Textbook - Introduction to Euclid’s Geometry Questions in Hindi

(N/A) ऊपर दी गई आकृति में,रेखाखंड $AC$ रेखाखंडों $AB$ और $BC$ के योग के संपाती है।
यूक्लिड की अभिगृहीत $(4)$ के अनुसार,वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती होती हैं,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
चूँकि रेखाखंड $AB + BC$ रेखाखंड $AC$ के संपाती है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB + BC = AC$
ध्यान दें कि इस उपपत्ति में,यह मान लिया गया है कि दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

(N/A) उपरोक्त कथन में,किसी भी लंबाई का एक रेखाखंड दिया गया है,मान लीजिए $AB$ [देखिए आकृति $(i)$]।
यहाँ,आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा $3$ का उपयोग करके,आप बिंदु $A$ को केंद्र मानकर और $AB$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए आकृति $(ii)$]। इसी प्रकार,बिंदु $B$ को केंद्र मानकर और $BA$ को त्रिज्या मानकर एक और वृत्त खींचिए। ये दोनों वृत्त एक बिंदु पर मिलते हैं,मान लीजिए $C$। अब,$\Delta ABC$ बनाने के लिए रेखाखंड $AC$ और $BC$ खींचिए [देखिए आकृति $(iii)$]।
अतः,आपको यह सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज समबाहु है,अर्थात $AB = AC = BC$।
अब,$AB = AC$,क्योंकि वे एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं $(1)$।
इसी प्रकार,$AB = BC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) $(2)$।
इन दो तथ्यों से,और यूक्लिड के इस अभिगृहीत से कि जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों,वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं,आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $AB = BC = AC$।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
ध्यान दें कि यहाँ यूक्लिड ने बिना कहीं उल्लेख किए यह मान लिया है कि $A$ और $B$ को केंद्र मानकर खींचे गए दो वृत्त एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटेंगे।

(A-D) $(i)$ असत्य। यदि हम कागज की सतह पर एक बिंदु $O$ अंकित करें,तो हम $O$ से होकर जाने वाली अनंत सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं।
$(ii)$ असत्य। दो भिन्न बिंदुओं $P$ और $Q$ से होकर जाने वाली केवल एक और एक ही रेखा होती है।
$(iii)$ सत्य। यूक्लिड की अभिधारणा $2$ के अनुसार,एक शांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
$(iv)$ सत्य। यदि दो वृत्त बराबर हैं,तो एक-दूसरे पर रखने पर उनके केंद्र और परिधि संपाती होते हैं,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ बराबर होनी चाहिए।
$(v)$ सत्य। यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।

(N/A) समांतर रेखाएँ: एक समतल में स्थित दो रेखाओं को समांतर कहा जाता है यदि वे एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,चाहे उन्हें किसी भी दिशा में कितना भी आगे बढ़ाया जाए।
हाँ,अन्य पद हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. बिंदु: बिंदु अंतरिक्ष में एक ऐसा स्थान है जिसका कोई आयाम (लंबाई,चौड़ाई या मोटाई) नहीं होता है।
$2$. रेखा: रेखा एक चौड़ाई रहित लंबाई है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
$3$. समतल: एक सतह जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
$4$. प्रतिच्छेदन: दो रेखाओं को प्रतिच्छेदी कहा जाता है यदि उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।
$5$. रेखाओं के बीच की दूरी: दो समांतर रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी सभी बिंदुओं पर स्थिर रहती है।

(N/A) हाँ,इन अभिगृहीतों में 'बिंदु' और 'रेखा' जैसे अपरिभाषित शब्द हैं।
ये अभिगृहीत सुसंगत हैं क्योंकि वे दो अलग-अलग स्थितियों से संबंधित हैं:
$(i)$ कहता है कि दो बिंदु $A$ और $B$ दिए गए हैं,तो उनके बीच की रेखा पर एक बिंदु $C$ स्थित है।
$(ii)$ कहता है कि,$A$ और $B$ दिए गए हैं,तो आप एक ऐसा बिंदु $C$ ले सकते हैं जो $A$ और $B$ से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित नहीं है।
नहीं,ये अभिगृहीत यूक्लिड के अभिगृहीतों से प्राप्त नहीं होते हैं। हालाँकि,वे इस स्वयंसिद्ध (axiom) से प्राप्त होते हैं: 'दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।'

(N/A) दिया है: बिंदु $C$,$A$ और $B$ के बीच इस प्रकार स्थित है कि $AC = BC$ है।
सिद्ध करना है: $AC = \frac{1}{2} AB$.
उपपत्ति:
चूंकि $C$,$A$ और $B$ के बीच स्थित है,इसलिए $AC + BC = AB$ होगा।
दिया गया है कि $AC = BC$ है।
समीकरण $AC + BC = AB$ में $BC$ के स्थान पर $AC$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC + AC = AB$
$2 AC = AB$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC = \frac{1}{2} AB$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया गया है कि $C$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = BC$ है।
चूंकि $AC + BC = AB$,हम लिख सकते हैं कि $AC + AC = AB$,जिसका अर्थ है $2AC = AB$,या $AC = \frac{1}{2} AB$ है।
यह सिद्ध करने के लिए कि प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है,मान लीजिए कि रेखाखंड $AB$ के दो अलग-अलग मध्य-बिंदु $C$ और $D$ हैं।
चूंकि $C$ एक मध्य-बिंदु है,$AC = \frac{1}{2} AB$ ............. $(1)$
चूंकि $D$ एक मध्य-बिंदु है,$AD = \frac{1}{2} AB$ ............. $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $AC = AD$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $C$ और $D$ संपाती होने चाहिए।
अतः,प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।

(N/A) हमें दिया गया है,
$AC = BD$ [दिया है] .......... $(1)$
चूँकि बिंदु $B$,$A$ और $C$ के बीच स्थित है,
$\therefore AC = AB + BC$ .......... $(2)$
इसी प्रकार,चूँकि बिंदु $C$,$B$ और $D$ के बीच स्थित है,
$\therefore BD = BC + CD$ .......... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,
$AB + BC = BC + CD$
दोनों पक्षों से $BC$ घटाने पर (यूक्लिड का अभिगृहीत: यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं),
$\Rightarrow AB = CD$.

(B) यूक्लिड के अभिगृहीतों की दी गई सूची में,अभिगृहीत $5$ कहता है: 'पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है'।
यह कथन ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं और सभी भागों के लिए सत्य है,चाहे वस्तुएं किसी भी प्रकार की हों।
चूंकि यह बिना किसी अपवाद के सार्वभौमिक रूप से सत्य है,इसलिए इसे 'सार्वभौमिक सत्य' माना जाता है।

(A) कोई भी रेखा $l$ और उस पर स्थित न होने वाला एक बिंदु $P$ लीजिए।
प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के अनुसार,जो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य है,हम जानते हैं कि $P$ से होकर जाने वाली एक अद्वितीय रेखा $m$ है जो $l$ के समांतर है।
परिभाषा के अनुसार,एक बिंदु की रेखा से दूरी उस बिंदु से रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई होती है।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,इसलिए रेखा $m$ पर स्थित किसी भी बिंदु की रेखा $l$ से लंबवत दूरी समान रहती है।
अतः,ये दोनों रेखाएं हर जगह एक-दूसरे से समान दूरी पर होती हैं,जो कि पाँचवीं अभिधारणा का सीधा परिणाम है।

(N/A) यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को अक्सर जटिल माना जाता है। इसका एक समतुल्य और समझने में आसान संस्करण 'प्लेफेयर की अभिगृहीत' (Playfair's Axiom) के रूप में जाना जाता है,जो कहता है: 'प्रत्येक रेखा $l$ और उस पर स्थित न होने वाले प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए,एक अद्वितीय रेखा $m$ का अस्तित्व होता है जो $P$ से होकर गुजरती है और $l$ के समांतर होती है।' वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार भी कहा जा सकता है: 'दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकती हैं।'

(N/A) हाँ,यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा समांतर रेखाओं के अस्तित्व को सूचित करती है।
यदि एक सीधी रेखा $l$ दो रेखाओं $m$ और $n$ पर इस प्रकार गिरती है कि $l$ के एक तरफ के अंतःकोणों का योग दो समकोण $(180^{\circ})$ के बराबर हो,तो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के अनुसार,रेखाएँ $m$ और $n$ $l$ के इस तरफ कभी नहीं मिलेंगी।
चूँकि रेखा $l$ के दूसरी तरफ के अंतःकोणों का योग भी दो समकोण $(180^{\circ})$ के बराबर ही होगा,इसलिए रेखाएँ दूसरी तरफ भी कभी नहीं मिलेंगी।
$\therefore$ रेखाएँ $m$ और $n$ कभी नहीं मिलती हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे के समांतर हैं।

(N/A) लंब रेखाएँ: एक ही समतल में स्थित दो रेखाओं $p$ और $q$ को लंब कहा जाता है यदि वे समकोण $(90^{\circ})$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,और हम उन्हें $p \perp q$ के रूप में लिखते हैं।
हाँ,अन्य पद हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. रेखा: रेखा एक चौड़ाईहीन लंबाई है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
$2$. समतल: एक सतह जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
$3$. कोण: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का झुकाव।
$4$. समकोण: वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ होता है।

(N/A) 'रेखाखंड' को एक रेखा के उस भाग के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दो अलग-अलग अंत बिंदु होते हैं और जिसमें उनके बीच के रेखा पर स्थित सभी बिंदु शामिल होते हैं।
हाँ,अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है,विशेष रूप से 'बिंदु' और 'रेखा'।
$1$. बिंदु: बिंदु अंतरिक्ष में एक सटीक स्थान है जिसका कोई आयाम (लंबाई,चौड़ाई या ऊंचाई) नहीं होता है।
$2$. रेखा: रेखा एक सीधा पथ है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैला होता है और जिसकी कोई मोटाई नहीं होती है।

(N/A) वृत्त की त्रिज्या की परिभाषा:
केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी बिंदु तक की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है। आकृति में,$P$ केंद्र है और $Q$ वृत्त पर एक बिंदु है,तो रेखाखंड $PQ$ त्रिज्या है।
अन्य पद जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. वृत्त: एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित हों,वृत्त कहलाता है।
$2$. केंद्र: वह निश्चित बिंदु जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं,वृत्त का केंद्र कहलाता है।
$3$. बिंदु: बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।
$4$. समतल: समतल वह पृष्ठ है जो स्वयं पर स्थित सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होता है।

(N/A) वर्ग एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें चारों कोण समकोण होते हैं और चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
वर्ग को परिभाषित करने के लिए,हमें पहले निम्नलिखित पदों को परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. चतुर्भुज: चार रेखाखंडों से बनी एक सरल बंद आकृति।
$2$. रेखाखंड: दो अंत बिंदुओं वाली एक रेखा का भाग।
$3$. कोण: एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु वाले दो किरणों के बीच का झुकाव।
$4$. समकोण: वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ हो।
आकृति में,$PQRS$ एक वर्ग है।