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यदि एक बिंदु $C$ दो बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच इस प्रकार स्थित है कि $AC = BC$,तो सिद्ध कीजिए कि $AC = \frac{1}{2} AB$ है। बिंदु $C$ को रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु कहा जाता है। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
(N/A) दिया गया है कि $C$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = BC$ है।
चूंकि $AC + BC = AB$,हम लिख सकते हैं कि $AC + AC = AB$,जिसका अर्थ है $2AC = AB$,या $AC = \frac{1}{2} AB$ है।
यह सिद्ध करने के लिए कि प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है,मान लीजिए कि रेखाखंड $AB$ के दो अलग-अलग मध्य-बिंदु $C$ और $D$ हैं।
चूंकि $C$ एक मध्य-बिंदु है,$AC = \frac{1}{2} AB$ ............. $(1)$
चूंकि $D$ एक मध्य-बिंदु है,$AD = \frac{1}{2} AB$ ............. $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $AC = AD$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $C$ और $D$ संपाती होने चाहिए।
अतः,प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
चूंकि $AC + BC = AB$,हम लिख सकते हैं कि $AC + AC = AB$,जिसका अर्थ है $2AC = AB$,या $AC = \frac{1}{2} AB$ है।
यह सिद्ध करने के लिए कि प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है,मान लीजिए कि रेखाखंड $AB$ के दो अलग-अलग मध्य-बिंदु $C$ और $D$ हैं।
चूंकि $C$ एक मध्य-बिंदु है,$AC = \frac{1}{2} AB$ ............. $(1)$
चूंकि $D$ एक मध्य-बिंदु है,$AD = \frac{1}{2} AB$ ............. $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $AC = AD$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $C$ और $D$ संपाती होने चाहिए।
अतः,प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
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नीचे दिए गए दो 'अभिगृहीतों' (postulates) पर विचार कीजिए:
$(i)$ किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं $A$ और $B$ के दिए रहने पर,एक तीसरा बिंदु $C$ ऐसा विद्यमान है जो $A$ और $B$ के बीच स्थित है।
$(ii)$ यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर नहीं हैं।
क्या इन अभिगृहीतों में कोई अपरिभाषित शब्द हैं? क्या ये अभिगृहीत सुसंगत हैं? क्या ये यूक्लिड के अभिगृहीतों से प्राप्त होते हैं? स्पष्ट कीजिए।
$(i)$ किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं $A$ और $B$ के दिए रहने पर,एक तीसरा बिंदु $C$ ऐसा विद्यमान है जो $A$ और $B$ के बीच स्थित है।
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View Solutionनिम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
$(ii)$ दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली अनंत रेखाएँ होती हैं।
$(iii)$ एक शांत रेखा को दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
$(iv)$ यदि दो वृत्त बराबर हैं,तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
$(v)$ आकृति में,यदि $AB = PQ$ और $PQ = XY$ है,तो $AB = XY$ होगा।
$(i)$ एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
$(ii)$ दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली अनंत रेखाएँ होती हैं।
$(iii)$ एक शांत रेखा को दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
$(iv)$ यदि दो वृत्त बराबर हैं,तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
$(v)$ आकृति में,यदि $AB = PQ$ और $PQ = XY$ है,तो $AB = XY$ होगा।
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View Solutionयूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची में अभिगृहीत $5$ को 'सार्वभौमिक सत्य' क्यों माना जाता है? (ध्यान दें कि यह प्रश्न पांचवीं अभिधारणा के बारे में नहीं है।)
Easy
View Solution'रेखाखंड' शब्द के लिए एक परिभाषा दीजिए। क्या अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं,और आप उन्हें कैसे परिभाषित कर सकते हैं?
Difficult
View Solutionक्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा समांतर रेखाओं के अस्तित्व को सूचित करती है? स्पष्ट कीजिए।
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