વિધેય $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ એ શરતો $f(0) = - 1,$ $f'(\log 2) = 31$ અને $\int_0^{\log 4} {[f(x) - Rx]\,dx = \frac{{39}}{2}} $ નું પાલન કરે છે તો સંખ્યાઓ $P, Q$ અને $R$ મેળવો.

જો દરેક ત્રીજોડ $(a, b, c)$ માટે $f(x)=a+b x+c x^{2}$ હોય તો  $\int \limits_{0}^{1} f(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે $a$ અને $b$ એ એવા વાસ્તવિક અચળાંકો છે કે જેથી $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3 x+a & x \leq 1 \\ b x+2, & x>1\end{array}\right.$વડે વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય થાય. તો $\int_{-2}^2 f(x) d x$ નું મૂલ્ય __________ છે. 

ધારો કે $y=f(x)$ એ $(-5,5)$ માં ત્રિ-વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $(1, f(1))$ અને $(3, f(3))$ આગળના સ્પર્શકો, ધન $x$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\pi / 6$ અને $\pi / 4$ ના ખૂણા બનાવે છે. જો $27 \int_1^3\left(\left(f^{\prime}(t)\right)^2+1\right) f^{\prime \prime}(t) d t=\alpha+\beta \sqrt{3}$ જ્યાં $\alpha, \beta$ પૂણાંકો હોય, તો $\alpha+\beta$ નું મૂલ્ય......................છે. 

$x \in R , S_0( x )= x$,$S _{ k }( x )= C _{ k } x + k \int _0^{ x } S _{ k -1}(t) d t$,માટે,ધારોકે  $C _0=1, C _{ k }=1-\int_0^1 S _{ k -1}( x ) dx , k =1,2,3 \ldots$. જ્યાં $S _2(3)+6 C _3$ તો $=...........$.

જો $\int\limits_0^1 {(1 + |\sin x|)(a{x^2} + bx + c)dx = \int\limits_0^2 {(1 + |\sin x|)(a{x^2} + bx + c)} } dx$ 

હોય તો સમીકરણ ${a{x^2} + bx + c}=0$ ના બીજ એ . . . .