Problems on Clock Questions in Hindi

(D) प्रारंभिक समय $= 2$ बजे।
दर्पण छवि से वास्तविक समय ज्ञात करने के लिए, हम दर्पण समय को $12:00$ घंटे से घटाते हैं।
वास्तविक समय $= 12:00 - 7:15 = 4:45$।
समयांतर $= \text{अंतिम समय} - \text{प्रारंभिक समय}$।
समयांतर $= 4$ घंटे $45$ मिनट $- 2$ घंटे $00$ मिनट $= 2$ घंटे $45$ मिनट।

(C) घड़ी हर आधे घंटे $(8:30, 9:30, 10:30, 11:30)$ पर एक बार बजती है।
आधे घंटे के लिए कुल घंटी $= 4$ बार।
हर घंटे की शुरुआत में,घड़ी उस घंटे की संख्या के बराबर बार बजती है $(8, 9, 10, 11, 12)$।
घंटे के निशानों के लिए कुल घंटी $= 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 50$ बार।
कुल घंटी की संख्या $= 4 + 50 = 54$ बार।

(B) जब घड़ी में $10$ बजते हैं, तो $10$ स्ट्राइक के बीच कुल $9$ अंतराल होते हैं।
चूंकि एक अंतराल (दो स्ट्राइक के बीच) का समय $2 \text{ सेकंड}$ है, इसलिए कुल समय की गणना इस प्रकार की जाती है:
कुल समय $= (\text{अंतराल की संख्या}) \times (\text{प्रति अंतराल समय})$
कुल समय $= 9 \times 2 \text{ सेकंड} = 18 \text{ सेकंड}$।

(B) मान लीजिए कि पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय $t$ सेकंड है।
चोर द्वारा $(t + 2)$ सेकंड में तय की गई दूरी $= 5 \times (t + 2) \, m$ है।
पुलिसकर्मी द्वारा $t$ सेकंड में तय की गई दूरी $= 10 \times t \, m$ है।
चूंकि पुलिसकर्मी चोर को पकड़ लेता है,इसलिए दोनों द्वारा तय की गई दूरी बराबर होनी चाहिए:
$10t = 5(t + 2)$
$10t = 5t + 10$
$5t = 10$
$t = 2 \, seconds$।
वैकल्पिक रूप से,सापेक्ष गति का उपयोग करते हुए:
चोर के पास $2 \, seconds \times 5 \, m/s = 10 \, m$ की शुरुआती बढ़त है।
सापेक्ष गति $= 10 - 5 = 5 \, m/s$।
दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{10 \, m}{5 \, m/s} = 2 \, seconds$।

(A) घंटे की सुई और मिनट की सुई हर घंटे में एक बार एक साथ होती हैं।
हालाँकि,$12$ बजे और $1$ बजे के बीच,वे एक साथ नहीं होती हैं।
$12$ घंटे के चक्र में,सुइयाँ ठीक $11$ बार एक साथ होती हैं।
ये संपाती स्थितियाँ लगभग $12:00, 1:05, 2:10, 3:16, 4:21, 5:27, 6:32, 7:38, 8:43, 9:49,$ और $10:54$ पर होती हैं।
इसलिए,$1$ घंटे और $12$ घंटे के बीच,सुइयाँ $11$ बार एक साथ होंगी।

(B) सोमवार दोपहर $12$ बजे से अगले सोमवार दोपहर $2$ बजे तक का कुल समय अंतराल $7$ दिन और $2$ घंटे है,जो $170$ घंटे के बराबर है।
समय में कुल लाभ $2$ मिनट (शून्य त्रुटि तक पहुँचने के लिए) $+ 4$ मिनट $48$ सेकंड (तेज स्थिति तक पहुँचने के लिए) है।
$4$ मिनट $48$ सेकंड $= 4 + \frac{48}{60} = 4 + \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$ मिनट।
कुल लाभ $= 2 + \frac{24}{5} = \frac{34}{5}$ मिनट,जो $170$ घंटे में होता है।
सही समय दिखाने के लिए,घड़ी को $2$ मिनट का लाभ प्राप्त करना होगा।
$2$ मिनट का लाभ प्राप्त करने में लगा समय $= \frac{170}{(34/5)} \times 2 = \frac{170 \times 5 \times 2}{34} = 5 \times 5 \times 2 = 50$ घंटे।
$50$ घंटे $= 2$ दिन और $2$ घंटे।
सोमवार दोपहर $12$ बजे से,$2$ दिन और $2$ घंटे बाद का समय बुधवार दोपहर $2$ बजे होगा।

(C) घंटे की सुई $12$ घंटे में $360^{\circ}$ घूमती है,यानी $1$ घंटे में $30^{\circ}$ या $1$ मिनट में $0.5^{\circ}$ घूमती है।
$5$ बजकर $15$ मिनट पर कुल समय $5$ घंटे और $15$ मिनट है,जो $12$ बजे से $315$ मिनट के बराबर है।
घंटे की सुई द्वारा बनाया गया कोण $= 315 \times 0.5^{\circ} = 157.5^{\circ}$।
मिनट की सुई $60$ मिनट में $360^{\circ}$ घूमती है,यानी $1$ मिनट में $6^{\circ}$ घूमती है।
$15$ मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $= 15 \times 6^{\circ} = 90^{\circ}$।
दोनों सुइयों के बीच का आवश्यक कोण $= |157.5^{\circ} - 90^{\circ}| = 67.5^{\circ}$ या $67 \frac{1}{2}^{\circ}$।

(A) $3$ बजे,मिनट की सुई घंटे की सुई से $15$ मिनट की दूरी पर होती है।
संपाती (coincide) होने के लिए,मिनट की सुई को घंटे की सुई से $15$ मिनट की दूरी तय करनी होगी।
हम जानते हैं कि मिनट की सुई $60$ मिनट में $55$ मिनट की दूरी तय करती है।
इसलिए,$15$ मिनट की दूरी तय करने में लगा समय:
$\text{समय} = \frac{60}{55} \times 15 = \frac{12}{11} \times 15 = \frac{180}{11} = 16 \frac{4}{11} \text{ मिनट}$.
अतः,दोनों सुइयां $3$ बजकर $16 \frac{4}{11}$ मिनट पर एक-दूसरे के ऊपर होंगी।

(D) $7$ बजे,मिनट की सुई घंटे की सुई से $35$ मिनट की दूरी पर होती है।
सुइयों के एक सीधी रेखा में होने के लिए,लेकिन एक साथ न होने के लिए,उनके बीच $30$ मिनट का अंतर होना चाहिए।
चूंकि मिनट की सुई $35$ मिनट के निशान पर है,इसलिए सीधी रेखा बनाने के लिए उसे $5$ मिनट के निशान पर होना चाहिए।
$35$ मिनट के निशान से $5$ मिनट के निशान तक पहुँचने के लिए,मिनट की सुई को $35 - 30 = 5$ मिनट की सापेक्ष दूरी तय करनी होगी।
मिनट की सुई $60$ मिनट में घंटे की सुई से $55$ मिनट की दूरी तय करती है।
इसलिए,$5$ मिनट की दूरी तय करने में लगा समय $\left(\frac{60}{55} \times 5\right) = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11}$ मिनट होगा।
अतः,$7$ बजकर $5\frac{5}{11}$ मिनट पर सुइयां एक सीधी रेखा में होंगी।

(A) घड़ी की सुइयां हर $12$ घंटे में $11$ बार एक ही सीधी रेखा में विपरीत दिशा में होती हैं।
चूंकि एक दिन में $24$ घंटे होते हैं,इसलिए सुइयां $11 \times 2 = 22$ बार विपरीत दिशा में होती हैं।
अतः,सही उत्तर $22$ है।

(C) घड़ी की सुइयां हर घंटे में दो बार समकोण $(90^{\circ})$ पर होती हैं,सिवाय $2:00-4:00$ और $8:00-10:00$ के अंतराल के,जहाँ वे $4$ के बजाय केवल $3$ बार समकोण बनाती हैं।
$12$ घंटे की अवधि में,सुइयां $22$ बार समकोण पर होती हैं।
इसलिए,$24$ घंटे के एक दिन में,सुइयां $22 \times 2 = 44$ बार समकोण पर होती हैं।

(D) $10:25$ बजे घंटे की सुई की स्थिति $12:00$ से $10 + \frac{25}{60} = 10 + \frac{5}{12} = \frac{125}{12}$ घंटे के बराबर होती है।
घंटे की सुई द्वारा $\frac{125}{12}$ घंटे में बनाया गया कोण $\left(\frac{360^{\circ}}{12} \times \frac{125}{12}\right) = 312.5^{\circ}$ है।
मिनट की सुई द्वारा $25$ मिनट में बनाया गया कोण $\left(\frac{360^{\circ}}{60} \times 25\right) = 150^{\circ}$ है।
दोनों सुइयों के बीच का कोण $|312.5^{\circ} - 150^{\circ}| = 162.5^{\circ}$ है।
अतः,प्रतिवर्ती कोण $360^{\circ} - 162.5^{\circ} = 197.5^{\circ}$ या $197 \frac{1}{2}^{\circ}$ होगा।

(D) सुबह $8$ बजे से दोपहर $2$ बजे के बीच का समय अंतराल $6$ घंटे है।
घड़ी की घंटे वाली सुई $12$ घंटे में $360^{\circ}$ का चक्कर पूरा करती है।
इसलिए,$1$ घंटे में घंटे की सुई का विस्थापन $360^{\circ} / 12 = 30^{\circ}$ होता है।
$6$ घंटे में,घंटे की सुई का कुल घूर्णन $6 \times 30^{\circ} = 180^{\circ}$ होगा।

(B) घंटे वाली सुई द्वारा $10$ घंटे और $30$ मिनट ($10.5$ घंटे) में तय किया गया कोण इस प्रकार है:
चूंकि घंटे वाली सुई $12$ घंटे में $360^{\circ}$ घूमती है,इसलिए यह प्रति घंटे $\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$ घूमती है।
$10.5$ घंटे के लिए,कोण $10.5 \times 30^{\circ} = 315^{\circ}$ होगा।
मिनट वाली सुई द्वारा $30$ मिनट में तय किया गया कोण इस प्रकार है:
चूंकि मिनट वाली सुई $60$ मिनट में $360^{\circ}$ घूमती है,इसलिए यह प्रति मिनट $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ घूमती है।
$30$ मिनट के लिए,कोण $30 \times 6^{\circ} = 180^{\circ}$ होगा।
दोनों सुइयों के बीच का आवश्यक कोण इन दोनों कोणों का अंतर है:
$\text{कोण} = |315^{\circ} - 180^{\circ}| = 135^{\circ}$.

(B) घंटे वाली सुई की स्थिति $12:00$ बजे के बाद बीते कुल समय से निर्धारित होती है। $4:55$ पर,बीता हुआ समय $4$ घंटे और $55$ मिनट है,जो $4 + \frac{55}{60} = 4 + \frac{11}{12} = \frac{59}{12}$ घंटे है।
घंटे वाली सुई $12$ घंटे में $360^{\circ}$ घूमती है,इसलिए यह प्रति घंटे $30^{\circ}$ घूमती है।
घंटे वाली सुई द्वारा बनाया गया कोण $= \frac{59}{12} \times 30^{\circ} = \frac{59 \times 5}{2} = \frac{295}{2} = 147.5^{\circ}$।
मिनट वाली सुई $60$ मिनट में $360^{\circ}$ घूमती है,इसलिए यह प्रति मिनट $6^{\circ}$ घूमती है।
मिनट वाली सुई द्वारा बनाया गया कोण $= 55 \times 6^{\circ} = 330^{\circ}$।
दोनों सुइयों के बीच का कोण $= |330^{\circ} - 147.5^{\circ}| = 182.5^{\circ}$ या $182 \frac{1}{2}^{\circ}$ है।

(C) $3$ और $4$ बजे के बीच घड़ी की सुइयों के एक साथ होने का समय ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{समय} = \frac{60}{11} \times H$,जहाँ $H$ शुरुआती घंटा है।
यहाँ,$H = 3$ है।
सूत्र में $H$ का मान रखने पर:
$\text{समय} = \frac{60}{11} \times 3 = \frac{180}{11} = 16 \frac{4}{11}$ मिनट।
अतः,घड़ी की सुइयां $3$ बजकर $16 \frac{4}{11}$ मिनट पर एक साथ होंगी।

(B) $H$ और $H+1$ बजे के बीच घड़ी की सुइयां समकोण पर कब होंगी,यह ज्ञात करने के लिए हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{मिनट} = (5H \pm 15) \times \frac{12}{11}$.
यहाँ,$H = 7$.
स्थिति $1$: $(5 \times 7 - 15) \times \frac{12}{11} = (35 - 15) \times \frac{12}{11} = 20 \times \frac{12}{11} = \frac{240}{11} = 21 \frac{9}{11}$ मिनट $7$ बजकर.
स्थिति $2$: $(5 \times 7 + 15) \times \frac{12}{11} = (35 + 15) \times \frac{12}{11} = 50 \times \frac{12}{11} = \frac{600}{11} = 54 \frac{6}{11}$ मिनट $7$ बजकर.
अतः,घड़ी की सुइयां $7$ बजकर $21 \frac{9}{11}$ मिनट पर और $7$ बजकर $54 \frac{6}{11}$ मिनट पर समकोण पर होंगी।

(C) एक ही सीधी रेखा में होने लेकिन एक साथ न होने के लिए,घड़ी की सुइयों के बीच $30$ मिनट की दूरी होनी चाहिए।
$8$ बजे,मिनट की सुई $12$ पर और घंटे की सुई $8$ पर होती है। उनके बीच $40$ मिनट का अंतर है।
चूंकि घंटे की सुई $6$ से आगे है,इसलिए हम उस समय $T$ के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं जब सुइयां $30$ मिनट की दूरी पर होती हैं:
$T = (5H - 30) \times \frac{12}{11}$
यहाँ,$H = 8$ है।
$T = (5 \times 8 - 30) \times \frac{12}{11}$
$T = (40 - 30) \times \frac{12}{11}$
$T = 10 \times \frac{12}{11} = \frac{120}{11} = 10 \frac{10}{11}$ मिनट।
अतः,$8$ बजकर $10 \frac{10}{11}$ मिनट पर घड़ी की सुइयां एक ही सीधी रेखा में होंगी लेकिन एक साथ नहीं।

(A) जब घड़ी की सुइयां $H$ और $H+1$ बजे के बीच $M$ मिनट की दूरी पर हों,तो समय ज्ञात करने का सूत्र $T = \frac{12}{11}(5H \pm M)$ है।
यहाँ,$H = 5$ और $M = 3$ है।
स्थिति $1$: $T = \frac{12}{11}(5 \times 5 - 3) = \frac{12}{11}(25 - 3) = \frac{12}{11} \times 22 = 24$ मिनट।
स्थिति $2$: $T = \frac{12}{11}(5 \times 5 + 3) = \frac{12}{11}(25 + 3) = \frac{12}{11} \times 28 = \frac{336}{11} = 30 \frac{6}{11}$ मिनट।
अतः,$5$ बजकर $24$ मिनट सही उत्तर है।

(C) घड़ी की घंटे वाली सुई और मिनट वाली सुई के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\theta = |30H - 5.5M|$ है,जहाँ $H$ घंटा है और $M$ मिनट है।
यहाँ $H = 4$ और $M = 30$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = |30(4) - 5.5(30)|$
$\theta = |120 - 165|$
$\theta = |-45| = 45^{\circ}$.
अतः,घड़ी की दोनों सुइयों के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।

(A) एक सही घड़ी में,सुइयां हर $65 \frac{5}{11}$ मिनट (या $\frac{720}{11}$ मिनट) में एक-दूसरे के ऊपर आती हैं।
दिया गया है कि घड़ी की सुइयां हर $M = 64$ मिनट में मिलती हैं।
यदि $M < 65 \frac{5}{11}$ है,तो घड़ी समय आगे बढ़ती है (gain)। यदि $M > 65 \frac{5}{11}$ है,तो घड़ी समय पीछे होती है (loss)।
चूंकि $64 < 65 \frac{5}{11}$ है,इसलिए घड़ी समय आगे बढ़ती है।
प्रति $M$ मिनट में होने वाली बढ़त $\left(\frac{720}{11} - 64\right)$ मिनट है।
$24$ घंटे (या $1440$ मिनट) में होने वाली बढ़त का सूत्र है:
बढ़त $= \left(\frac{720}{11} - M\right) \times \left(\frac{1440}{M}\right)$
$= \left(\frac{720 - 704}{11}\right) \times \left(\frac{1440}{64}\right)$
$= \left(\frac{16}{11}\right) \times \left(\frac{1440}{64}\right)$
$= \frac{1}{11} \times \frac{1440}{4} = \frac{360}{11} = 32 \frac{8}{11}$ मिनट।
अतः,घड़ी प्रतिदिन $32 \frac{8}{11}$ मिनट आगे बढ़ती है।

(B) एक घड़ी में,एक पूर्ण चक्कर ($60$ मिनट) में $60$ मिनट के स्थान होते हैं।
$11$ बजे,मिनट की सुई $12$ पर ($0$ मिनट) और घंटे की सुई $11$ पर ($55$ मिनट) होती है।
उनके बीच की दूरी $5$ मिनट की है।
जैसे-जैसे मिनट की सुई $0$ मिनट से $60$ मिनट तक चलती है,वह हर मिनट की स्थिति से गुजरती है।
चूंकि घंटे की सुई भी थोड़ा चलती है,इसलिए सुइयों के बीच की सापेक्ष दूरी लगातार बदलती रहती है।
प्रश्न के अनुसार,$11:00$ और $12:00$ के बीच सुइयां कितनी बार पूर्णांक मिनट की दूरी पर होती हैं,यह ज्ञात करना है।
कुल $60$ मिनट की स्थितियां हैं। $11:00$ बजे की शुरुआती स्थिति (जहां वे $5$ मिनट की दूरी पर हैं) को छोड़कर और $12:00$ बजे तक की गति को ध्यान में रखते हुए,सुइयां $56$ बार पूर्णांक मिनट की दूरी पर होंगी।

(A) हम जानते हैं कि घड़ी की सुइयों की कोई भी सापेक्ष स्थिति हर $12$ घंटे में $11$ बार दोहराई जाती है।
प्रत्येक $12$ घंटे में,सुइयां $11$ बार एक-दूसरे के ऊपर होती हैं (संपाती) और $11$ बार एक-दूसरे के विपरीत होती हैं।
अतः,प्रत्येक $12$ घंटे में,सुइयां $11 + 11 = 22$ बार एक सीधी रेखा में होती हैं।
चूंकि एक दिन में $24$ घंटे होते हैं,इसलिए सुइयां एक दिन में $22 \times 2 = 44$ बार एक सीधी रेखा में होती हैं।

(C) घड़ी $3$ मिनट में $5$ सेकंड का लाभ उठाती है। इसका मतलब है कि सही समय के $3$ मिनट में,घड़ी $3$ मिनट और $5$ सेकंड दिखाती है,जो $3 + \frac{5}{60} = 3 + \frac{1}{12} = \frac{37}{12}$ मिनट है।
सुबह $7$ बजे से दोपहर $4:15$ बजे तक,घड़ी में कुल $9$ घंटे और $15$ मिनट का समय बीता है,जो $540 + 15 = 555$ मिनट है।
चूंकि इस घड़ी के $\frac{37}{12}$ मिनट सही समय के $3$ मिनट के बराबर हैं,इसलिए इस घड़ी के $555$ मिनट $\left( \frac{3}{37/12} \times 555 \right) = \left( \frac{36}{37} \times 555 \right) = 36 \times 15 = 540$ मिनट सही समय के बराबर होंगे।
$540$ मिनट का अर्थ है $9$ घंटे।
सुबह $7$ बजे में $9$ घंटे जोड़ने पर,सही समय दोपहर के $4$ बजे का होगा।

(C) घड़ी हर $60$ मिनट के वास्तविक समय में $5$ मिनट आगे बढ़ जाती है।
इसका अर्थ है कि हर $60$ सेकंड के वास्तविक समय के लिए,सेकंड की सुई घड़ी के डायल पर $60 + 5 = 65$ सेकंड की दूरी तय करती है।
सेकंड की सुई हर $1$ सेकंड की गति के लिए $6^{\circ}$ चलती है।
इसलिए,$1$ मिनट के वास्तविक समय में,सेकंड की सुई $65 \times 6^{\circ} = 390^{\circ}$ चलेगी।

(C) $4$ बजे,घड़ी की सुइयों के बीच $20$ मिनट की दूरी होती है।
$4:30$ और $5$ के बीच सुइयों के सीधी रेखा में होने के लिए,उन्हें विपरीत दिशाओं में होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनके बीच $30$ मिनट की दूरी होनी चाहिए।
चूंकि मिनट की सुई घंटे की सुई से पीछे है,इसलिए उसे घंटे की सुई के ठीक विपरीत आने के लिए $20 + 30 = 50$ मिनट की दूरी तय करनी होगी।
मिनट की सुई $60$ मिनट में $55$ मिनट की दूरी तय करती है।
इसलिए,$1$ मिनट की दूरी तय करने में उसे $\frac{60}{55}$ मिनट लगते हैं।
$50$ मिनट की दूरी तय करने में लगा समय: $\frac{60}{55} \times 50 = \frac{12}{11} \times 50 = \frac{600}{11} = 54 \frac{6}{11}$ मिनट।
अतः,अभीष्ट समय $4$ बजकर $54 \frac{6}{11}$ मिनट है।

(A) पहले दिन $10 \text{ am}$ से अगले दिन $4 \text{ pm}$ तक का कुल समय $30 \text{ घंटे}$ है।
पहली घड़ी $24 \text{ घंटे}$ में $20 \text{ सेकंड}$ आगे बढ़ जाती है।
इसका अर्थ है कि पहली घड़ी के $24 \text{ घंटे} + 20 \text{ सेकंड}$ (या $24 + \frac{1}{180} = \frac{4321}{180} \text{ घंटे}$) सही समय के $24 \text{ घंटे}$ के बराबर हैं।
अतः,पहली घड़ी का $1 \text{ घंटा}$ सही समय के $\frac{24 \times 180}{4321} \text{ घंटे}$ के बराबर है।
पहली घड़ी के $30 \text{ घंटों}$ के लिए,बीता हुआ सही समय $\frac{24 \times 180 \times 30}{4321} = \frac{129600}{4321} \text{ घंटे}$ होगा।
$\frac{129600}{4321} \text{ घंटे} = 29 \text{ घंटे} + 59 \frac{2521}{4321} \text{ मिनट}$।
$10 \text{ am}$ से शुरू करके,$29 \text{ घंटे}$ और $59 \frac{2521}{4321} \text{ मिनट}$ जोड़ने पर सही समय $3:59 \frac{2521}{4321} \text{ pm}$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक घड़ी $4$ बार बजती है,तो बजने के बीच $4 - 1 = 3$ अंतराल होते हैं।
दिया गया है कि $3$ अंतरालों में लगा समय $9$ सेकंड है।
इसलिए,$1$ अंतराल में लगा समय $9 / 3 = 3$ सेकंड है।
$12$ बार बजने के लिए,$12 - 1 = 11$ अंतराल होते हैं।
अतः,$11$ अंतरालों के लिए कुल लगा समय $11 \times 3 = 33$ सेकंड है।

(B) प्रत्येक घंटे में, दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जिनमें घड़ी की सुइयां समकोण $(90^{\circ})$ पर होती हैं।
हालाँकि, सुइयों की सापेक्ष गति के कारण, ये स्थितियाँ पूरी तरह से समान रूप से वितरित नहीं होती हैं।
हर $12$ घंटे में, सुइयां $22$ बार समकोण पर होती हैं।
विशेष रूप से, $2$ और $4$ बजे के बीच $4$ के बजाय केवल $3$ समकोण बनते हैं, और इसी तरह $8$ और $10$ बजे के बीच भी $4$ के बजाय केवल $3$ समकोण बनते हैं।
इसलिए, $12$ घंटे में सुइयां कुल $22$ बार समकोण पर होती हैं।
चूंकि एक दिन में $24$ घंटे होते हैं, इसलिए एक दिन में सुइयां कुल $22 \times 2 = 44$ बार समकोण पर होती हैं।

(B) घड़ी को पहले दिन $5\, am$ पर सही सेट किया गया है।
पहले दिन $5\, am$ से चौथे दिन $5\, am$ तक का समय $3 \times 24 = 72$ घंटे है।
चौथे दिन $5\, am$ से $10\, pm$ तक का समय $17$ घंटे है।
दोषपूर्ण घड़ी के अनुसार कुल बीता हुआ समय $= 72 + 17 = 89$ घंटे।
$24$ घंटे में,घड़ी $16$ मिनट पीछे हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह सही घड़ी के प्रत्येक $24$ घंटे के लिए $23$ घंटे $44$ मिनट ($\frac{356}{15}$ घंटे) दर्शाती है।
अतः,दोषपूर्ण घड़ी के $\frac{356}{15}$ घंटे $=$ सही घड़ी के $24$ घंटे।
इसलिए,दोषपूर्ण घड़ी के $89$ घंटे $=$ सही घड़ी के $(24 \times \frac{15}{356} \times 89)$ घंटे।
$= (24 \times \frac{15}{356} \times 89) = 90$ घंटे सही घड़ी के।
$90$ घंटे का अर्थ है $3$ दिन और $18$ घंटे।
पहले दिन $5\, am$ से शुरू करने पर,$3$ दिन बाद चौथे दिन $5\, am$ होगा।
$5\, am$ में $18$ घंटे जोड़ने पर चौथे दिन $11\, pm$ का समय प्राप्त होता है।

(A) मंगलवार शाम $5$ बजे से बुधवार रात $11$ बजे तक का कुल समय $30$ घंटे है।
इस अवधि में,घड़ी कुल $3 + 5 = 8$ मिनट आगे बढ़ी।
घड़ी सही समय तब दिखाएगी जब वह अपनी शुरुआती $3$ मिनट की कमी को पूरा कर लेगी।
चूंकि घड़ी $30$ घंटे में $8$ मिनट का लाभ प्राप्त करती है,इसलिए यह $1$ मिनट का लाभ $\frac{30}{8}$ घंटे में प्राप्त करती है।
अतः,यह $3$ मिनट का लाभ $\frac{30}{8} \times 3 = 11.25$ घंटे में प्राप्त करेगी,जो कि $11$ घंटे और $15$ मिनट है।
मंगलवार शाम $5$ बजे में $11$ घंटे और $15$ मिनट जोड़ने पर बुधवार सुबह $4:15$ बजे का समय प्राप्त होता है।

(D) घड़ी की सुइयां हर $12$ घंटे में $11$ बार एक-दूसरे के ऊपर (संपाती) होती हैं।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि $5$ और $7$ के बीच केवल $6$ बजे ही सुइयां एक-दूसरे के ऊपर होती हैं,जिसका अर्थ है कि उस $2$ घंटे के अंतराल में एक ओवरलैप कम हो जाता है।
इसलिए,एक दिन ($24$ घंटे) में सुइयां $11 \times 2 = 22$ बार एक-दूसरे के ऊपर होती हैं।

(D) मान लीजिए कि व्यक्ति $3:x$ पर बाहर जाता है और $8:y$ पर वापस आता है,जहाँ $x$ और $y$ घंटे के बाद के मिनट हैं।
जब वह $3:x$ पर बाहर जाता है,तो घंटे की सुई $(3 + x/60)$ इकाई पर और मिनट की सुई $x$ इकाई पर होती है।
जब वह $8:y$ पर वापस आता है,तो घंटे की सुई $(8 + y/60)$ इकाई पर और मिनट की सुई $y$ इकाई पर होती है।
चूंकि सुइयों ने अपनी स्थिति बदल ली है:
वापसी पर घंटे की सुई की स्थिति प्रस्थान के समय मिनट की सुई की स्थिति होनी चाहिए: $(8 + y/60) = x/5$।
वापसी पर मिनट की सुई की स्थिति प्रस्थान के समय घंटे की सुई की स्थिति होनी चाहिए: $y = 5(3 + x/60) = 15 + x/12$।
पहले समीकरण से: $x = 5(8 + y/60) = 40 + y/12$।
$x$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $y = 15 + (40 + y/12)/12 = 15 + 40/12 + y/144 = 15 + 10/3 + y/144 = 55/3 + y/144$।
$y - y/144 = 55/3 \implies 143y/144 = 55/3$।
$y = (55 \times 144) / (3 \times 143) = (55 \times 48) / 143 = (5 \times 11 \times 48) / (13 \times 11) = 240 / 13 = 18 \frac{6}{13}$।
अतः,वह $8$ बजकर $18 \frac{6}{13}$ मिनट पर वापस आया।

(A) सोमवार सुबह $8$ बजे से बुधवार शाम $6$ बजे तक का कुल समय: $24$ घंटे (सोमवार सुबह $8$ से मंगलवार सुबह $8$) + $24$ घंटे (मंगलवार सुबह $8$ से बुधवार सुबह $8$) + $10$ घंटे (बुधवार सुबह $8$ से बुधवार शाम $6$) = $58$ घंटे।
घड़ी $24$ घंटे में $10$ मिनट आगे बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि गलत घड़ी के $24$ घंटे और $10$ मिनट ($145/6$ घंटे) सही घड़ी के $24$ घंटे के बराबर हैं।
इसलिए,गलत घड़ी का $1$ घंटा = $24 / (145/6) = 144/145$ सही घड़ी के घंटे।
गलत घड़ी के $58$ घंटों के लिए,सही घड़ी में बीता समय = $(144/145) \times 58 = (144 \times 2) / 5 = 288 / 5 = 57.6$ घंटे।
$57.6$ घंटे = $57$ घंटे और $0.6 \times 60$ मिनट = $57$ घंटे और $36$ मिनट।
सोमवार सुबह $8$ बजे से गणना करने पर,$57$ घंटे और $36$ मिनट जोड़ने पर:
$48$ घंटे बाद बुधवार सुबह $8$ बजते हैं।
शेष $9$ घंटे और $36$ मिनट जोड़ने पर बुधवार शाम $5:36$ का समय प्राप्त होता है।

(A) एक सही घड़ी में,मिनट की सुई और घंटे की सुई हर $65 \frac{5}{11}$ मिनट में एक साथ मिलती हैं।
यह दिया गया है कि प्रश्न वाली घड़ी हर $65$ मिनट में एक साथ मिलती है,इसलिए यह घड़ी तेज है।
$65$ मिनट में होने वाली बढ़त $65 \frac{5}{11} - 65 = \frac{5}{11}$ मिनट है।
इसलिए,$1$ मिनट में होने वाली बढ़त $\frac{5/11}{65} = \frac{5}{11 \times 65} = \frac{1}{11 \times 13} = \frac{1}{143}$ मिनट है।
$24$ घंटे में,$24 \times 60 = 1440$ मिनट होते हैं।
$24$ घंटे में कुल बढ़त $= 1440 \times \frac{1}{143} = \frac{1440}{143} = 10 \frac{10}{143}$ मिनट।

(A) रविवार दोपहर $12$ बजे से अगले रविवार दोपहर $2$ बजे तक का कुल समय $7$ दिन और $2$ घंटे है。
कुल समय $= (7 \times 24) + 2 = 170$ घंटे।
इस अवधि में, घड़ी $2$ मिनट (सही समय तक पहुँचने के लिए) $+ 4$ मिनट $48$ सेकंड (तेज होने के लिए) आगे बढ़ती है。
कुल लाभ $= 6$ मिनट $48$ सेकंड $= 6 + \frac{48}{60} = 6 + \frac{4}{5} = \frac{34}{5}$ मिनट।
चूंकि घड़ी $170$ घंटों में $\frac{34}{5}$ मिनट आगे बढ़ती है, इसलिए यह $1$ मिनट में $\frac{170 \times 5}{34} = 25$ घंटों में आगे बढ़ती है।
सही होने के लिए, घड़ी को अपनी प्रारंभिक धीमी स्थिति से $2$ मिनट आगे बढ़ना होगा।
आवश्यक समय $= 2 \times 25 = 50$ घंटे।
$50$ घंटे $= 2$ दिन और $2$ घंटे।
रविवार दोपहर $12$ बजे में $2$ दिन और $2$ घंटे जोड़ने पर: रविवार दोपहर $12$ बजे $+ 2$ दिन $=$ मंगलवार दोपहर $12$ बजे। मंगलवार दोपहर $12$ बजे $+ 2$ घंटे $=$ मंगलवार दोपहर $2$ बजे।

(B) रविवार शाम $4$ बजे से अगले रविवार शाम $8$ बजे तक का कुल समय $172$ घंटे है।
घड़ी कुल $6 + 10 \frac{2}{3} = \frac{50}{3}$ मिनट $172$ घंटों में प्राप्त करती है।
सही होने के लिए,घड़ी को अपनी प्रारंभिक धीमी स्थिति से $6$ मिनट आगे बढ़ना होगा।
$6$ मिनट प्राप्त करने में लगा समय $= \frac{172 \times 3 \times 6}{50} = 61.92$ घंटे।
इस गणना के अनुसार,घड़ी बुधवार को $1:36$ $a.m.$ पर सही थी।

(A) $12$ बार बजने के लिए,घड़ी दो प्रहारों के बीच $11$ अंतराल बनाती है $(12 - 1 = 11)$।
$11$ अंतरालों के लिए कुल समय $22 \text{ सेकंड}$ है।
इसलिए,एक अंतराल के लिए लगा समय $\frac{22}{11} = 2 \text{ सेकंड}$ है।
$6$ बार बजने के लिए,घड़ी $5$ अंतराल बनाती है $(6 - 1 = 5)$।
अतः,$5$ अंतरालों के लिए कुल समय $5 \times 2 = 10 \text{ सेकंड}$ होगा।

(C) अक्टूबर $2, 1869$ को सप्ताह का दिन ज्ञात करने के लिए,हम उस तारीख तक कुल विषम दिनों (odd days) की गणना करते हैं।
$1$. पूर्ण वर्ष: $1868$ वर्ष।
$2$. $1868$ को $1600 + 200 + 68$ वर्षों में विभाजित करें।
- $1600$ वर्षों में $0$ विषम दिन होते हैं।
- $200$ वर्षों में $3$ विषम दिन होते हैं।
- $68$ वर्षों में,लीप वर्षों की संख्या $\lfloor 68/4 \rfloor = 17$ है। सामान्य वर्षों की संख्या $68 - 17 = 51$ है।
- $68$ वर्षों में विषम दिन $= (17 \times 2) + (51 \times 1) = 34 + 51 = 85$ दिन। $85 \div 7 = 12$ सप्ताह और $1$ विषम दिन।
- $1868$ वर्षों के लिए कुल विषम दिन $= 0 + 3 + 1 = 4$ विषम दिन।
$3$. $1869$ में अक्टूबर $2$ तक के दिन:
- जनवरी $(31)$,फरवरी $(28)$,मार्च $(31)$,अप्रैल $(30)$,मई $(31)$,जून $(30)$,जुलाई $(31)$,अगस्त $(31)$,सितंबर $(30)$,अक्टूबर $(2)$।
- कुल दिन $= 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 2 = 275$ दिन।
- $275 \div 7 = 39$ सप्ताह और $2$ विषम दिन।
$4$. कुल विषम दिन $= 4 + 2 = 6$ विषम दिन।
- $0$ = रविवार,$1$ = सोमवार,$2$ = मंगलवार,$3$ = बुधवार,$4$ = गुरुवार,$5$ = शुक्रवार,$6$ = शनिवार।
- चूंकि कुल योग $6$ है,इसलिए वह दिन शनिवार था।

(B) $5$ मार्च,$1999$ से $5$ मार्च,$2000$ तक के दिन ज्ञात करने के लिए,हमें उनके बीच के दिनों की संख्या की गणना करनी होगी।
वर्ष $2000$ एक लीप वर्ष है,इसलिए इसमें $366$ दिन होते हैं।
$5$ मार्च,$1999$ से $5$ मार्च,$2000$ तक कुल दिनों की संख्या $366$ है।
विषम दिनों (odd days) की संख्या ज्ञात करने के लिए हम कुल दिनों को $7$ से विभाजित करेंगे:
$366 \div 7 = 52$ सप्ताह और $2$ विषम दिन।
चूंकि $2$ विषम दिन हैं,इसलिए हम दिए गए दिन (शुक्रवार) में $2$ दिन जोड़ेंगे।
शुक्रवार $+ 2$ दिन = रविवार।
अतः,$5$ मार्च,$2000$ को रविवार था।

(A) $August 1, 1988$ को कौन सा दिन था,यह ज्ञात करने के लिए:
$1987$ वर्ष = $1600$ वर्ष + $300$ वर्ष + $87$ वर्ष.
$1600$ वर्षों में विषम दिन = $0$.
$300$ वर्षों में विषम दिन = $1$.
$87$ वर्षों में $21$ लीप वर्ष और $66$ सामान्य वर्ष होते हैं.
विषम दिनों की संख्या = $(21 \times 2) + (66 \times 1) = 42 + 66 = 108$ दिन.
$108 \div 7 = 15$ सप्ताह और $3$ विषम दिन.
अब,$January 1, 1988$ से $August 1, 1988$ तक के विषम दिनों की गणना करें:
$January(31) + February(29) + March(31) + April(30) + May(31) + June(30) + July(31) + August(1) = 214$ दिन.
$214 \div 7 = 30$ सप्ताह और $4$ विषम दिन.
कुल विषम दिन = $0 + 1 + 3 + 4 = 8$ दिन,अर्थात $1$ विषम दिन.
$1$ विषम दिन का अर्थ है सोमवार,अतः $August 1, 1988$ को सोमवार था.
यदि $August 1$ को सोमवार है,तो $August 2$ को मंगलवार,$August 3$ को बुधवार,$August 4$ को गुरुवार और $August 5$ को शुक्रवार होगा.
अतः,$August 1988$ में शुक्रवार $5, 12, 19$ और $26$ तारीख को आता है.

(B) $15$ अगस्त,$1947$ को सप्ताह का दिन ज्ञात करने के लिए,हम उस तिथि तक विषम दिनों (odd days) की संख्या की गणना करते हैं।
$1$. वर्षों की संख्या: $1946$ पूर्ण वर्ष।
$2$. $1600$ वर्षों में $0$ विषम दिन होते हैं।
$3$. $300$ वर्षों में $1$ विषम दिन होता है।
$4$. $46$ वर्षों में $11$ लीप वर्ष और $35$ सामान्य वर्ष होते हैं। विषम दिनों की संख्या $= (11 \times 2 + 35 \times 1) = 22 + 35 = 57$। $57$ को $7$ से भाग देने पर,हमें $57 = 8 \times 7 + 1$ प्राप्त होता है,अतः $1$ विषम दिन।
$5$. $1947$ में $15$ अगस्त तक के दिन: जनवरी$(31)$ + फरवरी$(28)$ + मार्च$(31)$ + अप्रैल$(30)$ + मई$(31)$ + जून$(30)$ + जुलाई$(31)$ + अगस्त$(15)$ = $227$ दिन।
$6$. $227 \div 7 = 32$ सप्ताह और $3$ विषम दिन।
$7$. कुल विषम दिन $= 0 + 1 + 1 + 3 = 5$।
$8$. चूंकि $0$ रविवार,$1$ सोमवार,$2$ मंगलवार,$3$ बुधवार,$4$ गुरुवार और $5$ शुक्रवार को दर्शाता है,इसलिए उस दिन शुक्रवार था।

(A) $5$ वर्ष बाद का दिन ज्ञात करने के लिए,हम विषम दिनों (odd days) की कुल संख्या की गणना करते हैं।
$7$ जनवरी,$1992$ से $7$ जनवरी,$1997$ तक कुल $5$ वर्ष होते हैं।
इस अवधि में लीप वर्ष $1992$ और $1996$ हैं। चूंकि $7$ जनवरी,$1992$ फरवरी के बाद आता है,इसलिए $1992$ का लीप दिन बीत चुका है,लेकिन $1996$ का लीप दिन ($29$ फरवरी,$1996$) इस अवधि में शामिल है।
सामान्य वर्षों की संख्या = $4$,लीप वर्षों की संख्या = $1$ ($1996$ का लीप दिन)।
कुल विषम दिन = $(4 \times 1) + (1 \times 2) = 6$ दिन।
यदि हम $1992$ को भी लीप वर्ष के रूप में गिनते हैं,तो कुल विषम दिन = $5 + 2 = 7$,जिसका अर्थ है $0$ विषम दिन।
अतः,मंगलवार + $0$ दिन = मंगलवार।

(A) $400$ लगातार वर्षों की अवधि में $97$ लीप वर्ष होते हैं।
$11$ महीनों (फरवरी को छोड़कर) में हर साल $29$ तारीख आती है। इसलिए,$400$ वर्षों में,ये महीने $400 \times 11 = 4400$ बार $29$ तारीख का योगदान देते हैं।
फरवरी में केवल लीप वर्ष में ही $29$ तारीख आती है। चूंकि $400$ वर्षों में $97$ लीप वर्ष होते हैं,इसलिए फरवरी में $97$ बार $29$ तारीख आएगी।
अतः,महीने का $29$वां दिन कुल $4400 + 97 = 4497$ बार आता है।

(D) $January\, 26, 1950$ को सप्ताह का दिन ज्ञात करने के लिए,हम उस तारीख तक विषम दिनों (odd days) की कुल संख्या की गणना करते हैं।
$1$. $1600$ वर्षों में $0$ विषम दिन होते हैं।
$2$. $300$ वर्षों में $1$ विषम दिन होता है।
$3$. शेष $49$ वर्षों में $12$ लीप वर्ष और $37$ सामान्य वर्ष होते हैं।
$49$ वर्षों में विषम दिनों की संख्या $= (12 \times 2) + (37 \times 1) = 24 + 37 = 61$ दिन।
$61 \div 7 = 8$ सप्ताह और $5$ विषम दिन।
$4$. वर्ष $1950$ में,जनवरी के $26$ दिन हैं।
$26 \div 7 = 3$ सप्ताह और $5$ विषम दिन।
कुल विषम दिन $= 0 + 1 + 5 + 5 = 11$ विषम दिन।
$11 \div 7 = 1$ सप्ताह और $4$ विषम दिन।
चूंकि $0$ रविवार को दर्शाता है,$1$ सोमवार को,$2$ मंगलवार को,$3$ बुधवार को और $4$ गुरुवार को दर्शाता है,इसलिए उस दिन गुरुवार था।

(A) एक सामान्य वर्ष में,प्रत्येक महीने में दिनों की संख्या इस प्रकार है: $January (31)$,$February (28)$,$March (31)$,$April (30)$,$May (31)$,$June (30)$,$July (31)$,$August (31)$,$September (30)$,$October (31)$,$November (30)$,$December (31)$.
समान शुरुआती दिन ज्ञात करने के लिए,दो महीनों की शुरुआत के बीच विषम दिनों (odd days) की संख्या $7$ का गुणज होनी चाहिए।
$February$ के लिए: $January$ में $28$ दिन होते हैं (सामान्य वर्ष में),इसलिए $February$ और $March$ एक ही दिन शुरू होते हैं क्योंकि $28 \pmod 7 = 0$ होता है।
$November$ के लिए: $March$ से $November$ तक विषम दिनों की संख्या: $March (3) + April (2) + May (3) + June (2) + July (3) + August (3) + September (2) + October (3) = 21$। चूंकि $21 \pmod 7 = 0$ है,इसलिए $March$ और $November$ एक ही दिन शुरू होते हैं।
अतः,$March$ महीने की शुरुआत $February$ और $November$ के समान दिन होती है।

(C) $25$ जनवरी,$1994$ का दिन ज्ञात करने के लिए,हम $25$ जनवरी,$1994$ और $2$ मार्च,$1994$ के बीच के कुल दिनों की गणना करेंगे।
जनवरी में शेष दिन: $31 - 25 = 6$ दिन।
फरवरी $1994$ में दिन: $28$ दिन (चूंकि $1994$ लीप वर्ष नहीं है)।
मार्च में दिन: $2$ दिन।
कुल दिनों की संख्या $= 6 + 28 + 2 = 36$ दिन।
अब,विषम दिनों (odd days) की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल दिनों को $7$ से विभाजित करें: $36 \div 7 = 5$ सप्ताह और $1$ विषम दिन।
चूंकि हम $2$ मार्च से पीछे की ओर $25$ जनवरी की ओर जा रहे हैं,इसलिए हम दिए गए दिन से विषम दिन को घटाएंगे।
बुधवार $- 1$ दिन = मंगलवार।
अतः,$25$ जनवरी,$1994$ को मंगलवार था।

(D) समान कैलेंडर वाला वर्ष ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ष में विषम दिनों (odd days) की संख्या की गणना करते हैं जब तक कि विषम दिनों का कुल योग $7$ से विभाज्य न हो जाए।
$2000$ एक लीप वर्ष है,इसलिए इसमें $2$ विषम दिन हैं।
$2001$ एक सामान्य वर्ष है,इसलिए इसमें $1$ विषम दिन है।
$2002$ एक सामान्य वर्ष है,इसलिए इसमें $1$ विषम दिन है।
$2003$ एक सामान्य वर्ष है,इसलिए इसमें $1$ विषम दिन है।
$2004$ एक लीप वर्ष है,इसलिए इसमें $2$ विषम दिन हैं।
विषम दिनों का योग = $2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7$।
चूंकि योग $7$ है,जो $7$ से विभाज्य है,इसलिए $2000$ का कैलेंडर $2000 + 5 = 2005$ वर्ष में दोहराया जाएगा।

(C) घड़ी की घंटे की सुई $0.5^{\circ}$ प्रति मिनट की दर से चलती है।
दोपहर $12:00$ बजे से $3:45$ बजे तक,कुल बीता हुआ समय $3$ घंटे और $45$ मिनट है।
कुल समय को मिनटों में बदलने पर: $(3 \times 60) + 45 = 180 + 45 = 225$ मिनट।
$225$ मिनट में घंटे की सुई द्वारा तय किया गया कोण: $225 \times 0.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$ है।
अतः,$112.5^{\circ}$ को $112 \frac{1}{2}^{\circ}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) अगला वर्ष ज्ञात करने के लिए जब जन्मदिन रविवार को पड़ेगा,हम विषम दिनों (odd days) की गणना करते हैं। एक सामान्य वर्ष ($365$ दिन) में $1$ विषम दिन होता है और लीप वर्ष ($366$ दिन) में $2$ विषम दिन होते हैं।
$6$ सितंबर $1970$ से $6$ सितंबर $1981$ तक:
$1970$ से $1971$: $1$ विषम दिन
$1971$ से $1972$: $2$ विषम दिन (लीप वर्ष)
$1972$ से $1973$: $1$ विषम दिन
$1973$ से $1974$: $1$ विषम दिन
$1974$ से $1975$: $1$ विषम दिन
$1975$ से $1976$: $2$ विषम दिन (लीप वर्ष)
$1976$ से $1977$: $1$ विषम दिन
$1977$ से $1978$: $1$ विषम दिन
$1978$ से $1979$: $1$ विषम दिन
$1979$ से $1980$: $2$ विषम दिन (लीप वर्ष)
$1980$ से $1981$: $1$ विषम दिन
कुल विषम दिन = $1+2+1+1+1+2+1+1+1+2+1 = 14$.
चूंकि $14$ को $7$ से विभाजित किया जा सकता है,इसलिए शेषफल $0$ है। अतः,$14$ विषम दिनों के बाद सप्ताह का दिन वही रहता है।
इस प्रकार,जन्मदिन फिर से $1981$ में रविवार को पड़ेगा।