Units Questions in Hindi

(A) मरोड़ नियतांक $(k)$ को प्रति इकाई कोणीय विस्थापन $(\theta)$ पर लगने वाले प्रत्यानयन बल आघूर्ण $(\tau)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे समीकरण $\tau = k\theta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $k = \tau / \theta$ प्राप्त होता है।
बल आघूर्ण $(\tau)$ का मात्रक न्यूटन-मीटर $(N \cdot m)$ है और कोणीय विस्थापन $(\theta)$ का मात्रक रेडियन $(rad)$ है।
अतः, मरोड़ नियतांक का मात्रक $N \cdot m/rad$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k = \frac{2U}{x^2}$ प्राप्त होता है।
ऊर्जा $U$ का मात्रक जूल $(J)$ है और विस्थापन $x$ का मात्रक मीटर $(m)$ है।
अतः,$k$ का मात्रक $\frac{J}{m^2} = J\,m^{-2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1 \text{ MW} = 10^6 \text{ W}$.
चूंकि $1 \text{ W} = 1 \text{ J/s}$ और $1 \text{ J} = 10^7 \text{ erg}$,
इसलिए $1 \text{ W} = 10^7 \text{ erg/s}$.
अतः,$1 \text{ MW} = 10^6 \times 10^7 \text{ erg/s} = 10^{13} \text{ erg/s}$.

$1 \text{ torr}$ दाब को $1 \text{ mm}$ ऊंचे पारे के स्तंभ द्वारा लगाए गए दाब के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो लगभग $133.322 \text{ Pa}$ $(N/m^2)$ होता है।
चूंकि $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$,इसलिए $1 \text{ Pa} = 10^{-5} \text{ bar}$ होता है।
अतः,$1 \text{ torr} = 133.322 \times 10^{-5} \text{ bar} = 1.33322 \times 10^{-3} \text{ bar}$।
चूंकि $1 \text{ bar} = 1000 \text{ millibar}$ होता है,इसलिए $1 \text{ torr} = 1.33322 \times 10^{-3} \times 10^3 \text{ millibar} = 1.33322 \text{ millibar}$ होता है।

(N/A) मानक वायुमंडलीय दाब को $0 \,^{\circ}C$ तापमान पर और मानक गुरुत्व के तहत $760 \,mm$ ऊँचाई के पारे के स्तंभ द्वारा लगाए गए दाब के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1 \,atm = 1.01325 \times 10^{5} \,N/m^{2}$ (या $Pa$)।
चूँकि $1 \,bar = 10^{5} \,Pa$, इसलिए हम लिख सकते हैं:
$1 \,atm = 1.01325 \,bar$.

(D) ऊर्जा को जूल $(J)$ से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,हम ऊर्जा के मान को इलेक्ट्रॉन के आवेश से विभाजित करते हैं,जो $1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
दी गई ऊर्जा $E = 10^{-20} \ J$ है।
$E \text{ (} eV \text{ में)} = \frac{10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV}$
$E = \frac{1}{1.6} \times 10^{-1} \ eV$
$E = 0.625 \times 0.1 \ eV$
$E = 0.0625 \ eV$.

(D) प्रकाश वर्ष वह दूरी है जो प्रकाश निर्वात में एक जूलियन वर्ष ($365.25$ दिन) में तय करता है।
प्रकाश की गति $(c)$ $\approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
एक वर्ष में समय $(t)$ $= 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ सेकंड} \approx 3.15576 \times 10^7 \text{ s}$ होता है।
दूरी $(d)$ $= c \times t = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (3.15576 \times 10^7 \text{ s}) \approx 9.461 \times 10^{15} \text{ m}$ होती है।
इसे किलोमीटर में बदलने पर: $9.461 \times 10^{15} \text{ m} = 9.461 \times 10^{12} \text{ km}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) समतल कोण को चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $(d\theta = ds/r)$। चूंकि चाप की लंबाई और त्रिज्या दोनों की विमा लंबाई $(L)$ है,इसलिए समतल कोण की विमा $[L^1/L^1] = [M^0 L^0 T^0]$ होती है,जो कि विमाहीन है। हालाँकि,इसकी एक इकाई है,जो रेडियन $(rad)$ है।
इसी प्रकार,ठोस कोण को गोलाकार सतह के क्षेत्रफल और त्रिज्या के वर्ग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $(d\Omega = dA/r^2)$। चूंकि क्षेत्रफल और त्रिज्या का वर्ग दोनों की विमा लंबाई का वर्ग $(L^2)$ है,इसलिए ठोस कोण की विमा $[L^2/L^2] = [M^0 L^0 T^0]$ होती है,जो कि विमाहीन है। हालाँकि,इसकी एक इकाई है,जो स्टेरेडियन $(sr)$ है।
अतः,समतल कोण और ठोस कोण में इकाइयाँ होती हैं लेकिन विमाएँ नहीं होती हैं।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के सिद्धांत के अनुसार, उत्तेजित अवस्था और मूल अवस्था के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E$, द्रव्यमान के अंतर $\Delta m$ के अनुरूप होता है, जिसे $\Delta E = \Delta m c^2$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई उत्तेजना आवृत्ति $\nu = 9.2 \times 10^9 \, Hz$ के लिए, ऊर्जा का अंतर $\Delta E = h\nu$ है।
इसलिए, परमाणुओं के एक जोड़े के लिए द्रव्यमान का अंतर $\Delta m = \frac{h\nu}{c^2}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta m = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 9.2 \times 10^9}{(3 \times 10^8)^2} \, kg$
$\Delta m = \frac{6.63 \times 9.2 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{16}} \, kg$
$\Delta m \approx 6.78 \times 10^{-41} \, kg$.
चूंकि यह द्रव्यमान अंतर $2$ परमाणुओं का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए $1 \, kg$ का कुल द्रव्यमान प्राप्त करने के लिए आवश्यक परमाणुओं की संख्या $N$ है:
$N = \frac{2 \times 1 \, kg}{\Delta m} = \frac{2}{6.78 \times 10^{-41}} \approx 0.295 \times 10^{41} \approx 3 \times 10^{40}$.
अतः, संख्या का क्रम $10^{40}$ है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
एक खगोलीय इकाई $(AU)$ पृथ्वी और सूर्य के बीच की औसत दूरी के रूप में परिभाषित की जाती है।
परिभाषा के अनुसार,$1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \, m$ होता है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
$1$. $Nm$ (न्यूटन-मीटर) टॉर्क या कार्य का मात्रक है।
$2$. $mN$ (मिली-न्यूटन) बल का एक मात्रक है,जहाँ $1 \, mN = 10^{-3} \, N$ होता है।
$3$. $nm$ (नैनोमीटर) लंबाई का मात्रक है।
$4$. $Ns$ (न्यूटन-सेकंड) आवेग या संवेग में परिवर्तन का मात्रक है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से $mN$ बल का मात्रक है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $s$ लंबाई के चाप द्वारा अंतरित समतलीय कोण $\theta = \frac{s}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण वृत्त के लिए,चाप की लंबाई $s$ परिधि $2 \pi r$ के बराबर होती है।
इसलिए,केंद्र पर अंतरित कुल समतलीय कोण $\theta = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi \, rad$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$ प्रकाश वर्ष का सही मान वह दूरी है जो प्रकाश एक वर्ष में तय करता है,जो लगभग $9.46 \times 10^{15} \, m$ है।
विकल्प $A$ सही है: $1$ फर्मी $= 10^{-15} \, m$.
विकल्प $B$ सही है: $1$ खगोलीय इकाई $(AU)$ $= 1.496 \times 10^{11} \, m$.
विकल्प $C$ सही है: $1$ पारसेक $\approx 3.26$ प्रकाश वर्ष.
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि $1$ प्रकाश वर्ष $= 9.46 \times 10^{15} \, m$ होता है,न कि $9.46 \times 10^{12} \, m$।

(B) दी गई इकाइयों के मीटर में मान इस प्रकार हैं:
$1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
$1 \text{ ly} = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
$1 \text{ pc} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $1 \text{ AU} < 1 \text{ ly} < 1 \text{ pc}$ प्राप्त होता है।
कथन $I$ सही है क्योंकि ये दूरी की इकाइयाँ हैं।
कथन $II$ गलत है क्योंकि सही क्रम $AU < ly < pc$ है।

(A) $a \times 10^b$ के रूप में व्यक्त किसी संख्या की परिमाण की कोटि (order of magnitude) $a$ के मान द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि $1 \leq a \leq 5$ है,तो परिमाण की कोटि $b$ है।
यदि $5 < a < 10$ है,तो परिमाण की कोटि $b + 1$ है।
अतः,जब $a \leq 5$ होता है,तो $b$ परिमाण की कोटि होती है।

(A) लंबाई की सबसे बड़ी इकाई निर्धारित करने के लिए,हम उनके मानों की तुलना मीटर में करते हैं:
$1$. $1 \text{ पार्सेक} \approx 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
$2$. $1 \text{ प्रकाश वर्ष} \approx 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
$3$. $1 \text{ खगोलीय इकाई (AU)} \approx 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
$4$. $1 \text{ फर्मी} = 10^{-15} \text{ m}$
इन मानों की तुलना करने पर,$3.08 \times 10^{16} \text{ m} > 9.46 \times 10^{15} \text{ m} > 1.496 \times 10^{11} \text{ m} > 10^{-15} \text{ m}$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से पार्सेक लंबाई की सबसे बड़ी इकाई है।

(B) $\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$
$\text{द्रव्यमान का SI मात्रक किलोग्राम } (kg) \text{ है।}$
$\text{आयतन का SI मात्रक घन मीटर } (m^3) \text{ है।}$
$\text{अतः, घनत्व का SI मात्रक } \frac{kg}{m^3} \text{ या } kg \cdot m^{-3} \text{ होता है।}$

(D) सही विकल्प $D$ है।
कोणीय संवेग को $L = r \times p$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
कोणीय संवेग का $SI$ मात्रक $kg \cdot m^2/s$ है,जो $J \cdot s$ के बराबर है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,$L = \frac{n h}{2 \pi}$ होता है।
चूंकि $n$ और $2 \pi$ विमाहीन हैं,इसलिए कोणीय संवेग $L$ का मात्रक प्लांक नियतांक $h$ के मात्रक के समान होता है,जो $J \cdot s$ है।

(C) दी गई इकाइयों के मान मीटर में इस प्रकार हैं:
$1 \text{ parsec} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
$1 \text{ nanometer} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}$
$1 \text{ fermi} = 1 \times 10^{-15} \text{ m}$
$1 \text{ } \mathring{A} = 1 \times 10^{-10} \text{ m}$
इन मानों की तुलना करने पर, $1 \times 10^{-15} \text{ m}$ सबसे छोटा परिमाण है।
अतः, दिए गए विकल्पों में से लंबाई की सबसे छोटी इकाई फर्मी है।

(B) परिभाषा के अनुसार,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \text{ m}$ होता है।
इसे मिलीमीटर $(\text{mm})$ में बदलने के लिए,हम जानते हैं कि $1 \text{ m} = 10^3 \text{ mm}$ होता है।
इसलिए,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \times 10^3 \text{ mm}$।
$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-7} \text{ mm}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) लंबाई की $SI$ इकाई $1 \ m$ है।
दिया गया है कि लंबाई की नई इकाई $x \ m$ है।
इसलिए,$1 \ m = \frac{1}{x}$ नई इकाइयाँ।
हमें $1 \ m^2$ क्षेत्रफल को नई इकाई के संदर्भ में व्यक्त करना है।
क्षेत्रफल $= 1 \ m^2 = 1 \ m \times 1 \ m$.
$1 \ m$ का मान नई इकाई में रखने पर:
क्षेत्रफल $= (\frac{1}{x} \text{ नई इकाइयाँ}) \times (\frac{1}{x} \text{ नई इकाइयाँ}) = \frac{1}{x^2} \text{ (नई इकाइयाँ)}^2$.
अतः,इसका परिमाण $\frac{1}{x^2}$ है।

(B) प्रकाश वर्ष खगोलीय दूरी का एक मात्रक है,समय का नहीं। इसे उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जो प्रकाश निर्वात में एक वर्ष में तय करता है,जो लगभग $9.4607 \times 10^{12} \ km$ है।
चंद्र मास,लीप वर्ष और माइक्रोसेकंड सभी समय मापने के मात्रक हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दी गई ऊर्जा $E = 13.6 eV$ है।
हम जानते हैं कि $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$ होता है।
इसलिए,$E = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 21.76 \times 10^{-19} J$।
जूल $(J)$ को किलोवाट-घंटा $(kWh)$ में बदलने के लिए,हम $(1000 \times 3600)$ से विभाजित करते हैं क्योंकि $1 kWh = 1000 W \times 3600 s = 3.6 \times 10^6 J$ होता है।
$E = \frac{21.76 \times 10^{-19}}{3.6 \times 10^6} kWh$।
$E \approx 6.04 \times 10^{-25} kWh$।