int frac{d x}{5+4 sin x} का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{dx}{5+4 \sin x}$ है।प्रतिस्थापन $	an(\frac{x}{2}) = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ और $\sin x = \frac{2t}{1+t

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3} 	an ^{-1}\left(\frac{5 	an \frac{x}{2}+4}{3}ight)+c$,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{dx}{5+4 \sin x}$ है।प्रतिस्थापन $	an(\frac{x}{2}) = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ और $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{5 + 4(\frac{2t}{1+t^2})} = \int \frac{2 dt}{5(1+t^2) + 8t} = 2 \int \frac{dt}{5t^2 + 8t + 5}$।हर से $5$ उभयनिष्ठ लेने पर:$I = \frac{2}{5} \int \frac{dt}{t^2 + \frac{8}{5}t + 1}$।हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर:$t^2 + \frac{8}{5}t + 1 = (t + \frac{4}{5})^2 + 1 - \frac{16}{25} = (t + \frac{4}{5})^2 + \frac{9}{25} = (t + \frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2$।अब,मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3/5} 	an^{-1}(\frac{t + 4/5}{3/5}) + c = \frac{2}{3} 	an^{-1}(\frac{5t + 4}{3}) + c$।$t = 	an(\frac{x}{2})$ का मान वापस रखने पर:$I = \frac{2}{3} 	an^{-1}\left(\frac{5 	an(\frac{x}{2}) + 4}{3}ight) + c$।

$\int \frac{d x}{5+4 \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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