Problems on Calendar Questions in Hindi

(B) पहले कथन के अनुसार,अर्जुन का जन्मदिन $20$ और $23$ मार्च के बीच है,जिसका अर्थ है कि यह $21$ या $22$ मार्च हो सकता है।
अनिल के अनुसार,जन्मदिन $21$ और $24$ मार्च के बीच है,जिसका अर्थ है कि यह $22$ या $23$ मार्च हो सकता है।
चूंकि दोनों कथन सत्य हैं,इसलिए ${21, 22}$ और ${22, 23}$ सेट के बीच की सामान्य तारीख $22$ मार्च है।
अतः,अर्जुन का जन्मदिन $22$ मार्च को है।

(D) $30$ जनवरी $1948$ का दिन ज्ञात करने के लिए,हम $30$ जनवरी $1948$ से $11$ अक्टूबर $1986$ के बीच के कुल दिनों की गणना करते हैं।
$1$. $30$ जनवरी $1948$ से $30$ जनवरी $1986$ तक वर्षों की संख्या $38$ वर्ष है।
$2$. इस अवधि में लीप वर्षों की संख्या: $1952, 1956, 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984$ ($9$ लीप वर्ष)।
$3$. $38$ वर्षों के लिए कुल विषम दिन (odd days) $= (38 + 9) = 47$ दिन।
$4$. $30$ जनवरी $1986$ से $11$ अक्टूबर $1986$ तक के शेष दिन: जनवरी ($1$ दिन) + फरवरी $(28)$ + मार्च $(31)$ + अप्रैल $(30)$ + मई $(31)$ + जून $(30)$ + जुलाई $(31)$ + अगस्त $(31)$ + सितंबर $(30)$ + अक्टूबर $(11)$ $= 254$ दिन।
$5$. कुल विषम दिन $= 47 + 254 = 301$ दिन।
$6$. $301 \div 7 = 43$ सप्ताह और $0$ विषम दिन।
$7$. अतः,$30$ जनवरी $1948$ को शुक्रवार होगा।

(NONE) चरण $1$: $12$ दिसंबर $1985$ से $12$ दिसंबर $2099$ के बीच के वर्षों की संख्या ज्ञात करें। $2099 - 1985 = 114$ वर्ष।
चरण $2$: इस अवधि में लीप वर्षों की संख्या ज्ञात करें। लीप वर्ष: $1988, 1992, ..., 2096$। कुल लीप वर्ष = $28$ ($2000$ लीप वर्ष है,लेकिन $2100$ नहीं है)। सामान्य वर्ष = $114 - 28 = 86$।
चरण $3$: $114$ वर्षों के लिए विषम दिन (odd days): $(28 \times 2 + 86 \times 1) = 142$ दिन। $142 \pmod 7 = 2$ विषम दिन।
चरण $4$: $12$ दिसंबर $2099$ से $10$ जनवरी $2100$ तक के दिन: $19$ (दिसंबर के) $+ 10$ (जनवरी के) $= 29$ दिन। $29 \pmod 7 = 1$ विषम दिन।
चरण $5$: कुल विषम दिन = $2 + 1 = 3$। गुरुवार में $3$ दिन जोड़ने पर: शुक्रवार,शनिवार,रविवार। सही उत्तर रविवार है।

(D) यह पता लगाने के लिए कि कैलेंडर कब दोहराया जाता है,हम विषम दिनों (odd days) की संख्या की गणना करते हैं। एक सामान्य वर्ष में $1$ विषम दिन और एक लीप वर्ष में $2$ विषम दिन होते हैं।
$1986$ से $1997$ तक विषम दिनों की कुल संख्या इस प्रकार है:
$1986$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1987$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1988$ (लीप): $2$ विषम दिन
$1989$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1990$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1991$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1992$ (लीप): $2$ विषम दिन
$1993$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1994$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1995$ (सामान्य): $1$ विषम दिन
$1996$ (लीप): $2$ विषम दिन
विषम दिनों का योग = $1+1+2+1+1+1+2+1+1+1+2 = 14$। चूंकि $14$,$7$ से विभाज्य है,इसलिए शेषफल $0$ है।
अतः,$1997$ का कैलेंडर $1986$ के समान होगा। चूंकि $1997$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) दिया गया है: $10$ जनवरी $2105$ को बुधवार है।
हमें $31$ दिसंबर $1704$ का दिन ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$31$ दिसंबर $1704$ से $31$ दिसंबर $2104$ के बीच के वर्षों की गणना करें। यह $2104 - 1704 = 400$ वर्ष है।
$400$ वर्षों की अवधि में $0$ विषम दिन (odd days) होते हैं (क्योंकि $400$,$400$ का गुणज है और इसमें $97$ लीप वर्ष होते हैं)।
अब,$1$ जनवरी $2105$ से $10$ जनवरी $2105$ तक के दिनों की गणना करें,जो $10$ दिन हैं।
कुल विषम दिन $= 0 + 10 = 10$ दिन।
$10 \pmod 7 = 3$ विषम दिन।
चूंकि हम $2105$ से $1704$ की ओर पीछे जा रहे हैं,इसलिए हम दिए गए दिन से विषम दिनों को घटाएंगे।
बुधवार $- 3$ दिन $=$ रविवार।

(B) हम जानते हैं कि $1$ सप्ताह $= 7$ दिन होते हैं।
इसलिए,$m$ सप्ताह $= 7 \times m = 7m$ दिन।
शेष $m$ दिनों को जोड़ने पर,कुल दिनों की संख्या $7m + m = 8m$ दिन होगी।

(C) एक शताब्दी वर्ष लीप वर्ष तभी होता है जब वह $400$ से विभाज्य हो।
$800 \div 400 = 2$ (लीप वर्ष)
$1600 \div 400 = 4$ (लीप वर्ष)
$600 \div 400 = 1.5$ (लीप वर्ष नहीं है)
$2400 \div 400 = 6$ (लीप वर्ष)
अतः,$600$ एक लीप वर्ष नहीं है।

(B) एक शताब्दी में $100$ वर्ष होते हैं। $100$ वर्षों में $76$ सामान्य वर्ष और $24$ लीप वर्ष होते हैं।
विषम दिनों की संख्या $= (76 \times 1 + 24 \times 2) = 76 + 48 = 124$ दिन।
$124 \div 7 = 17$ सप्ताह और $5$ विषम दिन।
अतः,$1$ली शताब्दी का अंतिम दिन शुक्रवार है।
$200$ वर्षों के लिए,विषम दिन $= 5 \times 2 = 10 \equiv 3$ विषम दिन। अंतिम दिन बुधवार है।
$300$ वर्षों के लिए,विषम दिन $= 5 \times 3 = 15 \equiv 1$ विषम दिन। अंतिम दिन सोमवार है।
$400$ वर्षों के लिए,विषम दिन $= (5 \times 4 + 1) = 21 \equiv 0$ विषम दिन। अंतिम दिन रविवार है।
किसी भी शताब्दी का अंतिम दिन केवल सोमवार,बुधवार,शुक्रवार या रविवार हो सकता है।
अतः,शताब्दी का अंतिम दिन मंगलवार,गुरुवार या शनिवार नहीं हो सकता है।

(D) $2010$ के वर्ष के समान कैलेंडर वाला वर्ष ज्ञात करने के लिए,हम तब तक विषम दिनों (odd days) की गणना करते हैं जब तक कि उनका योग $7$ से विभाज्य न हो जाए (अर्थात $0$ विषम दिन)।
$2010$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2011$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2012$ (लीप वर्ष): $2$ विषम दिन
$2013$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2014$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2015$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2016$ (लीप वर्ष): $2$ विषम दिन
$2017$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2018$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2019$ (सामान्य वर्ष): $1$ विषम दिन
$2020$ (लीप वर्ष): $2$ विषम दिन
$2010$ से $2020$ तक के विषम दिनों का योग:
$1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 14$ विषम दिन।
चूंकि $14$,$7$ से विभाज्य है,इसलिए शेषफल $0$ है।
अतः,$2021$ के वर्ष का कैलेंडर $2010$ के वर्ष के कैलेंडर के समान होगा।

(C) $27$ मार्च $2002$ से $27$ मार्च $2005$ तक की अवधि $3$ वर्ष की है।
ये वर्ष $2003$ (सामान्य),$2004$ (लीप वर्ष) और $2005$ (सामान्य) हैं।
एक सामान्य वर्ष में $1$ विषम दिन (odd day) होता है और एक लीप वर्ष में $2$ विषम दिन होते हैं।
कुल विषम दिन $= 1 (2003) + 2 (2004) + 1 (2005) = 4$ विषम दिन।
चूंकि हम $2005$ से $2002$ की ओर पीछे जा रहे हैं,इसलिए हमें सोमवार से $4$ दिन घटाने होंगे।
सोमवार $- 4$ दिन: सोमवार $\rightarrow$ रविवार $\rightarrow$ शनिवार $\rightarrow$ शुक्रवार $\rightarrow$ गुरुवार।
अतः,$27$ मार्च $2002$ को गुरुवार था।

(B) $30$ जनवरी $1948$ के दिन की गणना करने के लिए,हम कुल विषम दिनों (odd days) की संख्या ज्ञात करेंगे।
$1$. $1600$ वर्षों में विषम दिन $= 0$.
$2$. $300$ वर्षों में विषम दिन $= 1$.
$3$. शेष $47$ वर्षों के लिए ($1901$ से $1947$): लीप वर्षों की संख्या $= 47 / 4 = 11$. सामान्य वर्षों की संख्या $= 47 - 11 = 36$.
$47$ वर्षों में कुल विषम दिन $= (11 \times 2 + 36 \times 1) = 22 + 36 = 58$ दिन।
$58$ दिन $= 8$ सप्ताह और $2$ विषम दिन।
$4$. $1948$ के जनवरी महीने में $30$ तारीख तक $= 30$ दिन।
$30$ दिन $= 4$ सप्ताह और $2$ विषम दिन।
$5$. कुल विषम दिन $= 0 + 1 + 2 + 2 = 5$ विषम दिन।
चूंकि $0$ रविवार को दर्शाता है,$1$ सोमवार,$2$ मंगलवार,$3$ बुधवार,$4$ गुरुवार और $5$ शुक्रवार को दर्शाता है,इसलिए उस दिन शुक्रवार था।

(C) $13$ सितंबर $2001$ को सप्ताह का दिन ज्ञात करने के लिए,हम विषम दिनों (odd days) की संख्या की गणना करते हैं।
$1$. $2000$ वर्षों में विषम दिनों की संख्या $0$ होती है।
$2$. अब,$1$ जनवरी $2001$ से $13$ सितंबर $2001$ तक के दिनों की गणना करें:
जनवरी $(31)$ + फरवरी $(28)$ + मार्च $(31)$ + अप्रैल $(30)$ + मई $(31)$ + जून $(30)$ + जुलाई $(31)$ + अगस्त $(31)$ + सितंबर $(13)$ = $256$ दिन।
$3$. कुल दिनों को सप्ताह और विषम दिनों में बदलें:
$256 \div 7 = 36$ सप्ताह और $4$ शेषफल।
$4$. चूंकि शेषफल $4$ है,इसलिए हम रविवार से $4$ दिन आगे गिनते हैं (जहाँ रविवार $0$ या $7$ है):
$1$ = सोमवार,$2$ = मंगलवार,$3$ = बुधवार,$4$ = गुरुवार।
अतः,$13$ सितंबर $2001$ को गुरुवार था।

(D) $96$ दिनों के बाद का दिन ज्ञात करने के लिए, हम $96$ को $7$ से विभाजित करके विषम दिनों (odd days) की संख्या ज्ञात करते हैं।
$96 \div 7 = 13$ सप्ताह और $5$ शेषफल बचता है।
इसका अर्थ है कि $96$ दिन $13$ सप्ताह और $5$ विषम दिनों के बराबर हैं।
दिन ज्ञात करने के लिए, हम वर्तमान दिन (बुधवार) में $5$ दिन जोड़ते हैं।
बुधवार $+ 1 = \text{गुरुवार}$
बुधवार $+ 2 = \text{शुक्रवार}$
बुधवार $+ 3 = \text{शनिवार}$
बुधवार $+ 4 = \text{रविवार}$
बुधवार $+ 5 = \text{सोमवार}$
अतः, $96$ दिनों के बाद सोमवार होगा।

(B) वर्ष $2012$ एक लीप वर्ष है क्योंकि यह $4$ से विभाज्य है।
चूंकि $26$ जनवरी $2012$ से $26$ जनवरी $2013$ तक की अवधि में $29$ फरवरी $2012$ शामिल है,इसलिए इस अंतराल में कुल $366$ दिन हैं।
$366$ दिनों को $7$ से विभाजित करने पर $2$ शेषफल प्राप्त होता है $(366 = 52 \times 7 + 2)$।
अतः,इसमें $2$ विषम दिन (odd days) हैं।
यह दिया गया है कि $26$ जनवरी $2013$ को शनिवार था,इसलिए $26$ जनवरी $2012$ का दिन ज्ञात करने के लिए हम शनिवार में से $2$ दिन घटाएंगे।
शनिवार $- 2$ दिन = गुरुवार।

(A) $1$ जनवरी,$2006$ और $1$ जनवरी,$2012$ के बीच वर्षों की संख्या $2012 - 2006 = 6$ वर्ष है।
इन $6$ वर्षों में,लीप वर्ष $2008$ और $2012$ हैं। चूँकि हम $1$ जनवरी,$2012$ तक गणना कर रहे हैं,इसलिए $2012$ का लीप दिन ($29$ फरवरी) अभी नहीं आया है। अतः,केवल $2008$ को ही लीप वर्ष के रूप में गिना जाएगा।
लीप वर्षों की संख्या = $1$ $(2008)$।
सामान्य वर्षों की संख्या = $6 - 1 = 5$।
कुल विषम दिन (odd days) = $(1 \times 2) + (5 \times 1) = 2 + 5 = 7$ दिन।
चूँकि $7$ दिन का अर्थ $0$ विषम दिन है $(7 \pmod 7 = 0)$,इसलिए सप्ताह का दिन वही रहेगा।
अतः,$1$ जनवरी,$2012$ को रविवार था।