यदि $I$ निम्नलिखित निश्चित समाकलों में सबसे बड़ा है
${I_1} = \int_0^1 {{e^{ - x}}{{\cos }^2}x\,dx} , \,\, {I_2} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$
${I_3} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} ,\,\,{I_4} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}/2}}dx} ,$ तो
${I_1} = \int_0^1 {{e^{ - x}}{{\cos }^2}x\,dx} , \,\, {I_2} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$
${I_3} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} ,\,\,{I_4} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}/2}}dx} ,$ तो
- A$I = {I_1}$
- B$I = {I_2}$
- C$I = {I_3}$
- D$I = {I_4}$
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निम्नलिखित का मिलान करें:
List-$I$ List-$II$ $I. \int_{-1}^1 x|x| dx$ $(a) \frac{\pi}{2}$ $II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$ $(b) \int_0^a 2f(x) dx$ $III. \int_0^a f(x) dx$ $(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$ $IV. \int_{-a}^a f(x) dx$ $(d) 0$ $(e) \int_0^a f(a-x) dx$
| List-$I$ | List-$II$ |
|---|---|
| $I. \int_{-1}^1 x|x| dx$ | $(a) \frac{\pi}{2}$ |
| $II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$ | $(b) \int_0^a 2f(x) dx$ |
| $III. \int_0^a f(x) dx$ | $(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$ |
| $IV. \int_{-a}^a f(x) dx$ | $(d) 0$ |
| $(e) \int_0^a f(a-x) dx$ |
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$f(x) = \min \{x - [x], 1 - x + [x]\}$
$g(x) = \max \{x - [x], 1 - x + [x]\}$
जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। वह धनात्मक पूर्णांक $n$ जिसके लिए $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$ है,वह है:
$f(x) = \min \{x - [x], 1 - x + [x]\}$
$g(x) = \max \{x - [x], 1 - x + [x]\}$
जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। वह धनात्मक पूर्णांक $n$ जिसके लिए $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$ है,वह है:
$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cdot \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
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