशि का एक-चौथाई दूसरी राशि के एक-पांचवें हिस्से के बराबर है: $\frac{P_1}{4} = \frac{P_2}{5} \Rightarrow P_2 = \frac{5P_1}{4}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $6P_1 + 7(\frac{5P_1}{4}) = 17700$.
$4$ से गुणा करने पर: $24P_1 + 35P_1 = 70800 \Rightarrow 59P_1 = 70800 \Rightarrow P_1 = 1200$.
अतः $P_2 = \frac{5 \times 1200}{4} = 1500$.
निवेश की गई कुल राशि $= P_1 + P_2 = 1200 + 1500 = 2700$।

(A) मान लीजिए योजना $A$ में निवेश की गई राशि $Rs. x$ है जो $14 \%$ की दर पर है।
अतः,योजना $B$ में निवेश की गई राशि $Rs. (13900 - x)$ है जो $11 \%$ की दर पर है।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2$ $\text{वर्ष}$ के बाद कुल ब्याज $Rs. 3508$ है।
$\frac{x \times 14 \times 2}{100} + \frac{(13900 - x) \times 11 \times 2}{100} = 3508$
पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर:
$28x + 22(13900 - x) = 350800$
$28x + 305800 - 22x = 350800$
$6x = 350800 - 305800$
$6x = 45000$
$x = 7500$
इस प्रकार,योजना $A$ में निवेश की गई राशि $Rs. 7500$ है।
योजना $B$ में निवेश की गई राशि $13900 - 7500 = Rs. 6400$ है।

(B) फाइनेंसर हर छह महीने में ब्याज की गणना करता है,जिसका अर्थ है कि ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित (compounded) हो रहा है।
माना मूलधन $P = 100$ है।
वार्षिक ब्याज दर $10 \%$ है,इसलिए अर्ध-वार्षिक दर $r = \frac{10}{2} = 5 \%$ होगी।
एक वर्ष के लिए,दो चक्रवृद्धि अवधि होती हैं।
एक वर्ष के बाद की राशि $A = P(1 + \frac{r}{100})^n = 100(1 + \frac{5}{100})^2$ होगी।
$A = 100(1.05)^2 = 100 \times 1.1025 = 110.25$।
एक वर्ष में अर्जित ब्याज $110.25 - 100 = 10.25$ है।
अतः,ब्याज की प्रभावी दर $\frac{10.25}{100} \times 100 = 10.25 \%$ है।

(D) मान लीजिए कि ब्याज की मूल दर $R \%$ है। तो,नई ब्याज दर $(2R) \%$ होगी।
$Rs. 725$ की पहली राशि $1$ वर्ष ($12$ महीने) के लिए उधार दी जाती है।
$Rs. 362.50$ की दूसरी राशि $4$ महीने के लिए उधार दी जाती है (चूंकि यह $8$ महीने बाद उधार दी गई थी,इसलिए वर्ष में शेष समय $12 - 8 = 4$ महीने है,जो $4/12 = 1/3$ वर्ष है)।
साधारण ब्याज के सूत्र $SI = (P \times R \times T) / 100$ का उपयोग करते हुए:
पहले ऋण से ब्याज $= (725 \times R \times 1) / 100$
दूसरे ऋण से ब्याज $= (362.50 \times 2R \times 1/3) / 100$
कुल ब्याज $= 33.50$
$(725R / 100) + (725R / 300) = 33.50$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $300$ से गुणा करने पर:
$3(725R) + 725R = 33.50 \times 300$
$2175R + 725R = 10050$
$2900R = 10050$
$R = 10050 / 2900 \approx 3.4655 \%$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मूल दर लगभग $3.46 \%$ है।

(A) जनसंख्या में प्रति वर्ष $10 \%$ की चक्रवृद्धि दर से वृद्धि होती है।
$n$ वर्षों के बाद जनसंख्या के लिए सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक जनसंख्या $(P)$ = $125000$
दर $(r)$ = $10 \%$
समय $(n)$ = $3$ वर्ष
गणना:
$A = 125000 \times (1 + \frac{10}{100})^3$
$A = 125000 \times (1.1)^3$
$A = 125000 \times 1.331$
$A = 166375$
अतः,$3$ वर्षों के बाद जनसंख्या $166375$ होगी।

(D) दिया गया है: मूलधन $(P) = Rs. 1500$,मिश्रधन $(A) = Rs. 3000$,समय $(T) = 5 \text{ वर्ष}$.
साधारण ब्याज $(SI) = A - P = 3000 - 1500 = Rs. 1500$.
सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करके,हम प्रारंभिक दर $(R)$ ज्ञात करते हैं:
$1500 = \frac{1500 \times R \times 5}{100} \Rightarrow R = \frac{1500 \times 100}{1500 \times 5} = 20 \%$.
यदि ब्याज दर $1 \%$ बढ़ा दी जाए,तो नई दर $(R') = 20 \% + 1 \% = 21 \%$.
अब,नया साधारण ब्याज $(SI')$ की गणना करें:
$SI' = \frac{1500 \times 21 \times 5}{100} = 15 \times 105 = Rs. 1575$.
नया मिश्रधन $(A') = P + SI' = 1500 + 1575 = Rs. 3075$.

(B) मान लीजिए कि उधार ली गई मूलधन राशि $P$ है।
यह दिया गया है कि $7$ वर्षों की अवधि में भुगतान किया गया कुल साधारण ब्याज $(SI)$ $Rs. 19550$ है।
ब्याज की गणना तीन भागों में की जाती है:
$1$. पहले $3$ वर्षों के लिए $4$ $p.c.p.a.$ की दर से: $SI_1 = \frac{P \times 4 \times 3}{100} = \frac{12P}{100}$
$2$. अगले $2$ वर्षों के लिए $8$ $p.c.p.a.$ की दर से: $SI_2 = \frac{P \times 8 \times 2}{100} = \frac{16P}{100}$
$3$. शेष अवधि के लिए ($7 - 3 - 2 = 2$ वर्ष) $9$ $p.c.p.a.$ की दर से: $SI_3 = \frac{P \times 9 \times 2}{100} = \frac{18P}{100}$
कुल $SI = SI_1 + SI_2 + SI_3 = 19550$
$\frac{12P + 16P + 18P}{100} = 19550$
$\frac{46P}{100} = 19550$
$P = \frac{19550 \times 100}{46} = 42500$
अतः,उधार ली गई कुल राशि $Rs. 42500$ है।

(B) माना मूलधन $P = 100$ है।
$8$ वर्ष बाद राशि तिगुनी हो जाती है,इसलिए मिश्रधन $A = 300$ है।
साधारण ब्याज $(SI)$ = $A - P = 300 - 100 = 200$ है।
सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करते हुए,$200 = \frac{100 \times R \times 8}{100}$।
$R = \frac{200}{8} = 25\%$।
अब,$T = 20$ वर्षों के लिए,नया साधारण ब्याज $SI = \frac{100 \times 25 \times 20}{100} = 500$ होगा।
$20$ वर्षों के बाद कुल राशि $A = P + SI = 100 + 500 = 600$ होगी।
अतः,वह राशि मूल राशि का $\frac{600}{100} = 6$ गुना हो जाएगी।

(B) माना कि तीन भाग $a, b,$ और $c$ हैं। प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक भाग पर साधारण ब्याज समान है।
$\frac{a \times 4 \times 1}{100} = \frac{b \times 4 \times 2}{100} = \frac{c \times 4 \times 3}{100}$
सरल करने पर:
$4a = 8b = 12c$
$4$ से भाग देने पर:
$a = 2b = 3c = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$a = k, b = k/2, c = k/3$।
अनुपात ज्ञात करने के लिए $6$ से गुणा करने पर:
$a:b:c = 6:3:2$।
भागों का योग $6x + 3x + 2x = 11x = 2189$ है।
$x = 2189 / 11 = 199$।
सबसे छोटा भाग $2x$ है:
सबसे छोटा भाग $= 2 \times 199 = Rs. 398$।

(C) मान लीजिए कि योजनाओं $A, B,$ और $C$ में निवेश की गई राशि क्रमशः $x, y,$ और $z$ है।
दिया गया है: $x + y + z = 65,000$ $(i)$
दिया गया है: $x = 0.72z = \frac{18}{25}z$ (ii)
एक वर्ष में अर्जित कुल ब्याज: $0.12x + 0.16y + 0.18z = 10,180$
$100$ से गुणा करने पर: $12x + 16y + 18z = 1,018,000$
$2$ से भाग देने पर: $6x + 8y + 9z = 509,000$ (iii)
$x = \frac{18}{25}z$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{18}{25}z + y + z = 65,000 \Rightarrow \frac{43}{25}z + y = 65,000 \Rightarrow y = 65,000 - \frac{43}{25}z$ (iv)
$x$ और $y$ के मानों को (iii) में रखने पर: $6(\frac{18}{25}z) + 8(65,000 - \frac{43}{25}z) + 9z = 509,000$
$\frac{108}{25}z + 520,000 - \frac{344}{25}z + 9z = 509,000$
$9z - \frac{236}{25}z = 509,000 - 520,000$
$\frac{225z - 236z}{25} = -11,000$
$-\frac{11}{25}z = -11,000 \Rightarrow z = 25,000$
अब,(iv) का उपयोग करके $y$ ज्ञात करें: $y = 65,000 - \frac{43}{25}(25,000) = 65,000 - 43,000 = 22,000$.
अतः,योजना $B$ में निवेश की गई राशि $Rs. 22,000$ है।

(A) जनसंख्या वृद्धि चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र का पालन करती है: $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$.
यहाँ,प्रारंभिक जनसंख्या $P = 100000$,वृद्धि दर $r = 5 \%$,और समय अवधि $n = 3$ वर्ष है।
$A = 100000(1 + \frac{5}{100})^3$
$A = 100000(1 + 0.05)^3$
$A = 100000(1.05)^3$
$A = 100000 \times 1.157625$
$A = 115762.5$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$3$ वर्ष बाद जनसंख्या लगभग $115763$ होगी। दिए गए विकल्पों में से,$115760$ सबसे निकटतम मान है।

(D) माना कि पहला भाग $x$ है और दूसरा भाग $(1521 - x)$ है।
पहले भाग के लिए दिया गया है: $R_1 = 10\%$,$T_1 = 5$ वर्ष।
दूसरे भाग के लिए दिया गया है: $R_2 = 8\%$,$T_2 = 10$ वर्ष।
प्रश्न के अनुसार,दोनों भागों पर साधारण ब्याज बराबर है:
$\frac{x \times 10 \times 5}{100} = \frac{(1521 - x) \times 8 \times 10}{100}$
$50x = 80(1521 - x)$
दोनों पक्षों को $10$ से विभाजित करने पर:
$5x = 8(1521 - x)$
$5x = 12168 - 8x$
$13x = 12168$
$x = \frac{12168}{13} = 936$
अतः,पहला भाग $Rs. 936$ है।
दूसरा भाग $1521 - 936 = Rs. 585$ है।

(D) दिया गया है: $P_1 = Rs. 600$,$T_1 = 2$ वर्ष,$P_2 = Rs. 150$,$T_2 = 4$ वर्ष। मान लीजिए ब्याज की दर $R \%$ प्रति वर्ष है।
साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
प्राप्त कुल ब्याज $SI_1 + SI_2 = Rs. 80$ है।
मान रखने पर: $\frac{600 \times R \times 2}{100} + \frac{150 \times R \times 4}{100} = 80$.
समीकरण को सरल करने पर: $12R + 6R = 80$.
$18R = 80$.
$R = \frac{80}{18} = \frac{40}{9} = 4 \frac{4}{9} \%$.

(C) दिया गया है,मूलधन $(P) = Rs. 20000$.
ब्याज की दर $(R) = 13 \%$ वार्षिक।
चूंकि ब्याज साधारण ब्याज $(SI)$ है,इसलिए ब्याज की गणना की आवृत्ति (अर्ध-वार्षिक) साधारण ब्याज की गणना विधि को प्रभावित नहीं करती है।
समय $(T) = 42 \,\text{महीने }= \frac{42}{12} \,\text{वर्ष }= 3.5 \,\text{वर्ष }= \frac{7}{2} \,\text{वर्ष}$.
साधारण ब्याज का सूत्र: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$.
$SI = \frac{20000 \times 13 \times 3.5}{100} = 200 \times 13 \times 3.5 = 2600 \times 3.5 = Rs. 9100$.
कुल राशि $(A) = P + SI = 20000 + 9100 = Rs. 29100$.

(D) माना समय $T$ वर्ष है।
कुल कर्ज (मिश्रधन) $A = P + SI = P + \frac{P \times R \times T}{100}$ के रूप में गणना की जाती है।
गौरव के लिए: $P_1 = 800, R_1 = 6 \%$.
कर्ज $A_1 = 800 + \frac{800 \times 6 \times T}{100} = 800 + 48T$.
नरेश के लिए: $P_2 = 600, R_2 = 10 \%$.
कर्ज $A_2 = 600 + \frac{600 \times 10 \times T}{100} = 600 + 60T$.
प्रश्न के अनुसार,दोनों का कर्ज बराबर है:
$800 + 48T = 600 + 60T$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$800 - 600 = 60T - 48T$.
$200 = 12T$.
$T$ का मान ज्ञात करने पर:
$T = \frac{200}{12} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3} \text{ वर्ष}$.

(C) माना वार्षिक किस्त $x$ है।
ऋण का भुगतान $2$ वर्षों में किया जाता है। पहले वर्ष के अंत में दी गई $x$ की पहली किस्त $(2-1) = 1$ वर्ष के लिए ब्याज अर्जित करेगी।
दूसरी किस्त $x$ दूसरे वर्ष के अंत में दी जाती है और उस पर कोई ब्याज नहीं मिलता है।
कुल भुगतान की गई राशि = (किस्त $1$ + पहली किस्त पर ब्याज) + (किस्त $2$)
कुल राशि = $x + \frac{x \times 12 \times 1}{100} + x = 1092$
$x + 0.12x + x = 1092$
$2.12x = 1092$
$x = \frac{1092}{2.12} = 515.09$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,वार्षिक किस्त $Rs. 515$ है।

(B) दिया गया है: वार्षिक भुगतान $= Rs. 160$,दर $(R) = 5 \%$,समय $(T) = 5$ वर्ष।
माना कुल ऋण $P$ है।
$T$ वर्षों में $R \%$ साधारण ब्याज पर $P$ ऋण चुकाने के लिए वार्षिक भुगतान का सूत्र है:
$\text{वार्षिक भुगतान} = \frac{100 P}{100 T + \frac{R T (T - 1)}{2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$160 = \frac{100 P}{100(5) + \frac{5 \times 5(5 - 1)}{2}}$
$160 = \frac{100 P}{500 + \frac{25 \times 4}{2}}$
$160 = \frac{100 P}{500 + 50}$
$160 = \frac{100 P}{550}$
$P$ के लिए हल करने पर:
$P = \frac{160 \times 550}{100}$
$P = 16 \times 55 = 880$
अतः,कुल ऋण $Rs. 880$ है।

(B) दिया गया है कि,वर्तमान जनसंख्या $P = 370440$,वृद्धि दर $R = 5 \%$ और समय $n = 3$ वर्ष है।
$n$ वर्ष पहले की जनसंख्या ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{जनसंख्या} = \frac{P}{(1 + \frac{R}{100})^n}$
मान रखने पर:
$\text{जनसंख्या} = \frac{370440}{(1 + \frac{5}{100})^3} = \frac{370440}{(1.05)^3} = \frac{370440}{(\frac{21}{20})^3}$
$= \frac{370440 \times 20 \times 20 \times 20}{21 \times 21 \times 21}$
$= \frac{370440 \times 8000}{9261}$
$= 40 \times 8000 = 320000$
चूंकि $320000$ का अर्थ $3.2$ लाख है,इसलिए $3$ वर्ष पहले जनसंख्या $3.2$ लाख थी।

(D) प्रारंभिक जनसंख्या $P = 5000$ है।
$1$ले वर्ष में,जनसंख्या में $10 \%$ की वृद्धि होती है।
$P_1 = 5000 + (10/100) \times 5000 = 5000 + 500 = 5500$.
$2$रे वर्ष में,जनसंख्या में $20 \%$ की कमी होती है।
$P_2 = 5500 - (20/100) \times 5500 = 5500 - 1100 = 4400$.
$3$रे वर्ष में,जनसंख्या में $30 \%$ की वृद्धि होती है।
$P_3 = 4400 + (30/100) \times 4400 = 4400 + 1320 = 5720$.
अतः,$3$ वर्षों के अंत में जनसंख्या $5720$ होगी।

(C) दिया गया है कि कार का प्रारंभिक मूल्य,$P = Rs. 400000$ है।
मूल्यह्रास (depreciation) की दर $R = 10\%$ प्रति वर्ष है।
समय अवधि $n = 3$ वर्ष है।
मूल्यह्रास के सूत्र का उपयोग करते हुए: $A = P(1 - \frac{R}{100})^n$.
मान रखने पर: $A = 400000 \times (1 - \frac{10}{100})^3$.
$A = 400000 \times (\frac{90}{100})^3$.
$A = 400000 \times (0.9)^3$.
$A = 400000 \times 0.729$.
$A = 291600$.
अतः,$3$ साल बाद कार की कीमत $Rs. 291600$ होगी।

(A) हेमंत की प्रारंभिक आय,$P = Rs. 4000$ है।
माना $r_1$ (कमी की दर) $= 10\%$,$r_2$ (कमी की दर) $= 5\%$,और $r_3$ (वृद्धि की दर) $= 15\%$ है।
तीन वर्षों के बाद अंतिम आय की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{अंतिम आय} = P \times \left(1 - \frac{r_1}{100}\right) \times \left(1 - \frac{r_2}{100}\right) \times \left(1 + \frac{r_3}{100}\right)$
मान रखने पर:
$\text{अंतिम आय} = 4000 \times \left(1 - \frac{10}{100}\right) \times \left(1 - \frac{5}{100}\right) \times \left(1 + \frac{15}{100}\right)$
$= 4000 \times \frac{90}{100} \times \frac{95}{100} \times \frac{115}{100}$
$= 4000 \times 0.9 \times 0.95 \times 1.15$
$= 3600 \times 0.95 \times 1.15$
$= 3420 \times 1.15 = 3933$
अतः,तीसरे वर्ष के अंत में उसकी आय $Rs. 3933$ है।

(B) माना कि प्रथम वर्ष की शुरुआत में जनसंख्या $a$ है।
प्रश्न के अनुसार:
प्रथम वर्ष की वृद्धि: $a \times (1 + \frac{5}{100}) = a \times \frac{105}{100} = a \times \frac{21}{20}$.
दूसरे वर्ष की कमी: $(a \times \frac{21}{20}) \times (1 - \frac{5}{100}) = (a \times \frac{21}{20}) \times \frac{95}{100} = (a \times \frac{21}{20}) \times \frac{19}{20}$.
दिया गया है कि अंतिम जनसंख्या $47880$ है:
$a \times \frac{21}{20} \times \frac{19}{20} = 47880$.
$a \times \frac{399}{400} = 47880$.
$a = \frac{47880 \times 400}{399}$.
$a = 120 \times 400 = 48000$.
अतः,प्रथम वर्ष की शुरुआत में जनसंख्या $48000$ थी।

(A) हम वर्ष $2011$ से जनसंख्या वृद्धि दर और प्रवास दर का विश्लेषण करते हैं।
वृद्धि दर $A.P.$ का पालन करती है जिसमें पहला पद $a = 5$ और सामान्य अंतर $d = 5$ है। वर्ष $n$ के लिए दर $R_g(n) = 5n$ है।
प्रवास दर $G.P.$ का पालन करती है जिसमें पहला पद $a = 1$ और सामान्य अनुपात $r = 2$ है। वर्ष $n$ के लिए दर $R_m(n) = 1 \cdot 2^{n-1}$ है।
हम हर साल इन दरों की तुलना करते हैं:

वर्ष	वृद्धि दर $(A.P.)$	प्रवास दर $(G.P.)$
$2011$ $(n=1)$	$5 \%$	$1 \%$
$2012$ $(n=2)$	$10 \%$	$2 \%$
$2013$ $(n=3)$	$15 \%$	$4 \%$
$2014$ $(n=4)$	$20 \%$	$8 \%$
$2015$ $(n=5)$	$25 \%$	$16 \%$
$2016$ $(n=6)$	$30 \%$	$32 \%$

वर्ष $2016$ में,प्रवास दर $(32 \%)$ जनसंख्या वृद्धि दर $(30 \%)$ से अधिक हो जाती है। इसलिए,जनसंख्या में पहली गिरावट वर्ष $2016$ में देखी जाएगी।

(A) साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
यहाँ मिश्रधन $A = P + SI = 2750$,$R = 5 \%$,और $T = 2 \text{ वर्ष}$ दिया गया है।
$2750 = P + \frac{P \times 5 \times 2}{100} = P(1 + 0.1) = 1.1P$.
$P = \frac{2750}{1.1} = 2500$.
अब,हमें वह दर $R'$ ज्ञात करनी है जिससे समान मूलधन $P = 2500$ पर $T = 2 \text{ वर्ष}$ में $SI = 300$ ब्याज प्राप्त हो सके।
$300 = \frac{2500 \times R' \times 2}{100}$.
$300 = 50 \times R'$.
$R' = \frac{300}{50} = 6 \%$.
अतः,आवश्यक दर $6 \%$ है।

(A) माना मूल जमा राशि $Rs. x$ है।
चूंकि समय अवधि $T$ दोनों मामलों में समान है,साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $\frac{P \times R \times T}{100}$ है।
यह दिया गया है कि ब्याज आय समान रहती है:
$\frac{x \times 5 \times T}{100} = \frac{4000 \times 4.5 \times T}{100}$
दोनों पक्षों से $T$ और $100$ को हटाने पर:
$5x = 4000 \times 4.5$
$5x = 18000$
$x = \frac{18000}{5} = 3600$
अतः,मूल जमा राशि $Rs. 3600$ थी।

(B) माना मूलधन $P$ है और पहले मामले के लिए ब्याज की दर $R \%$ है।
पहले मामले के लिए: समय $T_1 = 4$ वर्ष,दर $R_1 = R \%$,मिश्रधन $A_1 = 1088$.
$A_1 = P(1 + \frac{R_1 T_1}{100}) \Rightarrow 1088 = P(1 + \frac{4R}{100})$.
दूसरे मामले के लिए: समय $T_2 = 3$ वर्ष,दर $R_2 = (R + 3) \%$,मिश्रधन $A_2 = 1088$.
$A_2 = P(1 + \frac{R_2 T_2}{100}) \Rightarrow 1088 = P(1 + \frac{3(R + 3)}{100})$.
चूंकि दोनों मिश्रधन समान हैं,हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$P(1 + \frac{4R}{100}) = P(1 + \frac{3(R + 3)}{100})$.
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर:
$1 + \frac{4R}{100} = 1 + \frac{3R + 9}{100}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{4R}{100} = \frac{3R + 9}{100}$.
$100$ से गुणा करने पर:
$4R = 3R + 9$.
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = 9$.
अतः,पहले मामले में ब्याज की दर $9 \%$ है।

(C) माना कुल निवेशित धन $P$ है। प्रश्न के अनुसार,कुल ब्याज तीन भागों से प्राप्त ब्याज का योग है:
$\text{ब्याज} = \frac{P}{3} \times \frac{4}{100} + \frac{P}{4} \times \frac{3}{100} + \left(P - \left(\frac{P}{3} + \frac{P}{4}\right)\right) \times \frac{5}{100} = 500$
$\Rightarrow \frac{4P}{300} + \frac{3P}{400} + \left(P - \frac{7P}{12}\right) \times \frac{5}{100} = 500$
$\Rightarrow \frac{4P}{300} + \frac{3P}{400} + \frac{5P}{12} \times \frac{5}{100} = 500$
$\Rightarrow \frac{16P}{1200} + \frac{9P}{1200} + \frac{25P}{1200} = 500$
$\Rightarrow \frac{50P}{1200} = 500$
$\Rightarrow \frac{P}{24} = 500$
$\Rightarrow P = 500 \times 24 = 12000$
अतः,कुल निवेशित धन $Rs. 12000$ है।

(A) माना $8 \%$ $p.a.$ की दर पर उधार ली गई राशि $Rs. x$ है।
अतः,$6 \%$ $p.a.$ की दर पर उधार ली गई राशि $Rs. (2500 - x)$ होगी।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
दिया गया है कि एक वर्ष के लिए कुल ब्याज $Rs. 180$ है,इसलिए:
$\frac{x \times 8 \times 1}{100} + \frac{(2500 - x) \times 6 \times 1}{100} = 180$
पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर:
$8x + 6(2500 - x) = 18000$
$8x + 15000 - 6x = 18000$
$2x = 18000 - 15000$
$2x = 3000$
$x = 1500$
अतः,$8 \%$ $p.a.$ की दर पर उधार ली गई राशि $Rs. 1500$ है।

(B) माना कुल राशि $P = Rs. 2540$ है और कुल वार्षिक ब्याज $SI = Rs. 312.42$ है।
सबसे पहले,ब्याज की औसत वार्षिक दर $(R_{avg})$ की गणना करें:
$R_{avg} = \frac{SI \times 100}{P \times T} = \frac{312.42 \times 100}{2540 \times 1} = \frac{31242}{2540} = 12.3 \%$.
अब,दोनों भागों का अनुपात ज्ञात करने के लिए एलिगेशन (alligation) विधि का उपयोग करें:
भाग $1$ की दर: $12 \%$
भाग $2$ की दर: $12.5 \%$
औसत दर: $12.3 \%$
अंतर $1$: $|12.5 - 12.3| = 0.2$
अंतर $2$: $|12.3 - 12.0| = 0.3$
राशि का अनुपात = $0.2 : 0.3 = 2 : 3$.
कुल भाग = $2 + 3 = 5$.
$12 \%$ पर उधार दी गई राशि = $\frac{2}{5} \times 2540 = 2 \times 508 = Rs. 1016$.

(A) माना कि पहला भाग $x$ है। तो दूसरा भाग $(38800 - x)$ होगा।
पहला भाग $6$ महीने ($0.5$ वर्ष) के लिए उधार दिया जाता है। पहले भाग पर ब्याज $I_1 = x \times 0.72 \times 0.5 = 0.36x$ है।
दूसरा भाग $1$ वर्ष के बाद उधार दिया जाता है। कुल समय $3$ वर्ष होने के कारण,दूसरा भाग $(3 - 1) = 2$ वर्षों के लिए उधार दिया जाता है। दूसरे भाग पर ब्याज $I_2 = (38800 - x) \times 0.05 \times 2 = 0.1(38800 - x)$ है।
ब्याज का अनुपात $5: 4$ दिया गया है:
$\frac{0.36x}{0.1(38800 - x)} = \frac{5}{4}$
$4 \times 0.36x = 5 \times 0.1(38800 - x)$
$1.44x = 0.5(38800 - x)$
$1.44x = 19400 - 0.5x$
$1.94x = 19400$
$x = 10000$
अतः,दूसरा भाग $(38800 - 10000) = 28800$ Rs. है।

(A) $January \, 1$ और $August \, 8$ के बीच के दिनों की संख्या (गैर-लीप वर्ष मानते हुए): $31 (Jan) + 28 (Feb) + 31 (Mar) + 30 (Apr) + 31 (May) + 30 (Jun) + 31 (Jul) + 8 (Aug) = 219 \text{ दिन}$.
यह अवधि वर्ष का $\frac{219}{365} = \frac{3}{5}$ भाग है।
अरुण को उसके $42$वें जन्मदिन पर $Rs. \, 42$ देने हैं। वह $P$ मूलधन को $7 \%$ की साधारण ब्याज दर पर $\frac{3}{5}$ वर्ष के लिए निवेश करता है।
साधारण ब्याज के सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करने पर:
$42 = \frac{P \times 7 \times 3}{100 \times 5}$
$42 = \frac{21 \times P}{500}$
$P = \frac{42 \times 500}{21} = 2 \times 500 = 1000$.
अतः,आवश्यक राशि $Rs. \, 1000$ है।

(C) कुल उधार दी गई राशि = $Rs. 10000$.
औसत ब्याज दर = $8.13 \%$.
कुल अर्जित ब्याज = $\frac{10000 \times 8.13}{100} = Rs. 813$.
पहले भाग से प्राप्त ब्याज = $2000$ का $8 \% = \frac{8}{100} \times 2000 = Rs. 160$.
दूसरे भाग से प्राप्त ब्याज = $4000$ का $7.5 \% = \frac{7.5}{100} \times 4000 = Rs. 300$.
तीसरे भाग से प्राप्त ब्याज = $1400$ का $8.5 \% = \frac{8.5}{100} \times 1400 = Rs. 119$.
इन तीन भागों से प्राप्त ब्याज का योग = $160 + 300 + 119 = Rs. 579$.
शेष राशि = $10000 - (2000 + 4000 + 1400) = 10000 - 7400 = Rs. 2600$.
शेष राशि पर आवश्यक ब्याज = $813 - 579 = Rs. 234$.
मान लीजिए कि शेष राशि के लिए ब्याज दर $y \%$ है।
अतः,$\frac{y}{100} \times 2600 = 234$.
$26y = 234$.
$y = \frac{234}{26} = 9$.
अतः,आवश्यक ब्याज दर $9 \%$ है।

(A) $12$ $\text{वर्ष}$ के बाद प्राप्त कुल साधारण ब्याज $(SI)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$SI = \frac{P \times R_1 \times T_1}{100} + \frac{P \times R_2 \times T_2}{100} + \frac{P \times R_3 \times T_3}{100} + \frac{P \times R_4 \times T_4}{100}$
यहाँ $P = 9000$,$T_1 = 2$ $\text{वर्ष}$ ($8 \%$ पर),$T_2 = 4$ $\text{वर्ष}$ ($9.5 \%$ पर),$T_3 = 2$ $\text{वर्ष}$ ($11 \%$ पर),और $T_4 = (12 - 2 - 4 - 2) = 4$ $\text{वर्ष}$ ($12 \%$ पर)।
$SI = \frac{9000 \times 8 \times 2}{100} + \frac{9000 \times 9.5 \times 4}{100} + \frac{9000 \times 11 \times 2}{100} + \frac{9000 \times 12 \times 4}{100}$
$SI = 90 \times (16 + 38 + 22 + 48) = 90 \times 124 = 11160$
कुल राशि = मूलधन + $SI = 9000 + 11160 = 20160$
अतः,अंतिम राशि $Rs. 20160$ है।

(C) साधारण ब्याज के अंतर्गत मिश्रधन $(A)$ ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$A = P + SI$
जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है,और $T$ समय अवधि है।
$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$
दिए गए मानों को रखने पर: $P = 4000$,$R = 5$,$T = 2$।
$SI = \frac{4000 \times 5 \times 2}{100} = 4000 \times 0.1 = 400$
अतः,कुल राशि $A = 4000 + 400 = 4400$ होगी।
इस प्रकार,व्यक्ति को $Rs. 4400$ प्राप्त होंगे।

(D) साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए दिया गया है: $P_1 = 2500$,$T = 6$ वर्ष,$SI_1 = 1875$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1875 = \frac{2500 \times R \times 6}{100}$.
$1875 = 150 \times R$.
$R = \frac{1875}{150} = 12.5\%$.
अब,दूसरी स्थिति के लिए: $P_2 = 6875$,$R = 12.5\%$,$T = 6$ वर्ष।
$SI_2 = \frac{6875 \times 12.5 \times 6}{100}$.
$SI_2 = \frac{6875 \times 75}{100} = 6875 \times 0.75 = 5156.25$.
अतः,साधारण ब्याज $Rs. 5156.25$ होगा।

(B) चरण $1$: मनीष द्वारा अनिल को चुकाया गया साधारण ब्याज ज्ञात करें।
$SI_{paid} = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1150 \times 6 \times 3}{100} = Rs. 207$.
चरण $2$: मान लीजिए मनीष द्वारा सुनील को उधार दी गई राशि $Rs. x$ है। मनीष को सुनील से प्राप्त ब्याज $SI_{received} = \frac{x \times 9 \times 3}{100} = 0.27x$ है।
चरण $3$: मनीष का कुल लाभ प्राप्त ब्याज और चुकाए गए ब्याज के बीच का अंतर है।
$Gain = SI_{received} - SI_{paid} = 274.95$.
$0.27x - 207 = 274.95$.
$0.27x = 274.95 + 207 = 481.95$.
$x = \frac{481.95}{0.27} = 1785$.
अतः,मनीष द्वारा सुनील को उधार दी गई राशि $Rs. 1785$ है।

(B) माना मोहित को दी गई राशि $x$ है।
सुहित द्वारा विकास को दिया गया साधारण ब्याज $(SI)$ $= \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{6300 \times 14 \times 3}{100} = 63 \times 42 = Rs. 2646$.
मोहित से सुहित को प्राप्त साधारण ब्याज $(SI)$ $= \frac{x \times 16 \times 3}{100} = \frac{48x}{100} = 0.48x$.
सुहित का लाभ प्राप्त ब्याज और दिए गए ब्याज के बीच का अंतर है: $0.48x - 2646 = 618$.
$0.48x = 618 + 2646$.
$0.48x = 3264$.
$x = \frac{3264}{0.48} = \frac{326400}{48} = Rs. 6800$.
अतः,मोहित को उधार दी गई राशि $Rs. 6800$ है।