$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\alpha - \beta )}&{\cos \alpha }\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos \beta }\\{\cos \alpha }&{\cos \beta }&1\end{array}\,} \right|=$

જો $A = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|,B = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|,C = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|,$ તો આપલે પૈકી ક્યો સંબંધ સાચો છે .

સમીકરણની સંહતિ $a + b - 2c = 0,$ $2a - 3b + c = 0$ અને $a - 5b + 4c = \alpha $ એ સુસંગત થવા માટે $\alpha$ મેળવો.

જો $\omega $ એ એકનું ઘનમૂળ હોય તો સમીકરણ $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + 2}&\omega &{{\omega ^2}} \\ 
  \omega &{x + 1 + {\omega ^2}}&1 \\ 
  {{\omega ^2}}&1&{x + 1 + \omega } 
\end{array}} \right| = 0$ નું બીજ મેળવો.

ધારો કે  $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha\end{array}\right]$ અને  $|2 A|^3=2^{21}$ છે જ્યાં  $\alpha, \beta \in Z$,તો  $\alpha $ ની એક કિંમત ______________ છે.

$3$  કક્ષાવાળા નિશ્રાયકમાં પ્રથમ સ્તંભમાં બે પદોનો સરવાળો છે , બીજા સ્તંભમાં ત્રણ પદનો સરવાળો છે અને ત્રીજા સ્તંભમાં ત્રણ પદનો સરવાળો છે તો તેને $ n $ નિશ્રાયક માં અલગ કરવામાં આવે તો $n$ ની કિમત મેળવો.