सिद्ध कीजिए कि किसी भी दिए गए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

(N/A) उपरोक्त कथन में,किसी भी लंबाई का एक रेखाखंड दिया गया है,मान लीजिए $AB$ [देखिए आकृति $(i)$]।
यहाँ,आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा $3$ का उपयोग करके,आप बिंदु $A$ को केंद्र मानकर और $AB$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए आकृति $(ii)$]। इसी प्रकार,बिंदु $B$ को केंद्र मानकर और $BA$ को त्रिज्या मानकर एक और वृत्त खींचिए। ये दोनों वृत्त एक बिंदु पर मिलते हैं,मान लीजिए $C$। अब,$\Delta ABC$ बनाने के लिए रेखाखंड $AC$ और $BC$ खींचिए [देखिए आकृति $(iii)$]।
अतः,आपको यह सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज समबाहु है,अर्थात $AB = AC = BC$।
अब,$AB = AC$,क्योंकि वे एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं $(1)$।
इसी प्रकार,$AB = BC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) $(2)$।
इन दो तथ्यों से,और यूक्लिड के इस अभिगृहीत से कि जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों,वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं,आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $AB = BC = AC$।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
ध्यान दें कि यहाँ यूक्लिड ने बिना कहीं उल्लेख किए यह मान लिया है कि $A$ और $B$ को केंद्र मानकर खींचे गए दो वृत्त एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटेंगे।